☉江蘇省梅村高級中學 包正峰

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》一文在“課程基本理念”中創(chuàng)新性地指出：“高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，以落實立德樹人為根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)”.從而結合數(shù)學學科的基本特點，進一步歸納總結出了高中階段數(shù)學的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.

數(shù)學建模作為高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)的一大主要內容，也是教師數(shù)學教學與學生數(shù)學學習過程中一大必備的技能技巧.數(shù)學建模是對具體的現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，進一步用數(shù)學語言來表達問題，最后利用數(shù)學知識與相應的數(shù)學方法來構建出相應的數(shù)學模型，從而達到解決問題的目的.

在整個高中數(shù)學教學體系中，數(shù)學建模伴隨前行，是概念教學與知識應用中的一條重要鏈條.那么如何在實際數(shù)學教學中培養(yǎng)與滲透數(shù)學建模思維呢？本文結合教學實踐，通過具體的教學案例來剖析數(shù)學建模的滲透與培養(yǎng).

二、問題的解決

數(shù)學建模是利用數(shù)學方法解決實際問題的一種實踐，即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理后，將實際問題用數(shù)學方式表達出來，進而建立起數(shù)學模型，然后運用先進的數(shù)學方法及計算機技術等進行求解.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結論、驗證結果并改進模型、最終解決實際問題.

1.已有數(shù)學建模的完善

在很多數(shù)學問題中，題目已經(jīng)給出了相應的數(shù)學表達式等相關條件，此時往往在已有的數(shù)學建模基礎上進一步完善，通過題中對應的模型加以完善，尋找相應的破解思路，進而得以解決.

例1（2019屆河南省高三一模）已知實數(shù)x，y滿足3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2），則3y-5x=（ ）.

分析：利用題目中已有的函數(shù)、不等式模型，巧妙地構造函數(shù)模型f（t）=lnt-t+1（t＞0），并得到相應的對數(shù)不等式的結論：lnx≤x-1，進而結合該結論，利用兩邊夾定理，實現(xiàn)不等與相等的轉化，再結合等號成立時的條件來處理.解析：構造函數(shù)（ft）=lnt-t+1（t＞0），由于，所以令f′（t）=0，解得t=1，函數(shù)（ft）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.

所以f（t）max=f（1）=0，即f（t）=lnt-t+1≤0，即有l(wèi)nt≤t-1成立.

根據(jù)以上對數(shù)不等式的結論：lnx≤x-1，

可得ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤（x+y-3-1）+（2x-y+2-1）=3x-3，

所以3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤3x-3，

當且僅當x+y-3=2x-y+2=1時等號成立，解得x=1，y=3，此時3y-5x=4，

故選擇答案：B.

點評：結合題目中已有的數(shù)學模型，即對應的對數(shù)式或指數(shù)式的特點，通過完善數(shù)學建模，得到對數(shù)不等式的結論lnx≤x-1或指數(shù)不等式的結論ex≥x+1，巧妙地轉化其中的對數(shù)式或指數(shù)式，利用兩邊夾定理得以有效轉化，進而利用等號成立時的條件加以巧妙轉化，從而得以簡單快捷地破解.

2.根據(jù)知識體系進行數(shù)學建模

借助題目所反映的知識體系，有針對性地進行數(shù)學建模，回歸知識本源，進而借助于常見的思維方法來處理.比如在涉及平面向量的問題中，經(jīng)常通過坐標系的建立，使其回歸到坐標問題，進而借助坐標法來解決.

例2（2018屆江蘇省南京市高三第三次模擬考試·12） 在△ABC中，AB=3，AC=2，D為邊BC上一點，若的值為______.

分析：根據(jù)題目所反映的知識，借助坐標系的數(shù)學建?！ㄟ^建立平面直角坐標系，設出點C（2cosα，2sinα），D（x，y），結合來確定x的值，再結合分別求出y的值，再來確定cosα的值，進而結合平面向量的數(shù)量積公式來求解的值.

解析：如圖1，建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（3，0）.

圖1

設C（2cosα，2sinα），D（x，y），

又因為B，D，C三點共線，所以kBD=kBC，

故填答案：-3.

點評：在求解平面向量的相關問題中，利用數(shù)學建模，通過建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢⑺婕暗钠矫嫦蛄孔鴺嘶?，利用坐標運算來解答.這是解決平面向量問題的一類比較常見的思維方法，也是一種常見的思維方式.這樣合理地利用知識體系來進行數(shù)學建模，可以使得問題的破解更加有效可行.

3.結合條件信息進行數(shù)學建模

在題目條件中，通過挖掘條件信息，包括問題背景、函數(shù)關系式、等式等，找出其中的內在規(guī)律，抓住問題的實質，通過形象思維的拓展，與對應的數(shù)學模型加以有機鏈接，從而建立起反映題目條件的數(shù)學模型，達到有效數(shù)學建模，然后運用數(shù)學模型所對應的數(shù)學知識和方法來分析與解決問題.

例3（2019屆江蘇省常州市武進區(qū)高三第一學期期中考試·14）若正實數(shù)x，y滿足x2-xy+y2=9，且|x2-y2|＜9，則xy的取值范圍為______.

分析：根據(jù)題目條件“正實數(shù)x，y滿足x2-xy+y2=9”，通過變換得到32=x2+y2-2xycos60°，聯(lián)想到解三角形中的余弦定理，借助形象思維進行數(shù)學建模，構造對應的三角形模型來直觀處理.

解析：對于正實數(shù)x，y，根據(jù)x2-xy+y2=9，可得32=x2+y2-2xycos60°，

構造如圖2所示的△ABC，其中BC=3，∠A=60°.

根據(jù)三角形的面積公式與三角形的性質可得（正三角形時面積最大，此時BC所對應的高最大，點A位于圖中的A1位置），

可得xy≤9；

圖2

由對稱性不妨令x≥y＞0，則有|x2-y2|=x2-y2＜9，即x2＜y2+9，則△ABC為銳角三角形，

此時點A位于圖中的臨界點A2處，A2B⊥BC，則有x=，此時xy=6，

所以xy＞6.

綜上所述，xy∈（6，9］.故填答案：（6，9］.

點評：借助題目條件，通過關系式進行形象思維，結合余弦定理來構造三角形模型，結合三角形的面積公式與直角三角形的性質來確定相應的代數(shù)式的取值范圍.借助數(shù)學建模，通過直觀模型角度的正常切入，使抽象思維轉化為直觀思維，結合數(shù)學模型的展示，達到了優(yōu)化解題過程、節(jié)約解題時間、提升解題能力的目的.

三、感悟與反思

隨著新課程理念的不斷深入，數(shù)學建模在數(shù)學教學中的滲透與應用也越來越廣泛，諸如函數(shù)與方程、不等式、統(tǒng)計與概率、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、排列與組合等眾多的數(shù)學知識，都要求我們從數(shù)學建模的角度加以理解與掌握，從生活問題中加以切入數(shù)學應用.

其實，數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術；技術大致有章可循，藝術則無法歸納成普遍適用的準則.學生只有通過不斷地套用、模仿、修正、改進并創(chuàng)新，進而加深對數(shù)學知識的理解、對數(shù)學概念的掌握以及對數(shù)學模型的領會.通過數(shù)學建模，激發(fā)學生的求知熱情與探究精神，領會數(shù)學思想，優(yōu)化數(shù)學思維品質，提升數(shù)學核心素養(yǎng).