宋泉良，盧志剛，王 維，方子穆，翟曉燕

（北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006）

0 引言

由于路面顛簸、車體底盤振動(dòng)等原因，裝甲車輛在高速機(jī)動(dòng)狀態(tài)下，其炮口不能在裝定的諸元位置處穩(wěn)定停留；由此，產(chǎn)生了“射擊門”的控制思想:當(dāng)某時(shí)刻火炮位置與裝定諸元位置之間的夾角在射擊門閾值范圍內(nèi)時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生擊發(fā)信號(hào)［1］?，F(xiàn)在的火力控制系統(tǒng)在運(yùn)用射擊門控制火炮發(fā)射時(shí)，僅考慮了火炮的瞬時(shí)位置，但是忽略了以下因素:產(chǎn)生擊發(fā)信號(hào)時(shí)，雖然火炮位置與射擊諸元位置的夾角小于射擊門閾值，但是在點(diǎn)火到彈丸出膛的射擊延時(shí)過程中，火炮仍處于振動(dòng)狀態(tài)，彈丸出膛時(shí)刻的火炮位置和裝定諸元位置的夾角可能超出閾值范圍，并且火炮振動(dòng)速度也將在彈丸出炮口時(shí)賦予其切向速度，造成彈道偏離規(guī)定的射擊位置［2］。因此，對(duì)炮口振動(dòng)的角度誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)成為了研究的重點(diǎn)。其中，預(yù)測(cè)時(shí)間應(yīng)為射擊延時(shí)時(shí)間，它的大小與彈種有關(guān)，但都在10 ms左右，一般情況下可視為常值。

當(dāng)前常用的預(yù)測(cè)方法有時(shí)間序列方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、馬爾可夫預(yù)測(cè)法和灰色系統(tǒng)理論等?；疑到y(tǒng)理論的最大優(yōu)勢(shì)在于對(duì)樣本數(shù)量較少的序列能夠進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)理論中應(yīng)用最為廣泛的一種預(yù)測(cè)模型，其基本思想是對(duì)原始序列進(jìn)行累加生成，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其指數(shù)規(guī)律；然后，利用最小二乘法解得模型中的參數(shù)值；最后，建立指數(shù)擬合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。為了提高GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度，許多學(xué)者提出了一些改進(jìn)模型的方法。文獻(xiàn)［3］根據(jù)新信息優(yōu)先原理提出了以為初始條件的 GM（1，1）模型；文獻(xiàn)［4］中取初值為的加權(quán)組合值；文獻(xiàn)［5］提出以作為初始值，即預(yù)測(cè)公式為:·根據(jù)對(duì)已有數(shù)據(jù)的擬合精度，從1，2，…，n 中選擇。文獻(xiàn)［6］證明了背景值對(duì) GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度的影響；文獻(xiàn)［7］提出了利用數(shù)值積分中的Newton-Cores公式和插值來重構(gòu)GM（1，1）模型中的背景值；文獻(xiàn)［8］將實(shí)際曲線在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的面積作為背景值，其計(jì)算公式為:

為了能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)炮口振動(dòng)角度誤差的變化，本文提出了一種優(yōu)化GM（1，1）模型。首先，對(duì)原始序列進(jìn)行預(yù)處理，使其變換為適用于GM（1，1）模型建模的數(shù)據(jù)序列；然后，基于誤差最小化對(duì)傳統(tǒng)模型的初始值進(jìn)行了優(yōu)化；最后，根據(jù)GM（1，1）模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的形式對(duì)傳統(tǒng)模型的背景值進(jìn)行了重構(gòu)。通過實(shí)例分析，驗(yàn)證了優(yōu)化模型具有較高的擬合和預(yù)測(cè)精度，對(duì)炮口振動(dòng)角度誤差變化趨勢(shì)的判斷也更為準(zhǔn)確。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于裝甲火炮振動(dòng)的隨機(jī)性，利用目標(biāo)跟蹤器與鏡炮角度傳感器獲取的火炮相對(duì)目標(biāo)的振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)呈現(xiàn)非單調(diào)性，通常情況下為振蕩序列。GM（1，1）模型適合處理具有非負(fù)性、單調(diào)性、光滑性的數(shù)據(jù)序列，但并不適用于炮口振動(dòng)角度誤差這種具有非單調(diào)性數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)。因此，本文在基于短暫射擊延時(shí)過程中炮口振動(dòng)角度誤差變化平穩(wěn)的假定下，借助以下方法對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)處理，使新的數(shù)據(jù)序列滿足GM（1，1）模型的建模需求。

1.1 數(shù)據(jù)變換

加速平移變換可以將非線性數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)遞增序列，能夠解決炮口振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)的非單調(diào)性問題；加權(quán)均值變換可以在不破壞原序列單調(diào)性的基礎(chǔ)上，降低序列的隨機(jī)性，提高序列的光滑性［9-10］。本文對(duì)炮口振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)的預(yù)處理采用了加速平移變換和加權(quán)均值變換相結(jié)合的方法。

1.2 序列光滑度檢驗(yàn)

定義 1.1［11］若數(shù)據(jù)序列則稱為序列X的光滑比。

定理1［13］對(duì)于任一個(gè)非負(fù)的、具有準(zhǔn)光滑性的序列，其經(jīng)過一次累加，可得到具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律的序列。

由定理1可知，當(dāng)經(jīng)過加速平移變換、加權(quán)均值變換后的序列滿足準(zhǔn)光滑性時(shí)，才可適用于灰色模型。否則，仍需要對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行光滑性的處理。

2 優(yōu)化GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 傳統(tǒng)GM（1，1）的建模過程

利用上述求得的參數(shù)列Q建立相應(yīng)的白化微分方程:

2.2 初始值的改進(jìn)

傳統(tǒng)GM（1，1）模型是借助最小二乘法的基本思想得到一條擬合曲線，但第1個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)并不一定在這條曲線上，同時(shí)也無法證明為最優(yōu)初始條件。本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)初始條件的修正式:，其中m在1，2，…，n中選擇，βm為與m相關(guān)的待定參數(shù)，通過選擇m和βm的取值，以提高傳統(tǒng)GM（1，1）模型的擬合和預(yù)測(cè)精度。

將初始條件的修正式代入式（6）、式（7），可得到新的序列的預(yù)測(cè)公式:

本文利用最小二乘估計(jì)的基本思想來確定m和βm的取值，從而使GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的誤差最小。利用GM（1，1）模型得到的擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)，計(jì)算得到兩者差的平方和，記作Errorm:

綜上，初始條件的修正式為:

取 m 分別為 1，2，…，n，可得到相應(yīng)的 βm、Errorm和新初始值，通過比較 Errorm（m=1，2，…，n）的大小，其最小值對(duì)應(yīng)的新初始值即為所求。

2.3 背景值的優(yōu)化

結(jié)合文獻(xiàn)［8］中背景值的計(jì)算方法，對(duì)式（5）兩邊在區(qū)間［k-1，k］上同時(shí)積分可得:

將式（12）與式（4）比較可知，式（12）的積分部分即為背景值。傳統(tǒng)GM（1，1）模型中的背景值用的均值生成序列表示，它是一種平滑生成方法。當(dāng)數(shù)據(jù)序列變化平緩時(shí)，模型的擬合和預(yù)測(cè)誤差較小。但當(dāng)數(shù)據(jù)序列變化急劇時(shí)，會(huì)造成較大的滯后誤差，從而影響灰色模型的預(yù)測(cè)精度。本文將結(jié)合灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，直接計(jì)算式（12）中的積分部分，達(dá)到重構(gòu)背景值的目的。

由式（7）易知:

2.4 優(yōu)化GM（1，1）模型的建模步驟

4）利用重構(gòu)的背景值和式（4）對(duì)灰色微分方程的參數(shù)進(jìn)行求解；

6）對(duì)上一步的結(jié)果進(jìn)行一次累減生成、加權(quán)均值逆變換、加速平移逆變換、平移逆變換得到的預(yù)測(cè)公式。

3 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證優(yōu)化GM（1，1）模型具有較高的擬合和預(yù)測(cè)精度，下面將以處理的某裝甲車行進(jìn)間火炮高低向炮口振動(dòng)角度誤差的仿真數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)源，其采樣間隔時(shí)間為10 ms，優(yōu)化模型的應(yīng)用過程為:以當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)據(jù)和此前的4個(gè)數(shù)據(jù)作為原始序列，來預(yù)測(cè)10 ms后的第6個(gè)數(shù)據(jù)，將原始序列的擬合值和第6個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值與相應(yīng)的實(shí)際值進(jìn)行比較，檢測(cè)優(yōu)化模型的擬合及預(yù)測(cè)精度。本文的預(yù)測(cè)過程將在以計(jì)算速度較快的DSP作為CPU的控制盒中進(jìn)行，能夠滿足實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的要求。

表1 炮口振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)

book=124,ebook=127以表1中炮口高低向的振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)為例，將其前5個(gè)數(shù)據(jù)作為原始序列經(jīng)平移變換、加速平移變換和加權(quán)均值變換得到數(shù)據(jù)序列

為了與優(yōu)化GM（1，1）模型進(jìn)行對(duì)比，下面將原始數(shù)據(jù)序列分別按照傳統(tǒng) GM（1，1）模型、文獻(xiàn)［5］中改進(jìn)初始值模型和文獻(xiàn)［8］中改進(jìn)背景值模型的建模步驟進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，結(jié)果見表3。下頁(yè)圖1為炮口方位向振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)的模擬結(jié)果。

通過表3可知，經(jīng)改進(jìn)的3個(gè)模型的擬合、預(yù)測(cè)精度均高于傳統(tǒng)模型，其中優(yōu)化GM（1，1）模型模擬預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差和為19.40%，平均相對(duì)誤差為3.88%，處理效果均優(yōu)于傳統(tǒng)模型、改進(jìn)初始值模型和改進(jìn)背景值模型。由圖1可知，優(yōu)化GM（1，1）模型的模擬精度較傳統(tǒng)模型有了明顯的提高。因此，優(yōu)化GM（1，1）模型能夠較好地反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，有助于對(duì)裝甲火炮炮口振動(dòng)角度誤差的預(yù)測(cè)。

表2 優(yōu)化模型的擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果

圖1 炮口方位向振動(dòng)角度誤差的擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果

表3 4種模型的模擬結(jié)果

4 結(jié)論

由于受多種因素的影響，裝甲火炮炮口振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)具有非線性、隨機(jī)性強(qiáng)的特點(diǎn)。因此，GM（1，1）模型無法對(duì)炮口振動(dòng)角度誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行直接預(yù)測(cè)。本文通過對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理、對(duì)傳統(tǒng)模型的初始值和背景值進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種適用于炮口振動(dòng)角度誤差預(yù)測(cè)的優(yōu)化GM（1，1）模型。通過對(duì)高低向、方位向兩組數(shù)據(jù)處理結(jié)果的分析，優(yōu)化GM（1，1）模型模擬預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為3.88%、5.74%，優(yōu)于傳統(tǒng)模型、改進(jìn)初值模型和改進(jìn)背景值模型，能夠較好地判斷炮口振動(dòng)角度誤差的變化情況，為利用其進(jìn)行智能射擊門控制解決裝甲火控系統(tǒng)的射擊延時(shí)誤差奠定了基礎(chǔ)。