江春蓮 柳芳

學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)離不開探究性教學(xué)和評價(jià)。如何組織探究性教學(xué)？如何設(shè)計(jì)探究性評價(jià)任務(wù)？筆者以一道中考幾何題為例，具體談?wù)勅绾螠y試學(xué)生的創(chuàng)新能力。

[如右圖，[AB]垂直平分[CD]交[CD]于[O]，[AB]=[BC]，[E]為[BC]延長線上的一點(diǎn)，[F]為[DB]延長線上一點(diǎn)，連接[AE]、[AF]，[∠EAF=∠EBF]，

（1）求證：[AE]=[AF].

（2）探究[BE]、[BF]、[OB]之間的關(guān)系，并證明.

（3）若[23OB=OA=1]，[BF=3]，直接寫出[△ABE]的面積. ] 上述第一問是證明題;第二問是探究性問題，要求學(xué)生探究三條線段之間的關(guān)系;第三問則是根據(jù)給定的線段長求[△ABE]的面積。

第一問有兩種解題思路：

【思路一】作輔助線：過[A]作[AG⊥BE]，[AH⊥BF]，[G]、[H]為垂足;又設(shè)[AF]、[BE]交于點(diǎn)[I].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC=][BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分，[∴][AG=AH].

在[△EAI]與[△FBI]中，[∵∠EAF=∠EBF]（已知）和[∠EIA=∠EIB]（對頂角相等），[∴∠IEA=∠IFB]（三角形內(nèi)角和定理）在[△EAG]與[△FAH]中，[∵][∠IEA=∠IFB]，[∠AGE=∠AHF=900]和[AG=AH]，[∴][△AGE？△AHF]，

[∴][AE-BF]=[（BG+GE）][-][（HF-HB）]=[BG+HB].（[∵][GE=HF）]

【思路二】作輔助線：連接線段[EF]，[∵][∠EAF]=[∠EBF]，[E]、[A]、[B]、F四點(diǎn)共圓，[∴][∠FEA]=[∠ABD]，[∠EFA]=[∠EBA].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC]=[BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分[∠CBD]，[∠ABD=∠ABE]，[∴∠FEA][=∠EFA]，[∴][AE=AF].

第二問，沿著上面的思路，可以得到：[BE=BG=GE]，[BF=HF-HB]，由此不難證明[△AGB？][△AHB][？][△COB]，進(jìn)而得出：[BE-BF]=2[BG]=2[OB].

第三問，根據(jù)前兩題的結(jié)論得出[S△ABE]=[12BE·AG]=[12（BF+2OB）·OB]，代入各個(gè)值即可計(jì)算出其面積。

從上面的討論，我們可以看出設(shè)計(jì)者一環(huán)套一環(huán)的設(shè)計(jì)思路。這樣的設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生掃除解答過程中的困難，但如果學(xué)生在第一問中沿思路二解答，則很難找到第二問的解答方法。如何突破這一點(diǎn)，幫助學(xué)生找到思路呢？在此我們先討論如何作圖，再來看圖形如何變化，借以引導(dǎo)學(xué)生找到思路。

[【作圖】根據(jù)前面的分析，我們可以看到在這個(gè)問題的圖形中，[C]、[D]可以任意選取，而[AB]則是[CD]的中垂線，考慮到[AB=BC]，可以先確定[A]，再確定[B]。（當(dāng)然，也可以是先有[A]、[B]、[C]點(diǎn)，而要滿足[AB]垂直平分[CD]，[D]點(diǎn)就應(yīng)該是[C]點(diǎn)關(guān)于[AB]的對稱點(diǎn)。）無論如何，一旦[C]、[D]兩點(diǎn)被確定下來，[CD]的中點(diǎn)[O]就被確定下來。接下來，可以在[BC]的延長線上任取[E]點(diǎn)，作[△ABE]的外接圓，該圓與[DB]延長線的交點(diǎn)，即為[F]點(diǎn)，所以，一旦[E]點(diǎn)被確定下來，[F]點(diǎn)也就相應(yīng)地被確定下來。反過來，我們也可以在[DB]的延長線上取點(diǎn)[F]，作[△ABE]的外接圓與[BC]延長線的交點(diǎn)[E]。 ]

由此，我們可以以[BE]的長度為橫坐標(biāo)，[BF]的長度為縱坐標(biāo)，作點(diǎn)，并追蹤該點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，其軌跡是斜率為1的直線（如上圖），所以[BE-BF]為常數(shù)。若同時(shí)測量[OB]的長度，可以發(fā)現(xiàn)，[BE-BF]=[2OB].

在考試時(shí)，學(xué)生是沒有動態(tài)幾何軟件可看的，如何輔助他們探究[BE]與[OB]的關(guān)系呢？筆者認(rèn)為，可以采用列表的方法給學(xué)生提供如下一些測量數(shù)據(jù)：

[序列 [BE] [BF] [OB] S1 5.04 0.92 2.06 S2 5.54 1.42 2.06 S3 6.04 1.92 2.06 S4 6.54 1.92 2.31 S5 7.04 1.92 2.56 ]

表中前三組數(shù)據(jù)中[OB]的值是一樣的，所以學(xué)生只用觀察[BE]和[BF]的改變，從[S1]到[S2]，從[S2]到[S3]，[BE]均增加了0.5，而[BF]也相應(yīng)地增加了0.5，我們可以猜想[BE]和[BF]之間是一次函數(shù)關(guān)系，而且系數(shù)比應(yīng)該是1;而后三組數(shù)據(jù)中的[BF]的值是一樣的，所以學(xué)生只用觀察[BE]和[OB]的改變，從[S3]到[S4]，從[S4]到[S5]，都是[BE]增加了0.5，而[OB]增加了0.25，我們可以猜想[BE]和[OB]之間是一次函數(shù)關(guān)系，而且系數(shù)比應(yīng)該是1：2。至此，學(xué)生可以得出[BE]=[BE+b1]、[BE=2OB+b2]（其中[b1]、[b2]為待確定的常數(shù)）。最后，學(xué)生可以選第一組數(shù)據(jù)，得到三條線段之間的關(guān)系：[BE=BF+2OB]，并代入后面的幾組數(shù)據(jù)中進(jìn)行檢驗(yàn)。

有了動態(tài)幾何軟件以后，我們可以通過建立函數(shù)關(guān)系對要解決的問題進(jìn)行探究。但在考試的情況下，如何呈現(xiàn)類似的信息呢？我們可以利用數(shù)表，讓學(xué)生觀察數(shù)表中量與量之間的關(guān)系，做簡單的數(shù)學(xué)建模。

對學(xué)生來說，建立函數(shù)常見的三種表達(dá)形式之間的聯(lián)系是一大困難，學(xué)生較習(xí)慣于解析式表征，而不太熟悉數(shù)表和圖象表征。這樣的問題設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生從不同的角度認(rèn)識一次函數(shù)的兩個(gè)量之間的關(guān)系。當(dāng)然，這里實(shí)際上是一個(gè)二元函數(shù)，考慮它們之間的關(guān)系時(shí)，可以把一個(gè)量（如[OB]）當(dāng)作已知的，單獨(dú)探討[BE]和[BF]之間的關(guān)系，這也是數(shù)學(xué)中處理復(fù)雜問題的常用方法。

（作者單位：江春蓮， 澳門大學(xué)教育學(xué)院;柳芳，深圳市深圳中學(xué)）

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