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        從光學(xué)極值思想到最速降線問題

        2019-05-24 02:49:54馬文東
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年4期
        關(guān)鍵詞:折射角伯努利光程

        馬文東

        (江蘇省淮北中學(xué) 223900)

        1 幾何光學(xué)的發(fā)展

        光的反射的研究,最早可以追溯到古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid of Alexandria ,前330年~前275年),在一本主要研究平面鏡、凹面鏡和凸面鏡反射問題的《鏡面反射》著作中,記錄了入射光線和鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角[1].約在公元100年,亞歷山大里亞的希羅為了解釋光的直線傳播和反射定律,曾經(jīng)提出過光在兩點(diǎn)之間走最短路程的看法.

        對光的折射現(xiàn)象的研究要稍晚一些,古希臘人托勒密(Claudius Ptolemaeus,約90年~168年)首先通過實(shí)驗(yàn)研究了光的折射現(xiàn)象,根據(jù)正確的測量數(shù)據(jù),得出一個只有在入射角很小的情況下才近似成立的結(jié)論:折射角和入射角是成正比關(guān)系.

        德國人開普勒(Johannes Kepler, 1571~1630)在托勒密實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,經(jīng)過分析當(dāng)時(shí)所知道的光學(xué)成果,發(fā)現(xiàn)了托勒密關(guān)于折射規(guī)律結(jié)論的局限性,得出了他的折射規(guī)律是:折射角由兩部分組成,一部分正比于入射角,另一部分正比于入射角的正割,只有在入射角小于30°時(shí),入射角和折射角成正比的關(guān)系才成立.

        荷蘭數(shù)學(xué)家斯涅耳(Willebrord Snell,1580~1626)于1620年前后,通過實(shí)驗(yàn)確立了開普勒想發(fā)現(xiàn)而沒有能夠發(fā)現(xiàn)的折射定律: 在不同的介質(zhì)里,入射角和折射角的余割之比總是保持相同的值.后經(jīng)法國人笛卡爾(Rene Descartes,1596~1650年),給出了折射定律的現(xiàn)代表述形式.

        1650年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Pierre de Fermat,1601~1665),把光的直線傳播、反射和折射定律等光學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)定律,總結(jié)成為一個原理:光由空間一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn),將沿著光程(作用量)為極值的路徑傳播.

        2 幾何光學(xué)中的極值問題(Fermat原理)

        2.1 光的反射

        光的反射取光程極小(同種介質(zhì)中也是時(shí)間最短)的路徑.

        例1平面鏡的反射,光程取極小值的情況:

        如圖1所示,光從A點(diǎn)發(fā)出,在O點(diǎn)反射經(jīng)過B點(diǎn),光程LAOB取極小值,作AO的鏡像A′O,容易看到A′B為一條直線段,兩點(diǎn)之間線段最短.如果從A到B的光路不經(jīng)過O點(diǎn),而是經(jīng)過O′點(diǎn),那么A′B變?yōu)檎劬€,此時(shí)光路LAO′B,很明顯,光程LAO′B>LAOB.

        2.2 光的折射

        折射光線也有光程取極值路徑的性質(zhì).

        圖2

        因此,只需證明

        n1·LAC+n2·LCB為最小值即可.

        根據(jù)數(shù)學(xué)中求極值的方法,令上式對x的微分等于零可得

        3 最速降線問題

        3.1 問題的表述

        圖3

        伽利略在1630年提出的問題:如圖3所示,一個質(zhì)點(diǎn)在重力作用下,從一個給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn),如果不計(jì)摩擦力,問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短.

        伽利略猜測這曲線是圓,可是這個答案只比直線要接近真實(shí),還不是所要求的正確答案.

        3.2 問題的解答

        瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)在1696年6月號的《教師學(xué)報(bào)》上重新提出了這個最速降線的問題并征求解答.到第二年有幾位數(shù)學(xué)家得到了正確答案,其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)和伯努利家族的成員.

        約翰·伯努利和牛頓的解答思路[2]:

        下面根據(jù)約翰·伯努利和牛頓的解答思路,較詳細(xì)介紹一下問題的解答過程:

        圖4

        (1)

        (2)

        由(1)和(2)可以得出,運(yùn)動小球所經(jīng)過的時(shí)間為

        (3)

        從T的表達(dá)式可以看出,T是依賴于函數(shù)y=y(x)的函數(shù),y=y(x)取不同的函數(shù),T也就有不同的值與之對應(yīng).

        對式(3)中y=y(x)的求解方法,文獻(xiàn)[3,4]多采用Euler方程的求解方法,而Euler方程的推導(dǎo)過程比較復(fù)雜,這里我們用一個相對較簡單的方法得出問題的解.

        (4)

        把(1)式代入(4)式,整理后得

        令y′=cotθ,

        又因?yàn)?/p>

        積分得

        由邊界條件y(0)=0,得c1=0.

        令t=2θ,則

        圖5

        伯努利和牛頓的解答,將引力場中的力學(xué)問題與光學(xué)問題進(jìn)行的類比,帶給人們以極大的啟發(fā)性,該問題本身導(dǎo)致了變分法的創(chuàng)立,從而為泛函極值的求解提供了普遍方法.

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