沈 培 ，賈付金 ，羅家維 ，3，李伯勛 ，蘇 嘯

（1.萍鄉(xiāng)學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337000；2.南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌 330063；3.江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337055）

0 引言

最近幾十年以來，因?yàn)樽藨B(tài)控制系統(tǒng)是空間飛行器總體設(shè)計(jì)的重要組成部分之一，所以姿態(tài)系統(tǒng)已經(jīng)并將繼續(xù)成為廣大學(xué)者的熱門研究對象。鑒于飛行器系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動慣量因?yàn)槿剂舷牡纫蛩卮嬖诘牟淮_定性和受到外部未知的干擾。所以，尋求一種不依賴矩陣慣量和干擾信號，并且還要使得系統(tǒng)狀態(tài)全局穩(wěn)定的控制器成為國內(nèi)外廣大學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。

目前，在不確定參數(shù)和外部干擾的影響下，飛機(jī)的姿態(tài)控制問題還沒有被考慮進(jìn)去，已經(jīng)進(jìn)行了廣泛的研究［1-7］。LUO等人［8］提出了一種逆最優(yōu)自適應(yīng)控制方法來解決參數(shù)的不確定性和外部干擾對飛機(jī)的影響。其解決了已知的飛機(jī)姿態(tài)跟蹤與有限能量干擾問題。為了克服干擾信號能量有界的假設(shè)，CHEN等人［9］四元數(shù)用于描述飛行器的姿態(tài)，通過自適應(yīng)控制理論和輸出調(diào)節(jié)理論的內(nèi)部模型方法，將干擾信號恒定和有限數(shù)量正弦信號的形式結(jié)合假設(shè)條件，進(jìn)一步研究航天器姿態(tài)跟蹤和干擾抑制問題；但是根據(jù)文獻(xiàn)［10］可知:單位四元數(shù)描述的飛行器姿態(tài)會使得方程有兩個(gè)平衡點(diǎn)，而且其中有一個(gè)是不穩(wěn)定的。為了克服利用四元數(shù)描述姿態(tài)帶來這樣的缺陷，劉獻(xiàn)平［11］采用了 Rodrigues參數(shù)［12］來描述飛行器姿態(tài)，并利用Backstepping控制方法、自適應(yīng)理論和Lyapunov函數(shù)分析來設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)全局穩(wěn)定。然而劉獻(xiàn)平［11］與 CHEN［9］將已知常數(shù)和未知頻率的有界正弦函數(shù)視為外部干擾，這些形式的干擾基本上是由線性系統(tǒng)產(chǎn)生，與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的信號范圍更廣，其相較于線性系統(tǒng)接近于實(shí)際。SHUSTER［12］基于單位四元數(shù)法，在干擾系統(tǒng)是非線性的情況下，結(jié)合三乘二矩陣法的處理積，設(shè)計(jì)了依賴于外部信號控制器而不是依賴于外部信號的慣性矩陣控制器，但是外部信號和慣性矩陣是不確定的，此方法與實(shí)際理論相悖。因此，在此情況下，怎樣解決更加接近于實(shí)際情況的外部干擾，以及怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)不依賴外部信號或者不依賴于矩陣慣性的控制器，其是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題［13］。

本文對空間飛行器的飛行姿態(tài)這一關(guān)鍵參數(shù)采用了一個(gè)矩陣未知的Rodrigues參數(shù)加以描述。利用輸出調(diào)節(jié)理論［14-19］，通過求解調(diào)節(jié)器方程，設(shè)計(jì)了外部非線性系統(tǒng)的非線性內(nèi)部模型漸近估計(jì)。并且對控制器的狀態(tài)進(jìn)行了轉(zhuǎn)換和控制器中使用的公式加以處理，給出了較合理Lyapunov函數(shù)，并設(shè)計(jì)了使飛機(jī)全局穩(wěn)定的控制器。經(jīng)過理論計(jì)算與仿真結(jié)果表明，此控制器設(shè)計(jì)是可行的。

1 空間飛行器姿態(tài)方程

描述姿態(tài)的參數(shù)有多種形式，本文采用Rodrigues參數(shù)［12］來描述飛行器的姿態(tài)，其定義如下:

其中，e為歐拉轉(zhuǎn)軸，φ為歐拉轉(zhuǎn)角。

基于Rodrigues參數(shù)的飛行器姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程為

空間飛行器的姿態(tài)動力方程［21］可以有下面的方程表示

針對所研究對象式（1）和式（2），在未知非線性系統(tǒng)式（3）的干擾與慣性矩陣不確定性擾動情況下，使用所設(shè)計(jì)的內(nèi)部模型去預(yù)估不確定的外部模型系統(tǒng)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)理論解算出未知的確定性與外在旋轉(zhuǎn)矩陣干擾不相關(guān)的狀態(tài)反饋控制器。所設(shè)計(jì)模型讓任意初態(tài)與閉環(huán)系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)都是有界和滿足的:

2 非線性內(nèi)模設(shè)計(jì)

在內(nèi)模設(shè)計(jì)之前，先看看下列方程

式（4）被稱為調(diào)節(jié)器方程，（ρ（v），w（v），u（v））構(gòu)成了相對于式（1）、式（2）和外部非線性系統(tǒng)式（3）調(diào)節(jié)器方程的解。

調(diào)節(jié)器對應(yīng)的式（4）有未知解，其解是式（1）、式（2），并且外部系統(tǒng)式（3）全局穩(wěn)定的輸出調(diào)節(jié)問題有解的必要條件，此必要條件可由文獻(xiàn)［14］得到。設(shè) q（v）=0，可以得出 w（v）=0，u（v）=-R（v），ρ（v）能夠產(chǎn)生多個(gè)解，令ρ（v）=0，即可解釋此調(diào)節(jié)器的方程有解，得出式（1）、式（2）全局穩(wěn)定性輸出調(diào)節(jié)所產(chǎn)生的問題可以得出方程解。

設(shè)計(jì)系統(tǒng)預(yù)估的非線性內(nèi)模，假設(shè)如下

假設(shè) 1［22］對于式（1）、式（2）和外部系統(tǒng)式（3），存在一個(gè)適當(dāng)?shù)那秩胂到y(tǒng):

其中，θi表示狀態(tài)變量，F(xiàn)i、Gi、Ψi、Hi作為前提矩陣，用于描述系統(tǒng)有恰當(dāng)?shù)木S數(shù)，并且矩陣對（Fi，H）i來說其是一組能夠觀測的矩陣對，從而函數(shù)可以得出如下的式子

定義的非線性函數(shù)，并滿足:

因此，其確定有一個(gè)合適的矩陣K可以讓F-KH是一個(gè)Hurwitz矩陣，并且存在兩個(gè)適當(dāng)?shù)恼ň仃嘝、Q，滿足下面的方程:

則可以設(shè)計(jì)一個(gè)用來處理外界干擾力矩的非線性內(nèi)模式（9），

注1:在文獻(xiàn)［22］中假設(shè)條件1首次被提出，且基于假設(shè)2，CHEN等人［23］解決了一類最小相位非線性系統(tǒng)的干擾問題。

3 狀態(tài)變換

在控制器設(shè)計(jì)前，對內(nèi)模作如下狀態(tài)變換

可得

由式（10）可得

其中，

引理1［13］由改變能量函數(shù)技術(shù)可知，一定存在適當(dāng)?shù)膶?shí)常數(shù)和光滑的正定函數(shù)

其中，光滑函數(shù) C（ρ）＞0。

4 控制器設(shè)計(jì)

運(yùn)用如下Lyapunov函數(shù)魯棒性理論解決方法，利用此方法去解算控制器中閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性問題，能夠得出如下所示的定理。

定理 1:以式（1）、式（2）與式（9）為研究對象，并且設(shè)式（1）滿足其條件的前提下，轉(zhuǎn)動慣量矩陣J其有不穩(wěn)定的參數(shù)變量并且存在式（3）所得出的非線性干擾力矩的情況下，能夠得出如下所示的控制器式子:

因此，實(shí)現(xiàn)了所描述的解決方法，證明如下。

證明 考慮下面Lyapunov函數(shù)

把式（15）中第 1個(gè)式子代入式（18），且進(jìn)行Young不等式變換:對于任意的 ＞0，使得不等式

成立，從而得到

其中，σmi（nQ）是矩陣Q的最小特征值，為滿足一定條件下的預(yù)計(jì)算的正常數(shù)的參數(shù)值。

對式（10）進(jìn)行整理可得:

選取關(guān)于狀態(tài)ρ的函數(shù)B（ρ），使得

由于J0正定，可知

實(shí)現(xiàn)了所需要求解問題的要求。證畢。

5 數(shù)值仿真

進(jìn)行了系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)，并驗(yàn)證了所提出的控制規(guī)律。

則讓轉(zhuǎn)動慣量與標(biāo)稱部分的矩陣如下所示，

其中，v1，v2是由下面外部非線性干擾系統(tǒng)產(chǎn)生:

可知空間飛行器的姿態(tài)動力方程為

由式（1）、式（31）和式（32）可知，設(shè) q（v）=0，則調(diào)解方程的解為

由內(nèi)模設(shè)計(jì)部分知，取

可知以上3個(gè)都是Hurwitz的矩陣，說明滿足理論要求和假設(shè)條件。

則非線性內(nèi)模為

運(yùn)用Matlab工具，其運(yùn)行結(jié)果如下頁圖1～圖4所示。圖1曲線顯示了空間飛行器的角速度的變化；圖2曲線顯示了空間飛行器的姿態(tài)所產(chǎn)生變化；圖3曲線顯示了所示設(shè)計(jì)的內(nèi)部模型估計(jì)的外部系統(tǒng)的變化；圖4為其控制扭矩曲線。

從仿真軟件得出曲線結(jié)論可知，本文設(shè)計(jì)的控制律不僅能使剛體空間飛行器的姿態(tài)和角速度漸近穩(wěn)定，而且具有良好的抗干擾能力。

6 結(jié)論

針對含有參數(shù)不確定和外部干擾信號的空間飛行器，采用Rodriguese參數(shù)描述的飛行器數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于非線性內(nèi)模的反饋控制器。并且證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定。仿真表明，本文提出的控制器具有針對空間飛行器的轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)不確定的良好魯棒性與比較強(qiáng)的抗非線性外部系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾能力，從而證明了控制器的有效性和可行性。