石冶郝 林 玲 孫 穎

(1. 首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院, 北京 100048; 2. 湖南省邵陽市大祥區(qū)祥鳳實(shí)驗(yàn)學(xué)校, 湖南 邵陽 422000)

0 引 言

李陽剛[1]從一道奧林匹克問題入手，利用柯西不等式及均值不等式得到一類不等式的統(tǒng)一證法，并提出兩個(gè)類似不等式的猜想. 為下文需要，先給出參考文獻(xiàn)[1]的兩個(gè)定理和兩個(gè)猜想.

定理A設(shè)a,b>1，-1≤λ≤1，則

(1)

定理B若a1,a2,…,an>1，n∈N+，n≥2，0<λ≤1，則

(2)

猜想1若a,b,c>1,0<λ≤1，則

(3)

猜想2若a1,a2,…,an>1，n∈N+，n≥2，0<λ≤1，則

(4)

本文利用函數(shù)的凹凸性，借助琴生不等式，給出了不等式(1) 和(2)的更一般的形式，在特殊情形下，上述兩個(gè)猜想得到了證明.

1 主要結(jié)論

定理1若a1,a2,…,an>1,n∈N+,-1≤λ≤1,則當(dāng)μ≥1時(shí),

(5)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

定理2若0

(6)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

定理1和定理2證明方法相似，下面僅給出定理1的證明.

當(dāng)μ≥1時(shí),且-1≤λ≤1,x>0，則f″(x)>0.

注1當(dāng)μ=1時(shí)，由定理1的特殊情形容易發(fā)現(xiàn)參考文獻(xiàn)[1]的猜想2是成立的，顯然猜想2是猜想1的高維情形，因而猜想1自然成立. 但是定理1拓廣了兩個(gè)不等式(3) 和(4)中參數(shù)λ的研究范圍.

注2下面給出不等式(3)的一種加細(xì)．

=f(lna3)+f(lnb3)+f(lnc3)

故有

高維情形類似可得加細(xì)不等式.

為確認(rèn)SL-ASIA量表測(cè)量的有效性，本文將3個(gè)村寨獲得的樣本按各村寨人數(shù)比例隨機(jī)分成人數(shù)基本相同的兩組（Ecklund，2005；Reynolds，Ecklund &Terrance，2011）。使用一組樣本借助探索性因子分析檢驗(yàn)侗寨原住民的文化適應(yīng)情況及內(nèi)在維度，使用另一組樣本借助驗(yàn)證性因子分析來交叉驗(yàn)證第一組樣本里提出的維度模型，以觀察和確認(rèn)派生出的各個(gè)維度的內(nèi)部一致性。

注3當(dāng)μ≥1時(shí), 如果事先用數(shù)學(xué)歸納法證明了猜想2，但是數(shù)學(xué)歸納法證明過程非常繁瑣，則可根據(jù)不等式(2) 、(4)和冪平均不等式有

因此

整理即得定理1.利用Jensen加權(quán)不等式, 可以對(duì)定理1和定理2作加權(quán)推廣.

定理3若ak>1,ωk∈(0,1),k=1,2,…,n,ω1+ω2+…+ωn=1,n∈N+, -1≤λ≤1,

當(dāng)μ≥1時(shí),

(7)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

定理4若ak∈(0,1],ωk∈(0,1),k=1,2,…,n,ω1+ω2+…+ωn=1,n∈N+,λ≥1,

則當(dāng)0<μ≤1時(shí),

(8)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

下面給出定理3的證明.

利用Jensen加權(quán)不等式,

得ω1f(lnx1)+ω2f(lnx2)+…+ωnf(lnxn)≥f(ω1lnx1+ω2lnx2+…+ωnlnxn)，

同理可證定理4.

定理5若λ>0,n∈N+,ω1+ω2+…+ωn=1,ωk∈(0,1),k=1,2,…,n,

(1)當(dāng)μ∈(-∞,0)時(shí),xk∈(0,+∞) ,則

(9)

(10)

(11)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn.證明過程從略.

(12)

(11)退化為：

(13)

不等式(5)與(12)，(6)與(13)比較，結(jié)構(gòu)相同，但是不等式中的變量約束條件和參數(shù)范圍不一致. 本文對(duì)λ<0的情形不再討論.

2 應(yīng) 用

回顧定理1和定理2，當(dāng)λ=1且μ=1時(shí)，即成為Henrici′s不等式[2]：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

同時(shí)，本文所證定理的一些特殊情形也頻繁的出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽關(guān)于不等式證明的試題中，利用定理1(當(dāng)λ=1且μ=1時(shí))和定理4，分別得到下面3個(gè)例題.

例1(第39屆IMO預(yù)選試題) 令實(shí)數(shù)r1,r2,…,rn≥1，試證

說明：本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.

不等式是數(shù)學(xué)的重要組成部分，它遍及數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支學(xué)科，在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中占有不可忽視的一席之地. 命題者可以根據(jù)本文的結(jié)論編制不同的數(shù)學(xué)問題，為不同層次的學(xué)生提供方法.

3 思 考

若定理1中參數(shù)λ為負(fù)數(shù)，我們可以用級(jí)數(shù)方法重新證明不等式(5). 根據(jù)二項(xiàng)式函數(shù)(1+x)α的冪級(jí)數(shù)展開式[4]，

當(dāng)α≤-1時(shí), 收斂域?yàn)?-1,1).

因此,當(dāng)μ≥1時(shí),

于是