侯 偉 李興利 趙成元

(棗莊科技職業(yè)學院, 山東 滕州 277500)

1 引言及主要結論

Boussinesq方程組是流體方程中一類重要的方程．本文主要考慮如下非齊次不可壓Boussinesq方程組的初邊值問題：

(1.1)

上面方程組中，Ω?R3是有界并且邊界光滑的區(qū)域，研究的流體速度函數(shù)定義為u=u(x,t)，溫度函數(shù)、密度函數(shù)、壓力函數(shù)定義為θ=θ(x,t)．定義在外力作用下的向量函數(shù)f=f(x,t)，并且已知初始速度u=u0(x)，初始動量ρ0u0=ρ0u0(x)．這里Cv,μ,κ均為θ的正的函數(shù)，Cv、μ、κ分別表示比熱容、流體粘性系數(shù)、熱傳導系數(shù)．

近年來，有關Boussinesq方程組的研究有了新的進展．1999年，Kageir證明了三維粘性Boussinesq方程組弱解的整體存在性[1]．另外，李現(xiàn)今[2]在2010年又證明了三維Boussinesq方程組大解的全局L2穩(wěn)定性．

本文研究依賴ρ的三維Boussinesq方程組強解的局部存在唯一性．

定理1.1設Ω?R3為邊界光滑的有界開區(qū)域，T是一個正常數(shù)，假設(ρ0,u0,θ0,f)滿足正則條件：

若(ρ,u,p,θ)滿足下面的條件：

(1.2)

這里(g1,g2)∈L2(Ω),P0∈H1(Ω)而且系數(shù)滿足：

0<μ,CV,k∈C1(R2),μ=μ(ρ,ρθ),

那么初邊值問題(1.1)存在唯一的局部強解(ρ,u,p,θ)滿足：

(1.3)

其中T*>0是某常數(shù)．

2 解的一致估計

為了證明定理1.1，考慮線性問題：

(2.1)

這里記：

μ∶=μ(ρ,ρη),Cv∶=CV(ρ,ρη),k∶=k(ρ,ρη),μ0∶=μ(ρ0,ρ0θ0),k0∶=k(ρ0,ρ0θ0)

假定初值(ρ0,u0,θ0)滿足：

(2.2)

q∈[3,6],(g1,g2)∈L2(Ω),p0∈H1(Ω),f∈H1(Ω×(0,T)),ft∈L2(0,T;L2(Ω)). 假定已知向量對(v,η)滿足：

(v,η)∈C([0,T];H2(Ω))∩L2(0,T;W2,q(Ω)),(vt,ηt)∈L2(0,T;H1(Ω)).

(2.3)

divv=0,v|?Ω=0,η·n|?Ω=0

引理2.1

(2.11)

(2.12)

(2.13)

可以得到結論：

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

定理2.1假定(v,η)滿足(2.3)，用T*代替T且(v(0),η(0))=(u0,θ0),

(2.18)

那么線性問題(2.1)在[0,T*]存在唯一的強解(ρ,u,p,θ)滿足估計(2.14)-(2.17),而且有下面的正則性:

ρ∈C([0,T*];W1.q),ρt∈C([0,T*];Lq),(u,θ)∈C([0,T*];H2)∩L2(0,T*;W2,q),

p∈C([0,T*];H1)∩L2(0,T*;H-1.q),

因為證明過程和參考文獻[3-4]類似，在此省略．

3 定理1.1的證明

證明是建立在定理2.1的結果上，設u0,θ0∈C([0,+∞);H2)∩L2(0,+∞;H3)分別滿足下面的線性拋物方程：

?tu0-Δu0+p0=0,divu0=0,x∈Ω,

u0|?Ω=0,u0|t=0=u0,?tθ0-Δθ0=0,x∈Ω,

根據(jù)拋物方程的性質，得到：

(3.2)

根據(jù)(3.1)和(3.2),如果(v,η)∶=(u0,θ0)滿足定理(2.1)的假設,那么線性問題(2.1)在(0,T*)內也存在唯一的強解(ρ,u,p,θ)=(ρ1,u1,p1,θ1)且(v,η)=(u0,θ0),滿足估計(2.14)-(2.17),若(v,η)=(u1,θ1)也滿足定理(2.1)的假設,那么線性問題(2.1)在(0，T*)內存在唯一的強解(ρ,u,p,θ)=(ρ2,u2,p2,θ2)且(v,η)=(u1,θ1),滿足估計(2.14)-(2.17).根據(jù)這種迭代過程，能夠定義一個序列(ρi,ui,pi,θi),對任意的i≥1,(ρ,u,p,θ)=(ρi,ui,pi,θi)是線性問題(2.1)在(0,T*)內存在的唯一解,且(v,η)=(ui-1,θi-1)并且滿足一致估計：

(3.3)

(3.4)

注：根據(jù)參考文獻[3]易證明弱解(ρ,u,p,θ)關于時間的連續(xù)性和解的唯一性.在此省略．