錢鵬

摘要：本文以一道河南模擬解幾題為例，從不同角度進(jìn)行探究，意在體現(xiàn)由一題通一類，提升數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)威良好的思維方法.

關(guān)鍵詞：探究;最值;距離

解析幾何問題往往沿續(xù)初中平面幾何中點(diǎn)、線段、直線以及平面幾何圖形等的關(guān)系，結(jié)合平面幾何的方法或坐標(biāo)法來處理一些相應(yīng)的問題，特別是一些相應(yīng)的最值問題等，越來越成為命題者青睞的考點(diǎn)之一，特別，此類問題往往是創(chuàng)新的重要場所之一，通過巧妙設(shè)置來綜合應(yīng)用.

1 問題呈現(xiàn)

問題（河南省中原名校2019屆高三第一次教學(xué)指導(dǎo)卷.15）已經(jīng)線段IABI =24，直線l//AB，且直線Z到AB的距離為5，P為直線l上任意一點(diǎn)，則|AP|×|BP|的最小值為______.

本題既有初中平面幾何的問題背景，又有高中解析幾何的問題定位，巧妙把初中平面幾何與高中解析幾何加以交匯，延續(xù)初中與高中數(shù)學(xué)知識的連續(xù)性與綜合性，具有一定的創(chuàng)新與綜合功能.

2多 維探究

探究1不同的問題切入視角會(huì)有不同的思考，對應(yīng)不同的解法.那么，本題有哪些不同的解法呢？

解法1 （坐標(biāo)法）通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間的距離公式建立相應(yīng)的兩線段的乘積|AP|×|BP|的坐標(biāo)關(guān)系式，通過轉(zhuǎn)化，利用配方，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題.

如圖1，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-12，0），B（12，0），設(shè)P（x，5）（X∈R），則有

解法2 （三角法）通過作圖，利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合|AB|=|AC|+|BC|引入對應(yīng)的三角關(guān)系式，并通過三角恒等變換加以轉(zhuǎn)化，再利用兩線段的乘積IAPI×IBPI的三角關(guān)系式的變換，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題.

如圖2，過點(diǎn)P作PC ⊥AB交AB于點(diǎn)G，可知|PC| =5，則有

解法3 （等面積法）通過三角形的面積公式，利用等面積法思維的轉(zhuǎn)化來建立相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而把兩線段的乘積|AP|×|BP|轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角關(guān)系式問題，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題.

探究2 將題中有關(guān)兩線段的乘積|AP|×|BP|轉(zhuǎn)化為兩線段的和|AP|+|BP|或其他相關(guān)形式，回歸初中平面幾何知識，會(huì)得到怎樣的相關(guān)問題？

問題l 已經(jīng)線段IABI =24，直線l//AB，且直線Z到AB的距離為5，P為直線l上任意一點(diǎn)，則|AP|+| BP|的最小值為____.

解析 如圖3，作點(diǎn)B關(guān)于直線Z的對稱點(diǎn)C，則知|BP|=| CP|.

通過探究，進(jìn)行一題多解、一題多變等的拓展與應(yīng)用，使學(xué)生通過解一道解幾最值的模擬題，達(dá)到解一組數(shù)學(xué)題、一類數(shù)學(xué)題的目的，復(fù)習(xí)總結(jié)了數(shù)學(xué)知識，又提升了數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維方法做了有益的嘗試.美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟.對學(xué)生來說，如何確定解題思維，把問題歸結(jié)到同一個(gè)熟悉的“問題”來處理是關(guān)鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應(yīng)萬變，熟練解決問題，

參考文獻(xiàn)：

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