陶印修 陳超
【摘要】今年反向過年是熱話題,反向過年好理解,而逆運算就不好理解。教師把書教明白那是必須的基本功。教師若能由淺入深地教會學(xué)生理解所學(xué)知識,往往能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文試圖從小學(xué)數(shù)學(xué)的加法與減法來理解互逆運算的概念,函數(shù)的概念,反函數(shù)的概念。所謂的逆運算是相對于正運算而言,加法是正運算,減法就是加法的逆運算。把函數(shù)理解為正運算有助于理解反函數(shù)概念,反函數(shù)就是函數(shù)的逆運算。顯見正運算簡單,而逆運算復(fù)雜,正逆運算的結(jié)果是還原。
【關(guān)鍵詞】還原 互逆運算 正運算 逆運算
一、簡單的加法與減法
我們都知道等式2+3=5是一種加法運算,由該等式可得另一等式5-3=2是一種減法運算。
二、減法是加法的逆運算
把上面的加法運算與減法運算中的2換成x,5換成y,可以抽象地把上面兩個等式寫成x+3=y與y-3=x。
1.還原與互逆運算
以上兩個等式不僅可以相互推導(dǎo),而且其關(guān)鍵問題是,原來的x經(jīng)過加法運算“+”與減法運算“-”兩種運算后x又還原回來啦,這樣的兩種運算就是互逆運算。
2.正運算與逆運算
我們把加法運算理解為正運算,那減法運算就是加法運算的逆運算。
三、函數(shù)是帶未知量的運算
函數(shù)概念比較抽象,若把函數(shù)理解為帶未知量的運算就簡單了。
在x+3=y中,y=x+3就是帶未知量x的加法運算,故y=x+3就是函數(shù)。
容易理解x叫自變量,y叫因變量。自變量的允許取值范圍的全體叫函數(shù)的定義域。因變量的取值范圍叫函數(shù)的值域。
自變量是一個的函數(shù)叫一元函數(shù),本文把一元函數(shù)作為研究對象。
y是函數(shù),運算通常用,來表示,函數(shù)y通常記作y=f(x)。本例中的運算f的含義是f()=()+3。
函數(shù)y=f(x)的實質(zhì),即運算f是作用在函數(shù)y=f(x)定義域上的函數(shù)。
四、反函數(shù)
雖然函數(shù)概念比較抽象,那反函數(shù)概念更抽象。
1.本義反函數(shù)
在函數(shù)y=f(x)中,是用x表示y。所謂函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)就是反過來表示的函數(shù),即用y表示x。函數(shù)y=(x)反函數(shù)的專用記號為x=f-1(y),把函數(shù)x=f-1(y)稱為函數(shù)y=f(x)的本義反函數(shù)。
由前面的兩個等式知x=y-3就是y=x+3的本義反函數(shù)。即
案例1y=x+3的本義反函數(shù)為x=f-1(y)=y-3。
需要強調(diào)指出,實際中用的就是本義反函數(shù)。
2.矯形反函數(shù)
習(xí)慣上自變量用字母x表示,因變量用字母y表示,但本義反函數(shù)x=f-1(y)中的自變量與因變量的記法與習(xí)慣表示不一致,為了與習(xí)慣表示保持一致,需要把本義反函數(shù)x=f-1(y)中的自變量與因變量互換位置,得y=f-3(x),把函數(shù)y=f-3(x)稱為函數(shù)y=f(x)的矯形反函數(shù)(矯形反函數(shù)只是好看而已)。
案例2y=x+3的矯形反函數(shù)為y=f-1(x)=x-3。
3.本義反函數(shù)與矯形反函數(shù)是同一函數(shù)
因運算f-1是作用在函數(shù)y=f(x)值域上的反函數(shù),故本義反函數(shù)x=f-1(y)與矯形反函數(shù)y=f-1(x)實質(zhì)上是同一函數(shù),正如趙本山與宋丹丹演的小品中說的,你脫了馬甲我也認(rèn)識你是一樣一樣的。
案例3案例1與案例2是同一函數(shù)。其實質(zhì)為f-1()=()-3。
五、反函數(shù)就是函數(shù)的逆運算
我們把函數(shù)理解為正運算,那反函數(shù)就是函數(shù)的逆運算。事實上f-1[f(x)]=f-1(y)=x,x經(jīng)過正運算“f”與逆運算“f-1”兩種運算后x又還原回來啦,這樣的兩種運算就是互逆運算。