趙士元

(蘇州市吳中區(qū)教學(xué)研究室 215104)

筆者曾對(duì)某區(qū)域小學(xué)四年級(jí)共6895人，初中二年級(jí)共5317人以及高中二年級(jí)共1733人作過(guò)一次關(guān)于數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷涉及教師講解、自主探究、交流互助等七大方面的內(nèi)容，調(diào)查結(jié)果誘發(fā)我對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的一些思考.

何為教學(xué)行為？教學(xué)行為是由教學(xué)的行為主體(教師和學(xué)生)以及所有與行為主體相關(guān)聯(lián)的因素綜合作用產(chǎn)生的一種行為方式，這種行為方式不僅與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)也與受教育對(duì)象以及教學(xué)條件等諸多元素有關(guān)，它受制于教師自身的教育理念以及對(duì)教學(xué)內(nèi)容、受教對(duì)象的把握能力，其在教學(xué)過(guò)程中的表現(xiàn)形式有顯性和隱性的兩種.顯性教學(xué)行為以課堂教學(xué)中教師的有聲講解和肢體表達(dá)為代表、而隱性教學(xué)行為重點(diǎn)是指資料收集、教師教育觀、教師學(xué)生觀等一切在作出可見(jiàn)行為之前在頭腦中先期形成的思想、觀念等行為.隱性的教學(xué)行為支配著教師的外顯行為，反過(guò)來(lái)顯性的教學(xué)行為則是隱性教學(xué)行為內(nèi)在需求的外顯表現(xiàn)，而課堂教學(xué)效果則是各種教學(xué)行為共同作用的結(jié)果，其中教師講解行為對(duì)課堂教學(xué)效益的影響最大.本文擬根據(jù)平時(shí)的課堂觀察和調(diào)查研究對(duì)“教師講解”這一教學(xué)行為提出個(gè)人見(jiàn)解，意在尋求一種比較有效的帶有一定普適性的數(shù)學(xué)講解行為.

1 教師講解要提升趣味性

一位資深的數(shù)學(xué)教師在談到課堂教學(xué)時(shí)說(shuō)過(guò)這樣一句話：“課堂有趣學(xué)生愛(ài)，課堂無(wú)趣討人厭”，數(shù)學(xué)課，歷來(lái)以枯燥乏味而聞名，其中很大一部份原因是教師課堂講解缺乏趣味性所致.在本次調(diào)查問(wèn)測(cè)中我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題一：老師在講解問(wèn)題時(shí)，語(yǔ)言幽默風(fēng)趣、自然流暢嗎？

A．是 B．基本是

C．有時(shí)是 D．不是

三個(gè)不同學(xué)段的學(xué)生選擇A的比例分別為小學(xué)78%、初中47%、高中39%，說(shuō)明超過(guò)60%的高二學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)教師的課堂講解缺乏趣味性.主要原因有二：一是高中階段的教學(xué)內(nèi)容與初中和小學(xué)相比具有更明顯的理性成份，需要學(xué)生更多地用理性思維而不是感性思維去感知教學(xué)內(nèi)容；二是許多高中教師認(rèn)為高中學(xué)生較初中生和小學(xué)生具有更強(qiáng)的理性思考能力，因此課堂教學(xué)中無(wú)需再?gòu)?qiáng)調(diào)講解的趣味性，而這恰恰是高中教師認(rèn)識(shí)上的偏差.事實(shí)上，不管是哪個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)，他們都喜歡充滿趣味的課堂，而且充滿趣味的課堂能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生在輕松的氛圍中自由獲得知識(shí)、掌握技能最終學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

當(dāng)然，課堂教學(xué)中的趣味性隨年齡段的不同而有不同的表現(xiàn)形式，如果不顧學(xué)生學(xué)情一味地追求趣味很有可能落入“俗套”.

案例1一節(jié)“誘導(dǎo)公式”的公開課

教師在講解完“cos(-α)=cosα”后為了讓學(xué)生能形象地記住這一公式，用了一個(gè)比較“形象的比喻”，下面是這段比喻的實(shí)錄.

師：同學(xué)們，我們?cè)趺磥?lái)記憶“sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα”這兩個(gè)公式？

師：這樣理解是可以的，但這個(gè)學(xué)生實(shí)際上在頭腦中再次推導(dǎo)了這兩個(gè)公式，這不算真正的記憶.

師：老師教你們一種記憶方式.

(此時(shí)，學(xué)生帶著渴望的神情等待教師講解)

師：我們把余弦符號(hào)中間的字母看成是一張嘴，而“-”是一顆糖，這嘴有點(diǎn)饞，把這顆糖吃掉了，所以公式“cos (-α)=cosα”中的“-”不見(jiàn)了，而正弦的嘴還沒(méi)長(zhǎng)好，所以這顆糖沒(méi)有吃掉.

這段講解看似很富趣味，但實(shí)際上有幾點(diǎn)值得我們深思：首先，這位學(xué)生的理解非常好，從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)看，學(xué)生記憶本身就有有意識(shí)記和無(wú)意識(shí)記，而這位學(xué)生能從定義本身出發(fā)理解這兩個(gè)公式，這是非常值得肯定的，它是屬于有意識(shí)記的范疇.但是老師卻用否定的語(yǔ)氣進(jìn)行評(píng)價(jià)，這不利于學(xué)生的自主發(fā)展；其二，對(duì)于高中學(xué)生而言，再用什么糖果之類的比喻未免有點(diǎn)太“兒童化”了，這種比喻不符合高中學(xué)生的年齡特點(diǎn)；其三，這樣的比喻本身帶有科學(xué)性錯(cuò)誤，我們暫且認(rèn)定“cosα”中的字母“o”是一張嘴巴，它把糖吃了，而“sinα”沒(méi)長(zhǎng)嘴巴，但如果我們繼續(xù)考慮書本沒(méi)介紹的公式“cot(-α)=-cotα”，同樣長(zhǎng)了個(gè)嘴巴，為什么這里不吃糖了？難道這張嘴太“老”了，啃不動(dòng)糖了？

2 教師講解要突出整合性

教師的講解行為實(shí)際上體現(xiàn)了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的處理和把握能力.無(wú)論是哪個(gè)學(xué)段的教師對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的講解都有一個(gè)共性的要求：講解要突出重點(diǎn)，否則講解面面俱到、主次不分，學(xué)生的學(xué)習(xí)也就無(wú)法抓住重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)要追求“整合”以培養(yǎng)學(xué)生融合性思維的能力，否則學(xué)生學(xué)到的知識(shí)過(guò)于“碎片化”，不利于學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.但從我們的調(diào)查分析來(lái)看，在不同的學(xué)段中教師的講解行為存在著明顯的差異，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師比較重視重點(diǎn)內(nèi)容的講解而不很重視教學(xué)內(nèi)容的整合和重組，而中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師則反之，他們對(duì)內(nèi)容的“整合和重組”的重視程度更甚于教學(xué)內(nèi)容本身.這與中小學(xué)階段教學(xué)內(nèi)容的深度和寬度有關(guān)，我個(gè)人認(rèn)為這是比較正常的.但也有部份中學(xué)教師在講解時(shí)過(guò)于“單一化”，講解時(shí)重視知識(shí)點(diǎn)的講解而忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握.

案例2一節(jié)《三角函數(shù)定義》的高三一輪復(fù)習(xí)課

教師在復(fù)習(xí)完三角函數(shù)線后出示了這樣一條題：

下面是教師組織課堂教學(xué)的實(shí)錄片斷：

師：要求函數(shù)定義域，根據(jù)定義域的一般求法，我們應(yīng)列出什么條件？

師：很好，函數(shù)定義域?qū)嶋H上就是不等式的解集，為求解這個(gè)不等式，我們需要用到三角函數(shù)線，請(qǐng)同學(xué)們?cè)倩貞浺幌聞偛艔?fù)習(xí)的三角函數(shù)線.

師：大家有沒(méi)有什么不同意見(jiàn)？

(學(xué)生沉默)

師：有沒(méi)有注意到余弦的周期性？

3 教師講解要凸顯數(shù)學(xué)性

數(shù)學(xué)課堂要有數(shù)學(xué)味、數(shù)學(xué)教師的講解也要有數(shù)學(xué)味，所謂數(shù)學(xué)味就是數(shù)學(xué)的味道：它既不是美麗的畫面也不是動(dòng)聽的音樂(lè)，既不是浪漫的詩(shī)意也不是有趣的情景，它是指向數(shù)學(xué)本身的對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的洞察和解析，是從數(shù)學(xué)的角度探索數(shù)學(xué)特有規(guī)律的一種情感，它倡導(dǎo)用數(shù)學(xué)家的思維分析和解決實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)的味道既決定于教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)也決定于教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)的味道在課堂中體現(xiàn)出“思辯多于追風(fēng)、靈動(dòng)多于機(jī)械”的教學(xué)特點(diǎn)，師生在充滿數(shù)學(xué)味的課堂中自由地思辯和探究并在其中不斷地成長(zhǎng).可是，有些教師在教學(xué)中忽視了數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)味，過(guò)分地追求華麗、追求熱鬧、追求時(shí)尚，把教學(xué)當(dāng)成演戲.更有甚者，個(gè)別教師把課堂當(dāng)作展示自己的舞臺(tái)，在課堂里盡情“表演”而對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)置若罔聞.

案例3一節(jié)高考數(shù)學(xué)題的評(píng)講課

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

這是2018年全國(guó)卷(Ⅱ)的最后一條題目.下面摘錄一段課堂實(shí)錄：

師：在解第(2)小題時(shí)，我們可以設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.同學(xué)們想一想，這個(gè)函數(shù)與題目中給定的函數(shù)有什么關(guān)系？

(經(jīng)過(guò)大約2分鐘的思考后，有一位學(xué)生舉手)

師：很好，現(xiàn)在老師問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)這樣的處理后你認(rèn)為函數(shù)f(x)與g(x)之間存在什么樣的關(guān)系？

(經(jīng)過(guò)約一分鐘的思考后，該學(xué)生回答)

生：由于ex總是正的，因此，f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)=1-ax2e-x在區(qū)間(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以我們只要研究函數(shù)h(x)=1-ax2e-x在區(qū)間(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的值.

師：這位學(xué)生講的非常好！下面我們就用熱烈的掌聲對(duì)這位學(xué)生的回答表示祝賀和感謝.

下面我們來(lái)分析這段對(duì)話，我們不否認(rèn)這位學(xué)生的思考是有價(jià)值的，它能挖掘出兩個(gè)不同函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.但這里有幾點(diǎn)值得我們深思：

一是學(xué)生的回答是在教師提出了一個(gè)新的函數(shù)后進(jìn)行了追根索源的思考，這一點(diǎn)是值得提倡的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)象數(shù)學(xué)家那樣去思考問(wèn)題，對(duì)一些“自然而然”的結(jié)論要學(xué)會(huì)責(zé)疑、學(xué)會(huì)探索問(wèn)題根源，但在這一案例中學(xué)生完成了“由果索因”這項(xiàng)工作，但具有數(shù)學(xué)味的課堂同時(shí)強(qiáng)調(diào)“由因?qū)Ч?本案例中教師先入為主出示了函數(shù)h(x)，問(wèn)題是如果教師不提出這個(gè)函數(shù)，學(xué)生能想到嗎？

二是這一轉(zhuǎn)換是等價(jià)的，但轉(zhuǎn)換過(guò)程中并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)“由繁到簡(jiǎn)”的過(guò)程，我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)中往往要通過(guò)轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”、“由生疏為熟悉”、“化未知為已知”等目的，但本例的轉(zhuǎn)化并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)這一意圖.從思維的常規(guī)性來(lái)看，在數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化過(guò)程中往往將“負(fù)指數(shù)”要化為“正指數(shù)”，但本次轉(zhuǎn)化卻是反其道而行之，實(shí)現(xiàn)了將“正指數(shù)問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“負(fù)指數(shù)問(wèn)題”，這有違常理，為什么要這樣轉(zhuǎn)化？教師沒(méi)有進(jìn)行深入的思考，只是在“仔細(xì)”閱讀了參考答案后反推出了所謂的解題思路，而且將這一解題思路淋漓盡致地在課堂展示給學(xué)生看了.看似講得“頭頭是道”，實(shí)則只是教師的一堂“數(shù)學(xué)解題表演課”！

4 教師講解要關(guān)注生成性

教學(xué)效果是課堂教學(xué)中預(yù)設(shè)與生成共同作用的產(chǎn)物，沒(méi)有預(yù)設(shè)的課堂難以完成學(xué)習(xí)目標(biāo)，而沒(méi)有生成的課堂是呆板低效的.在平時(shí)的課堂觀察中可以發(fā)現(xiàn)有些教師在上課時(shí)過(guò)分追過(guò)完美，把課堂當(dāng)成講堂，教學(xué)過(guò)程井然有序、課堂結(jié)構(gòu)科學(xué)嚴(yán)密，但是學(xué)生在這樣的課堂上被動(dòng)地接受，知識(shí)的接受缺乏體驗(yàn)性過(guò)程，學(xué)習(xí)效率低下.

案例4在案例2提到的那節(jié)課上，有這樣一條題目：

已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3a,4a)，則sinα=________;cosα=________.

我們認(rèn)為學(xué)生在課堂上出錯(cuò)是很正常的，問(wèn)題是在學(xué)生得出這樣的錯(cuò)誤結(jié)論后教師如何引導(dǎo)學(xué)生“自我反省”？一個(gè)比較好的做法是設(shè)置相關(guān)題組讓學(xué)生在練習(xí)中省悟，在比較中辯別.針對(duì)這一錯(cuò)誤我們可以即興編制這樣一組題組：

(1)已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)，則sinα=________;cosα=________.

(2)已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-5,-12)，則sinα=________;cosα=________.

(3)已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3a,4a)，當(dāng)a=-1時(shí)sinα=________;cosα=________.

通過(guò)這一題組的訓(xùn)練，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)自身錯(cuò)誤的原因所在，并且能更好地理解點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r的實(shí)際意義.此外，這樣的處理強(qiáng)調(diào)了教師引導(dǎo)、設(shè)問(wèn)，學(xué)生感悟?yàn)橹鞯慕虒W(xué)方式，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、自覺(jué)參與中體驗(yàn)成功的快樂(lè).

5 教師講解要強(qiáng)化探究性

數(shù)學(xué)教師講解的突出要求是要注重探究性，這也是數(shù)學(xué)性的主要標(biāo)志.教師在課堂教學(xué)中應(yīng)突出設(shè)疑、引導(dǎo)、探究，通過(guò)教師精心預(yù)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生思考.面對(duì)一些比較復(fù)雜或者學(xué)生難以理解的問(wèn)題，教師還要善于設(shè)置“中間臺(tái)階”以幫助學(xué)生跨越難點(diǎn)，以“問(wèn)題鏈”為載體、以“導(dǎo)問(wèn)”為手段引導(dǎo)學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上感悟數(shù)學(xué)的精彩結(jié)論,而不是以自問(wèn)自答的形式直接告知結(jié)果.

案例5一節(jié)題為《正切函數(shù)圖象與性質(zhì)》的復(fù)習(xí)課

首先，教師與學(xué)生一起復(fù)習(xí)正切線的概念，并通過(guò)正切線畫出了正切函數(shù)的圖象，在得出了如圖所示的正切函數(shù)圖象后，教師要求學(xué)生根據(jù)圖象回答如下兩個(gè)問(wèn)題：

(1)函數(shù)y=tanx的定義域和值域分別什么？

(2)函數(shù)y=tanx的單調(diào)性、奇偶性、周期性如何？

從課堂效果來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生都能通過(guò)觀察圖象快速地說(shuō)出正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、奇偶性和周期性，隨后教師提出了如下的問(wèn)題(3)：函數(shù)y=tanx是奇函數(shù)，也就是說(shuō)正切函數(shù)y=tanx的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，換句話說(shuō)原點(diǎn)是正切函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，那么正切函數(shù)y=tanx除了原點(diǎn)以外還有其他的對(duì)稱中心嗎？如果有，請(qǐng)寫出它的對(duì)稱中心.

問(wèn)題1：圖象關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)稱的幾何意義是什么？

問(wèn)題2：用恒等式表示函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)中心對(duì)稱

問(wèn)題3：若P(x0,y0)是函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心，它應(yīng)該滿足什么條件？

問(wèn)題4：從問(wèn)題3出發(fā)，可否求出P(x0,y0)的坐標(biāo)？

通過(guò)這些問(wèn)題的探究讓學(xué)生從理性的角度理解：函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)中心對(duì)稱等價(jià)于等式“f(x0+x)+f(x0-x)=2y0”對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立.

于是在研究正切函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心時(shí)可設(shè)其對(duì)稱中心為P(x0,y0).即，

對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有：

tan (x0+x)+tan (x0-x)=2y0.

若tanx0存在，則取x=x0和x=0，分別得到tan 2x0=2y0和2tanx0=2y0，聯(lián)立方程組得到tanx0=0，從而x0=kπ(k∈Z)，進(jìn)一步得到y(tǒng)0=0;

tan (x0+x)+tan (x0-x)

恒成立，

上述研究既從數(shù)量的關(guān)系探究了正切函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心，同時(shí)也充分凸顯了“特殊到一般”以及“分類討論”等重要數(shù)學(xué)思想，更重要的一點(diǎn)是這一探究對(duì)有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)也具有積極的意義.

以上所述是筆者本人對(duì)數(shù)學(xué)教師“課堂講解行為”的一點(diǎn)思考，當(dāng)然講解行為只是教師教學(xué)行為的一個(gè)側(cè)面.作為教師,我們的講解要立足于引導(dǎo)，通過(guò)引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生自己“找出路”的能力，讓學(xué)生做開自己車的“司機(jī)”，而不是搭教師車的“乘客”，讓學(xué)生在參與中學(xué)習(xí)、體驗(yàn)中感悟、在實(shí)踐中提升，切實(shí)提升學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng).