孫龍剛，郭鵬程，麻 全，鄭小波，羅興锜

（西安理工大學(xué)水利水電學(xué)院，西安 710048）

0 引 言

動(dòng)靜干涉（rotor-stator interaction，RSI）現(xiàn)象是葉輪機(jī)械的顯著特征，主要是由于轉(zhuǎn)子與定子的相對運(yùn)動(dòng)，前排葉片的尾跡區(qū)對后排葉片形成周期性擾動(dòng)，引起葉輪內(nèi)部速度及壓力場隨時(shí)間發(fā)生周期性變化，誘導(dǎo)幅值較高的壓力脈動(dòng)[1-3]。Franke等澄清了RSI的產(chǎn)生機(jī)理，首次對 RSI作用下的壓力波模式進(jìn)行了可視化研究，并對一個(gè)20個(gè)活動(dòng)導(dǎo)葉的水泵水輪機(jī)進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證[4]。葉輪機(jī)械 RSI效應(yīng)的捕捉，必須進(jìn)行瞬態(tài)計(jì)算，而為了避免共振，葉輪機(jī)械轉(zhuǎn)子與定子葉片數(shù)往往互質(zhì)，使得周期性邊界條件設(shè)置失效，此時(shí)必須對整圈葉片進(jìn)行計(jì)算，保證轉(zhuǎn)子與定子之間的螺距比為1，從而確保上下游信息的準(zhǔn)確傳遞，以提高計(jì)算精度[5]。江偉等[6]研究發(fā)現(xiàn)，隨著流量增加，離心泵半高導(dǎo)葉斷面間隙對葉輪和導(dǎo)葉之間的 RSI作用逐漸減弱，而葉輪與蝸殼之間作用逐漸增強(qiáng)。李偉等[7]采用PIV技術(shù)對混流泵內(nèi)部流場進(jìn)行了試驗(yàn)研究，測試結(jié)果顯示受葉輪和導(dǎo)葉之間 RSI作用的影響，導(dǎo)葉進(jìn)口處渦旋流動(dòng)結(jié)構(gòu)較為明顯，造成流道堵塞。麻全[8]數(shù)值研究了高水頭混流式水輪機(jī)穩(wěn)定飛逸工況下水輪機(jī)不同位置的壓力脈動(dòng)特性及 RSI效應(yīng)。葉輪機(jī)械全流道數(shù)值計(jì)算相當(dāng)耗費(fèi)計(jì)算資源及時(shí)間，并且與計(jì)算域的離散、湍流模型，求解控制等均有關(guān)。水輪機(jī)部件相對較多，為更準(zhǔn)確地捕捉內(nèi)部流動(dòng)特性，全流道計(jì)算的網(wǎng)格已達(dá)上千萬甚至更多[9]，而進(jìn)行全流道瞬態(tài)計(jì)算，單個(gè)工況的計(jì)算時(shí)間通常要達(dá)數(shù)十天，若采用更高級的湍流模型及要求更高精度，時(shí)間會(huì)更長且消耗更多的CPU及內(nèi)存[10-11]。

TBR（transient blade row）模型[12]提供了一種采用1個(gè)或者 2個(gè)流道計(jì)算葉輪機(jī)械瞬態(tài)效應(yīng)的方法，并且保證一定的精度，從而解決了瞬態(tài)計(jì)算部分流道相鄰級之間角度比不為 1的問題，大大降低了葉輪機(jī)械瞬態(tài)分析的計(jì)算資源與時(shí)間消耗，使得瞬態(tài)分析能夠成為葉輪機(jī)械常規(guī)設(shè)計(jì)的有力工具。TBR模型提供了3種方法：PT（profile transform）法，TT（time transform）法和 FT（fourier transform）法[13]。PT法是最直接的變換法，是將分布在交界面上的變量按照角度比進(jìn)行比例縮放從而保證通量守恒；TT法基于時(shí)間傾斜法，是一種顯示計(jì)算；而 FT方法采用傅里葉級數(shù)對周向邊界和轉(zhuǎn)靜邊界進(jìn)行求解歷史的重構(gòu)[14-15]。Zori 等[16]分別采用TT方法和PT方法對某一1.5級跨聲速壓縮機(jī)進(jìn)行了數(shù)值模擬，對比分析不同方法的在氣體動(dòng)力學(xué)參數(shù)及內(nèi)部流動(dòng)特征的捕捉能力。Connell等[17]分別以高壓動(dòng)力渦輪級和低壓飛機(jī)渦輪級為研究案例，在計(jì)算資源的優(yōu)化利用以及時(shí)間精度上對比分析不同參數(shù)對PT法、TT法以及FT法的影響，結(jié)果表明，TT法與FT法在時(shí)間精度上要高于PT法，而FT法在穩(wěn)定性上要強(qiáng)于TT法。Robinson等[18]利用TT法對某一帶導(dǎo)葉擴(kuò)壓器的離心壓縮機(jī)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，獲得了與試驗(yàn)值比較一致的數(shù)值解。Cornelius等[19]評估了穩(wěn)態(tài)計(jì)算方法和瞬態(tài)的 TT法在多級軸流壓縮機(jī)旋轉(zhuǎn)失速點(diǎn)捕捉和氣體動(dòng)力穩(wěn)定性預(yù)測的可靠性，與穩(wěn)態(tài)計(jì)算比較，在接近失速區(qū)瞬態(tài)的 TT方法獲得了與試驗(yàn)數(shù)據(jù)更匹配的速度線。此外，TT方法與FT方法還可應(yīng)用于進(jìn)口擾動(dòng)、葉片顫振等。

目前TBR模型多用于渦輪機(jī)及壓縮機(jī)的性能預(yù)估及負(fù)荷預(yù)測上，且多用于可壓縮流動(dòng)，而以水為工作介質(zhì)的葉輪機(jī)械具有大密度特性，其動(dòng)態(tài)液體力更大，RSI效應(yīng)將更為顯著。2014年，挪威科技大學(xué)（Norwegian University of Science and Technology-NTNU）公布了名為Francis99（又名 Tokke模型）混流式模型水輪機(jī)的幾何模型，同時(shí)提供了詳細(xì)的水力效率、壓力脈動(dòng)等試驗(yàn)數(shù)據(jù)，便于對數(shù)值計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證、分析及比對[20-21]。Nicolle等[22]采用 TBR模型對 Francis99高水頭水輪機(jī)進(jìn)行了性能預(yù)測，該文的計(jì)算結(jié)果表明壓力脈動(dòng)幅值沿流線方向依次減小，與試驗(yàn)結(jié)果差異較大。與Nicolle等的計(jì)算方法不同，本文采用不同的模擬域并重新生成高質(zhì)量的網(wǎng)格，分別利用全通道方法、PT方法與FT方法對Francis99模型水輪機(jī)進(jìn)行不可壓縮的RSI及葉片負(fù)荷數(shù)值預(yù)測，并與試驗(yàn)值結(jié)果進(jìn)行對比，以評估PT方法及FT方法在預(yù)測以水為工作介質(zhì)的不可壓縮葉輪機(jī)械性能的可靠性。

1 計(jì)算理論及模型

1.1 流動(dòng)控制方程及k-ω SST模型

非穩(wěn)態(tài)的 RANS（Reynolds Average Navier-Stokes equations）方程如下[23]

式中t為時(shí)間，s; ρ為密度，kg/m3；p為壓力，Pa；v為渦黏度；Ui與Uj分別為i和j方向上的時(shí)均速度，m/s;ui′和u′j分別為脈動(dòng)速度，為Reynolds應(yīng)力張量。

本文采用k-ω SST湍流模型來封閉方程組（1）。

式中vt表示湍動(dòng)渦黏度，為待求量，Sij為變形率張量，δijk為Kronecker符號(hào)。

k-ω SST湍流模型中湍動(dòng)能k和比耗散率ω的輸運(yùn)方程如式（3）所示[24]

式中F1與F2為混合函數(shù)，Pk為湍動(dòng)生成項(xiàng)，α，α1，β，β*，σk，σω，σω2等均為方程組閉合系數(shù)。

k-ω SST湍流模型在邊界層使用k-ω湍流模型，在其余區(qū)域應(yīng)用k-ε湍流模型，可較好地捕捉葉輪機(jī)械的流動(dòng)分離現(xiàn)象。

1.2 TBR模型

由于TT方法僅僅適用于可壓縮流動(dòng)，故本文只進(jìn)行了PT法與FT法的數(shù)值計(jì)算。如圖1所示為PT法與FT法原理示意圖。

圖1 PT法與FT法原理示意圖Fig.1 Principle diagram for profile transform (PT) and Fourier transform (FT) methods

如圖1a所示，PT方法是最簡單最直接的方法，其原理是按照式（4）對變量進(jìn)行縮放，從而達(dá)到上下游通量守恒的目的，但是其對角度比有嚴(yán)格的限制，要求接近1。

式中1pφ與2pφ分別為交界面上游及下游通量，l為角度比。

FT方法對角度比沒有嚴(yán)格限制，使用一種采樣方法對求解歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，是將前幾次計(jì)算生成的數(shù)據(jù)作為一個(gè)采樣點(diǎn)用來進(jìn)行下一次計(jì)算，然后對采樣點(diǎn)進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開，獲得所關(guān)心的物理量在某一位置上的函數(shù)關(guān)系式。FT方法采用相變邊界條件，其圓周方向在不同時(shí)刻彼此成周期。按照式（5）轉(zhuǎn)子與定子在中間面上進(jìn)行流動(dòng)變量的采樣，從而計(jì)算出傅里葉系數(shù)[22]，如圖1b所示。進(jìn)一步，F(xiàn)T方法利用基于周向角度差的相角滯后及轉(zhuǎn)輪速度，對周期面上的流動(dòng)變量用傅里葉系數(shù)進(jìn)行重新構(gòu)建，如式（6）和（7），因此不用存儲(chǔ)完整的計(jì)算信號(hào)，提高了計(jì)算速度。

式中sφ，1pφ，2pφ分別為采樣面，2個(gè)周期面上的流動(dòng)變量，t與Δt分別為時(shí)間和時(shí)間步長，Am為傅里葉系數(shù)，m為采樣數(shù)，ω為角速度，PR和PS分別為一個(gè)流道內(nèi)轉(zhuǎn)子與定子的周向角度，R為半徑。

1.3 計(jì)算模型及網(wǎng)格生成

Franciss99模型主要部件包括一個(gè)內(nèi)嵌14個(gè)固定導(dǎo)葉的蝸殼、28個(gè)活動(dòng)導(dǎo)葉，帶有15個(gè)長葉片及15個(gè)短葉片的轉(zhuǎn)輪及一個(gè)彎肘形尾水管。模型機(jī)與原型轉(zhuǎn)輪出口直徑分別為0.349和1.778 m，兩者間的縮放比為1:5.1。最優(yōu)工況下，模型機(jī)組活動(dòng)導(dǎo)葉開度α為9.84°，試驗(yàn)水頭H為11.91 m，轉(zhuǎn)速n為35.12 rad/s，按照IEC 60193，流量系數(shù)QED及轉(zhuǎn)速系數(shù)nED分別為0.15和0.18，對應(yīng)的原型機(jī)組水頭及出力分別為377 m和110 MW[25-27]。

計(jì)算域離散采用精度較高的塊結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格對計(jì)算域進(jìn)行離散，對活動(dòng)導(dǎo)葉及轉(zhuǎn)輪葉片，整體采用“H”形塊，然后在翼型壁面使用一個(gè)“O”形塊包裹葉片以便提供更好的網(wǎng)格質(zhì)量，并且對所有的壁面處進(jìn)行局部加密處理以期望獲得更好的壁面求解。采用 5種不同密度的網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證，網(wǎng)格總數(shù)分別為306.7萬、651.2萬、960.4萬、1 227.9萬和1 523.4萬，圖2所示為水輪機(jī)效率及扭矩隨網(wǎng)格數(shù)的變化規(guī)律。由無關(guān)性測試結(jié)果可知，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)大于 960萬時(shí)，水輪機(jī)水力效率與轉(zhuǎn)輪扭矩隨網(wǎng)格數(shù)的增加不再變化，因此考慮到計(jì)算資源與計(jì)算精度的折衷，數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格數(shù)最終選取為960.4萬。如圖 3所示為數(shù)值計(jì)算采用的轉(zhuǎn)輪及活動(dòng)導(dǎo)葉網(wǎng)格示意圖。

數(shù)值計(jì)算域各過流部件網(wǎng)格信息如下，蝸殼（包括活動(dòng)導(dǎo)葉）、活動(dòng)導(dǎo)葉、轉(zhuǎn)輪及尾水管網(wǎng)格的最小角度分別為21.4°，24.7°，28.8°和35.4°，對應(yīng)的網(wǎng)格縱橫比為77、96、242和83，最小網(wǎng)格質(zhì)量分別為0.32、0.41、0.45和0.62。第一層網(wǎng)格距壁面的距離分別為 0.3，0.1，0.15與0.3 mm，在最優(yōu)工況計(jì)算得到的壁面最大y+值（ y+為第1層網(wǎng)格距離壁面的無量綱距離）分別約為 65、88、67和87，平均y+分別為28、32、16和22。

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性測試Fig.2 Mesh independence test

圖3 過流部件網(wǎng)格示意圖Fig.3 Grid views of different flow passage components

2 計(jì)算工況及設(shè)置

在最優(yōu)工況（best efficiency point—BEP）下分別采用全通道（Full），單流道的 PT方法以及雙通道的 FT方法進(jìn)行水力性能預(yù)測，3種不同計(jì)算策略模擬域如圖4所示。由于Francis99模型轉(zhuǎn)輪為長短葉片形式，轉(zhuǎn)輪一個(gè)流道必須包含一個(gè)長葉片與一個(gè)短葉片，故將 2個(gè)活動(dòng)導(dǎo)葉與一對長短葉片的組合作為PT方法計(jì)算域，同理，F(xiàn)T方法計(jì)算域?yàn)?個(gè)活動(dòng)導(dǎo)葉與2對長短葉片的組合。

圖4 三種模擬策略計(jì)算域示意圖Fig.4 Views of fluid domain for three simulation strategies

首先進(jìn)行全通道穩(wěn)態(tài)計(jì)算，獲得一個(gè)穩(wěn)定的初場。數(shù)值計(jì)算進(jìn)口給定質(zhì)量流量，出口指定靜壓，壁面均采用光滑、無滑移條件。瞬態(tài)計(jì)算動(dòng)靜交界面為“Transient Rotor Stator”，對流采用高階求解格式，瞬態(tài)模型則采用二階向后歐拉模式，收斂標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為最大殘差小于0.001。為消除進(jìn)出口條件不同帶來的誤差，將全通道提取出的PC（profile boundary conditions）條件作為PT法及FT法的進(jìn)出口條件，進(jìn)口為速度矢量，出口為靜壓，數(shù)值計(jì)算中僅僅與計(jì)算域重合的PC邊界條件是有效的。計(jì)算過程中，通過設(shè)置一系列監(jiān)測點(diǎn)來動(dòng)態(tài)監(jiān)測積分變量及壓力、速度等值的變化，一方面可以對動(dòng)量方程提供反饋，另一方面起到診斷計(jì)算是否正確的目的。圖 5所示為試驗(yàn)裝置壓力傳感器安裝位置[23]，數(shù)值計(jì)算在相同位置布置壓力測點(diǎn)以進(jìn)行驗(yàn)證和對比。

圖5 試驗(yàn)傳感器與數(shù)值監(jiān)測點(diǎn)位置示意圖Fig.5 Locations of experimental pressure probe and monitoring points of numerical simulation

如圖5所示，試驗(yàn)測量與數(shù)值計(jì)算分別進(jìn)行了6個(gè)不同位置的壓力測量，其中VL01位于轉(zhuǎn)輪與活動(dòng)導(dǎo)葉之間的無葉區(qū)，DT11和DT21安裝在尾水管內(nèi)，安裝位置Z=-0.305 8 m，剩余3個(gè)壓力傳感器P42、P71和S51安裝在轉(zhuǎn)輪葉片上，隨轉(zhuǎn)輪做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。其中 P42和 P71在葉片壓力面，P42位于葉片中心位置，P71在近葉片出水邊且靠近輪轂一側(cè)，S51位于吸力面約葉展2/3、靠近輪轂處。

3 結(jié)果與分析

為綜合對比不同計(jì)算方案在數(shù)值計(jì)算精度上的預(yù)測能力，本文主要從水動(dòng)力學(xué)特性、轉(zhuǎn)輪內(nèi)部壓力負(fù)荷分布、時(shí)變壓力信息及其頻譜特性等方面進(jìn)行分析。在配置相同工作站（戴爾T7910，至強(qiáng)雙處理器E5-2680 V3，24核心，內(nèi)存80G）且計(jì)算步數(shù)、收斂準(zhǔn)則相同的條件下，全通道計(jì)算、PT方法以及FT方法計(jì)算時(shí)間比約為1:0.375:0.23，表明PT法與FT法對計(jì)算資源的需求大大減小。

針對Francis99模型，國外進(jìn)行了一系列的數(shù)值及試驗(yàn)研究。Trivedi等[25]對Francis99模型進(jìn)行了詳細(xì)的模型試驗(yàn)及數(shù)值研究，Lucien等[28]進(jìn)行了Francis99水輪機(jī)部分流道的穩(wěn)態(tài)及全流道的瞬態(tài)計(jì)算，Buron等[29]采用非線性諧波法模擬了Francis99模型的RSI效應(yīng)。上述研究獲得比較一致的結(jié)果為：數(shù)值模擬的水輪機(jī)水力效率均高于試驗(yàn)值；不同位置測點(diǎn)上的平均壓力在轉(zhuǎn)輪與活動(dòng)導(dǎo)葉之間的無葉區(qū)及葉片表面均高于試驗(yàn)值，而尾水管內(nèi)則低于試驗(yàn)值；測點(diǎn)壓力脈動(dòng)頻譜特性方面，葉片正面中心位置測點(diǎn)幅值最高、無葉區(qū)次之。本文主要通過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及上述研究的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，以評估PT方法以及FT方法在水輪機(jī)水力性能預(yù)測的可靠性。

3.1 水力效率

水力效率是水輪機(jī)整機(jī)性能的表征參數(shù)，表 1統(tǒng)計(jì)了 3種不同計(jì)算方法獲得的水力效率與試驗(yàn)值，數(shù)值效率計(jì)算采用進(jìn)出口總壓差法。由效率統(tǒng)計(jì)表可知，3種數(shù)值方法計(jì)算的水力效率均與試驗(yàn)值吻合得比較好，數(shù)值解均高于試驗(yàn)值，這是由于數(shù)值計(jì)算對模型進(jìn)行了一定的簡化，如未考慮轉(zhuǎn)輪上冠和下環(huán)的迷宮環(huán)密封，未計(jì)容積損失、圓盤摩擦損失等。試驗(yàn)效率值為93.4%，全通道方法為94.6%，而PT和FT方法均為95.8%，3種數(shù)值計(jì)算效率偏差分別為 1.28%，2.57%，2.57%。PT與 FT方法的結(jié)果相對于試驗(yàn)測試偏差高于全通道計(jì)算，分析認(rèn)為主要由兩種原因所致。一是PT與FT方法僅僅對活動(dòng)導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪的部分流道進(jìn)行模擬，忽略了蝸殼、活動(dòng)導(dǎo)葉及固定導(dǎo)葉區(qū)域的損失；二是PT與FT方法進(jìn)出口條件均為由全通道計(jì)算結(jié)果提取出來的變量邊界條件（profile boundary），計(jì)算條件的設(shè)置可以認(rèn)為與全通道相同，而這 2種方法均為非全通道計(jì)算，活動(dòng)導(dǎo)葉及轉(zhuǎn)輪區(qū)域固壁面的水力損失均小于全通道方法，故其計(jì)算效率偏差略大。

表1 試驗(yàn)與3種不同數(shù)值方法的水力效率統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 1 Statistics results of test hydraulic efficiency and numerical hydraulic efficiency with three different simulation methods

3.2 壓力及速度分布

為進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值模擬的可靠性，本文對比了由活動(dòng)導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪之間無葉區(qū)至尾水管內(nèi)各監(jiān)測點(diǎn)上的平均壓力的計(jì)算值和試驗(yàn)值，如圖6所示。BEP工況下，不同位置測點(diǎn)平均壓力數(shù)值解和實(shí)測值的差異較小，在無葉區(qū)和轉(zhuǎn)輪葉片上，平均壓力的數(shù)值解均高于實(shí)測值。對全通道方法而言，其預(yù)測的尾水管中平均壓力的計(jì)算值小于實(shí)測值。全通道計(jì)算方法、FT及PT方法捕捉的壓力均值僅僅在無葉區(qū)有較小區(qū)別，而轉(zhuǎn)輪葉片上的數(shù)值差異幾乎可以完全忽略，表明3種計(jì)算方法在預(yù)測計(jì)算域內(nèi)平均壓力上效果相當(dāng)，且與實(shí)測值以及Trivedi等[22,25,28-29]的結(jié)果比較一致。

圖6所示分別為采用PT方法、FT方法以及全通道方法計(jì)算的 0.5倍葉片高度活動(dòng)導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪流道內(nèi)局部靜壓分布（圖 7左側(cè)）、轉(zhuǎn)輪區(qū)域內(nèi)速度云圖及速度矢量分布（圖 7右側(cè)）。由靜壓分布可以清楚地看到，由活動(dòng)導(dǎo)葉進(jìn)口至轉(zhuǎn)輪出口，壓力值均勻減小，未出現(xiàn)突變，表明做功良好。PT法與全通道計(jì)算在靜止域與旋轉(zhuǎn)域內(nèi)的壓力顯示幾乎一致，而FT法與其余兩種方法在活動(dòng)導(dǎo)葉進(jìn)口的靜壓分布上有區(qū)別，主要表現(xiàn)在兩方面，一是活動(dòng)導(dǎo)葉頭部對壓力分布的影響，二是總體壓力值偏低。3種計(jì)算方法速度矢量分布比較一致，轉(zhuǎn)輪流道內(nèi)流線順暢，未出現(xiàn)漩渦及回流等現(xiàn)象，表明能量轉(zhuǎn)率效率較高。相對于PT方法及全通道計(jì)算，F(xiàn)T方法提取的速度矢量在長葉片進(jìn)口側(cè)壓力面上輕微沖擊壁面，分析認(rèn)為FT方法出現(xiàn)不同于其余2種方法是由于其所采用的相變條件向上游的反饋所致。

圖6 試驗(yàn)與3種計(jì)算方法平均壓力比較Fig.6 Average pressure comparison of experimental test and numerical simulation with three simulation methods

圖7 三種不同模擬方法流道壓力及速度分布Fig.7 Pressure and velocity distribution at mid-span plane by three simulation methods

為定量分析流道內(nèi)壓力分布情況，圖 8顯示了葉片上壓力負(fù)荷沿弦長的分布。

圖8 轉(zhuǎn)輪葉片負(fù)荷分布Fig.8 Blade load distribution for runner

由圖8可知，單通道的PT方法以及雙通道的FT方法模擬結(jié)果相當(dāng)，且均獲得了與全通道結(jié)果比較一致的負(fù)荷分布，在相對弦長小于0.8時(shí)，PT與FT方法在葉片壓力面上的負(fù)荷大于全通道方法，其余位置則吻合的較好。結(jié)果分析表明，PT與FT方法均可較準(zhǔn)確捕捉葉片表面負(fù)荷分布。

3.3 葉片合力及扭矩分布

水力效率及不同位置監(jiān)測點(diǎn)壓力均值，均為采用時(shí)均法獲得，其對外特性及時(shí)均流動(dòng)特性的捕捉比較準(zhǔn)確，但水輪機(jī)內(nèi)部流動(dòng)特征具有強(qiáng)烈的非穩(wěn)態(tài)性，因此應(yīng)進(jìn)行時(shí)變量的深入分析。圖 9所示為一組長短葉片所受合力及扭矩隨時(shí)間變化規(guī)律。由時(shí)變?nèi)~片受力及扭矩可知，F(xiàn)T與PT法預(yù)測結(jié)果均小于全通道計(jì)算，然而FT方法與全通道比較接近，在幅值的一側(cè)與全通道計(jì)算有差別，而另一側(cè)則吻合地較好，且波峰及波谷出現(xiàn)時(shí)間間隔相同，僅僅存在一定的相位差，PT方法僅僅捕捉到較小波動(dòng)且其最大最小值時(shí)間間隔與全通道有差別。可以斷定，利用采樣方法及相變邊界條件的FT法能較好地還原時(shí)變信號(hào)，而PT方法誤差較大。

圖9 葉片合力及扭矩隨時(shí)間變化規(guī)律Fig.9 Temporal variation of force and torque on blade

3.4 壓力脈動(dòng)頻譜特性

本文進(jìn)一步對數(shù)值計(jì)算及模型試驗(yàn)各監(jiān)測點(diǎn)瞬時(shí)壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT），獲得各個(gè)測點(diǎn)的頻譜特性。

模型試驗(yàn)獲得的時(shí)變壓力信息中混摻著電網(wǎng)頻率及其諧波，往往在頻率中占據(jù)主導(dǎo)作用，對原始信號(hào)有較強(qiáng)的干擾作用。因此，在進(jìn)行試驗(yàn)壓力脈動(dòng)及其頻譜分析時(shí)，必須進(jìn)行50 Hz及其諧波的濾波處理以消除電網(wǎng)頻率的影響。本文采用Matlab對試驗(yàn)原始信號(hào)進(jìn)行濾波處理。圖10為試驗(yàn)條件下、BEP工況濾波前后傳感器P42頻譜圖。由圖10可知，傳感器采集的原始信號(hào)的幅值在100，200及300 Hz明顯高于其他頻率，采用濾波器對信號(hào)進(jìn)行去噪處理，有效去除了電網(wǎng)頻率的干擾。

圖10 測點(diǎn)P42濾波前后頻譜分析對比Fig.10 Spectral analysis of P42 before and after filtering

圖11 所示為BEP工況下全通道計(jì)算、PT方法、FT方法以及試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算的不同監(jiān)測位置的壓力脈動(dòng)頻譜圖，為時(shí)變壓力數(shù)據(jù)經(jīng)過快速傅里葉變換（FTT）而來。圖11中，橫軸坐標(biāo)為經(jīng)過歸一化處理的無量綱量，為實(shí)際頻率與對應(yīng)工況下轉(zhuǎn)頻的比值，即轉(zhuǎn)頻的倍數(shù)，縱坐標(biāo)為壓力脈動(dòng)幅值。

圖11 壓力脈動(dòng)頻譜結(jié)果顯示，F(xiàn)T方法幾乎再現(xiàn)了全通道方法的所有特征，2種不同的數(shù)值方案均準(zhǔn)確捕捉到了靜止域與旋轉(zhuǎn)域測點(diǎn)的主頻，即VL01主頻為30fn（fn為轉(zhuǎn)頻），P42、S51、P71主頻為28fn，而PT方法預(yù)測的所有主頻均為30fn，表明FT方法較準(zhǔn)確地還原了原始信號(hào)的求解歷史，而PT方法由于采用在交界面上對變量進(jìn)行比例縮放的策略，從而引起頻率變化。此外，F(xiàn)T方法與全通道算的明顯區(qū)別是各個(gè)測點(diǎn)上均出現(xiàn)了諧波分量，這是由于信號(hào)重構(gòu)采用了傅里葉分解的緣故。幅值方面，F(xiàn)T法與全通道法幅值大小變化趨勢一致，即P42壓力幅值最大，VL01次之，然后為S51以及P71。PT法同樣為P42最大，而S51次之，然后依次為VL01與P71。相對于試驗(yàn)值，F(xiàn)T方法與全通道在VL01上幅值高于試驗(yàn)值，其余測點(diǎn)則與試驗(yàn)值比較一致，而PT方法VL01上與試驗(yàn)值比較吻合，而其余測點(diǎn)均小于試驗(yàn)值。通過與Nicolle等[22]的壓力脈動(dòng)頻譜特性結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，本文所采用的FT方法捕捉到的壓力脈動(dòng)特性在主頻及幅值上與試驗(yàn)值及全通道計(jì)算均有較好的一致性，應(yīng)該與計(jì)算域的選取以及網(wǎng)格離散有關(guān)。綜合對比分析表明，F(xiàn)T方法可以以較少的計(jì)算資源捕捉到與全通道相當(dāng)?shù)腞SI效應(yīng)。

4 結(jié) 論

本文以Francis99高水頭混流式模型水輪機(jī)為研究對象，采用TBR模型中單通道PT（profile transform）法和雙通道FT（fourier transform）法對水輪機(jī)水力性能以及負(fù)荷進(jìn)行了預(yù)測，并與試驗(yàn)值及全通道結(jié)果進(jìn)行對比，獲得了以下結(jié)論：

1）不同的計(jì)算方法在水輪機(jī)外特性效率的計(jì)算上均有較高的精度，水力效率均高于試驗(yàn)結(jié)果，而部分通道計(jì)算由于忽略了蝸殼、固定導(dǎo)葉及尾水管的水力損失，故相對于試驗(yàn)值偏差略大。

2）計(jì)算域內(nèi)不同位置平均壓力僅僅在導(dǎo)葉與轉(zhuǎn)輪之間的無葉區(qū)有差別，其余位置幾乎相同。計(jì)算域內(nèi)由活動(dòng)導(dǎo)葉進(jìn)口至轉(zhuǎn)輪出口壓力梯度均勻變化，在葉片負(fù)荷分布上PT法、FT法以及全通道法差別不大，PT法與FT法與全通道計(jì)算的區(qū)別主要出現(xiàn)在相對弦長小于 0.8葉片壓力面上。

3）FT法預(yù)測的葉片受力和扭矩脈動(dòng)量及其頻率與全通道更接近，而PT方法偏差較大。

4）FT方法在頻譜特性的預(yù)測上與全通道結(jié)果相當(dāng)一致，對不同測點(diǎn)主頻及其幅值均預(yù)測的較準(zhǔn)確，而PT方法由于交界面上進(jìn)行了變量的比例縮放，產(chǎn)生了頻率變化，且預(yù)測幅值小與試驗(yàn)值。

綜合評估分析可知，F(xiàn)T方法在水輪機(jī)外特性、內(nèi)部流動(dòng)特征以及時(shí)變信號(hào)的捕捉上與全通道計(jì)算相當(dāng)，其計(jì)算時(shí)間僅為全通道3/8，該方法在水輪機(jī)的瞬態(tài)流動(dòng)數(shù)值計(jì)算中具有一定的潛力和優(yōu)勢。