江秋煜

(廣東省廣州市增城區(qū)永和中學(xué) 廣東 廣州 510000)

引言

在高中階段的數(shù)學(xué)中，數(shù)列是單獨作為一個章節(jié)進行教學(xué)，在數(shù)學(xué)的高考試卷中占有相當重要的比例，從選擇、填空到解答，甚至一些省市的壓軸題都是關(guān)于數(shù)列的問題。數(shù)列作為一個重要的知識點，能夠與高中數(shù)學(xué)中許多其他的知識點相結(jié)合起來，例如未知方程、三角函數(shù)以及不等式等，都可以很好的與數(shù)列結(jié)合起來，將數(shù)列作為解題的背景。本文主要是通過舉例說明函數(shù)思想在巧妙處理數(shù)列問題中所發(fā)揮的關(guān)鍵作用。——包括了對數(shù)函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合，導(dǎo)函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合，周期函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合，函數(shù)圖象與數(shù)列相結(jié)合來進行論述。

1.運用對數(shù)函數(shù)解決數(shù)列問題

【分析】：(1)因為{an} 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列

【考點解析】(1)掌握對數(shù)基本運算；(2)會等差數(shù)列求和；(3)會裂項相消法求和。

2.導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問題

求數(shù)列{an} 的通項公式和前n項和公式Sn

【分析】因為f′(x)=3x2，所以切線的斜率為k=f′(1)=3，而切點(1，2)，

切線方程為y-2=3(x-1) ，即：y=3x-1

又因為切線經(jīng)過點(an+1,an) ，所以an=3an+1-1 ，即3an+1=an+1 ①

3.運用周期函數(shù)性質(zhì)解決周期數(shù)列問題

【例題】設(shè)數(shù)列{an} 中，a1=a2=1，a3=2,且對n∈N，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3(anan+1an+2≠1)成立，試求該數(shù)列前100項和S100．

【分析】：對任何自然數(shù)N+，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3①

把式中的n換成n+1 ，得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4②

①-②得an+1an+2an+3(an-an+4)=an-an+4．

由于an+1an+2an+3≠1 ，必有an+4=an(n∈N+) ．

所以數(shù)列{an} 是以4為周期的周期數(shù)列.所以S100=25S4=25×(1+1+2+4)=200 ．

選取2015年10月～2018年1月吉林省遼源市礦業(yè)集團有限責任公司職工總醫(yī)院收治的60例橈骨遠端骨折患者做為研究對象，分為觀察組和對照組2組，每組30例，觀察組中男14例，女16例，年齡29～66歲，平均（45.9±3.2）歲，部位：左側(cè)18例，右側(cè)12例；對照組中男13例，女17例，年齡27～65歲，平均（45.6±3.6）歲，部位：左側(cè)19例，右側(cè)11例。兩組患者的性別、年齡、部位等資料比較，差異無統(tǒng)計學(xué)意義（P＞0.05）。

【考點解析】：(Ⅰ)能夠根據(jù)數(shù)列遞推條件把式中的n換成n+1 ；(Ⅱ)能夠通過數(shù)列的一些基本技能得出“an+T=an”，從而確定該數(shù)列具有周期性，并確定周期值。

4.運用函數(shù)圖像直觀地分析數(shù)列問題

【例題】已知{xn} 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3,x3-x2=2

(Ⅰ)求數(shù)列{xn} 的通項公式；(Ⅱ)如圖，在平面直角坐標系xoy中，依次連接點P1(x1,1) ,P2(x2,2) ,P3(x3,3) ,…,Pn+1(xn+1,n+1) 得到折線P1P2P3…Pn+1，求由該折線與直線y=0，x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.

【分析】(I)設(shè)數(shù)列{xn} 的公比為q(q>0) .

由x1+x2=3

所以3q2-5q-2=0，解得q=2，x1=1 .

所以數(shù)列{xn} 的通項公式為：xn=2n-1.

(II)過P1,P2,P3, ……Pn+1向軸作垂線，垂足分別為Q1,Q2,Q3, ……Qn+1,

所以Tn=b1+b2+b3+ ……+bn

=3×2-1+5×20+7×21……+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2

①

又2Tn=3×20+5×21+7×22+ ……+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1

②

①-②

【考點解析】本題通過的圖象模型性質(zhì)，巧妙的把平面幾何區(qū)域面積轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題。

5.構(gòu)造特殊函數(shù)模型解決數(shù)列問題

A、a1,a30B、a1,a9C、a10,a9D、a10、a30

【考點解析】：本題通過函數(shù)思想，把數(shù)列問題通過分離常數(shù)，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)模型的圖像性質(zhì)解決問題。

數(shù)列知識是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，更是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在近年的高考中，它都占有非常重要的地位.高考對數(shù)列知識的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會通過不同的形式呈現(xiàn).解答題多以中等難度為主，突出考查考生的嚴謹?shù)乃季S能力和解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度，而其中數(shù)列知識和函數(shù)知識相互滲透，交叉命題已成為近年高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。