摘 要：逆向思維法是高等數(shù)學教學中創(chuàng)新性思維的重要方法，教學過程中有意識地對大學生進行逆向思維培養(yǎng)，有利于開闊學生的視野并活躍解題思路，從而提高他們分析及解決實際問題的能力，本文分析了在高等數(shù)學證明題中利用逆向思維的解題思路和方法。

關鍵詞：高等數(shù)學；逆向思維；解題思路

一、 引言

高等數(shù)學具有高度抽象性及較強的理論性，學習高等數(shù)學課程內(nèi)容是理工科大學生由直觀形象思維向抽象邏輯思維的思維模式過渡的重要階段，這個階段是培養(yǎng)大學生學習后續(xù)專業(yè)課程時從具體形象思維向抽象邏輯思維轉變的關鍵時期，高等數(shù)學教師肩負著培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力及運用數(shù)學方法解決實際問題能力的重任。教學實踐表明，恰當運用和實施逆向思維教學方法，引導學生學會用逆向思維方式解決數(shù)學難題，拓展學生的視野并打開解題思路，能激發(fā)學生學習的熱情，進而提高他們分析及解決實際問題的能力。

二、 運用舉例

（一） 倒推法

學生在學習高等數(shù)學中會遇到許多與微分中值定理的應用相關的證明題，應用中值定理可以研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)，可以證明恒等式或不等式，利用微分中值定理證明問題時，當覺得從正向思維解決比較復雜或困難時，應當變換思路，比如運用倒推法可能找到問題的關鍵和突破口，進而比較容易地解決問題。通?？梢詮慕Y論出發(fā)，根據(jù)運算的互逆性質(zhì)，由后往前一步一步進行倒推，下面舉例僅作思路分析。

例1 設f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)二階可導，連接A（a，f（a））和B（b，f（b））的線段與曲線y=f（x）相交于C（c，f（c））（a

分析：從所要證明的結論出發(fā)來思考，結論是證明在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ使f″（ξ）=0，應當考慮對一階導函數(shù)用羅爾定理，由于A（a，f（a））、B（b，f（b））、C（c，f（c））三點共線，有f（c）-f（a）c-a=f（b）-f（c）b-c=f（b）-f（a）b-a=KAB（KAB為AB的斜率），又因為f（x）在a，c及c，b上均滿足拉格朗日定理條件，則：

f′（ξ1）=f（c）-f（a）c-a（a<ξ1

f′（ξ2）=f（b）-f（c）b-c（c<ξ2

故對f′（ξ）在ξ1，ξ2上應用羅爾定理：f″（ξ）=0，ξ∈（ξ1，ξ2）（a，b）。

例2 證明：當0

分析：從結論出發(fā)將其形式變?yōu)椋?π

通常證明不等式可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性作F（x）=sinxx，x∈（0，π2），

則F′（x）=xcosx-sinxx2=（x-tanx）cosxx2<0，

所以函數(shù)F（x）在（0，π2）上單調(diào)遞減，于是limx→π2sinxx

即2π

本題證明采用了構造輔助函數(shù)的方法，類似于證明幾何問題中添加輔助線，構造輔助函數(shù)的方法是高等數(shù)學證明中經(jīng)常采取的技巧，它起著化復雜為容易、化未知為已知的橋梁溝通作用，通常利用要證明問題的結論形式來進行輔助函數(shù)的構造。

（二） 反證法

運用反證法證明問題時，首先應當假設在原命題的條件下，結論不成立，即一定要用到“反設”，然后推導出與題設條件或已知結論明顯的矛盾結果，從而說明假設不成立，原命題方可得證。所要注意的是在用反證法證明問題時，若所要證明的命題結論只有一種情況，則只要將這種情況駁倒，這種反證法又可稱為“歸謬法”；若命題結論有多種情況，那么則須將所有的反面情況全部駁倒，才能推斷出原結論成立，這種反證證法又稱為“窮舉法”。下面例子有兩個結論，分別用直接證法和反證法。

例3 正項級數(shù)比較審斂法：設有正項級數(shù)∑∞n=1un，

（1）若存在收斂的正項級數(shù)∑∞n=1vn，且自某項開始后有un≤vn，則級數(shù)∑∞n=1un也收斂；

（2）若存在發(fā)散的正項級數(shù)∑∞n=1vn，且自某項開始后有un≥vn，則級數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散。

先證結論（1）：設級數(shù)∑∞n=1vn=σ，其部分和為σn，由于前有限項不改變級數(shù)的斂散性，故不妨設自第一項開始就有un≤vn，則級數(shù)∑∞n=1un的部分和

Sn=u1+u2+…+un≤v1+v2+…+vn-1=σn（n=1，2，…），

由于級數(shù)∑∞n=1vn收斂，由基本定理

再證結論（2）：（反證法）設存在發(fā)散的正項級數(shù)∑∞n=1vn，且自某項開始后有un≥vn，但級數(shù)∑∞n=1un收斂，由（1）知正項級數(shù)∑∞n=1vn收斂，與已知正項級數(shù)∑∞n=1vn發(fā)散矛盾，故假設不成立，即級數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散。另外，從數(shù)學命題來看，原命題與逆否命題同真同假，本題結論1與結論2互為逆否命題。這個思路同樣可用于思考學習冪級數(shù)過程中阿貝爾定理證明的第二部分。

三、 結束語

當遇到問題使用正向思維產(chǎn)生困惑與障礙時，可以變換思路運用逆向思維來解決，突破順向思維中的定勢，養(yǎng)成多種思維的靈活性，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性思維能力。

參考文獻：

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[2]徐秀娟.反證法在高等數(shù)學證明題中的應用[N].河北理工大學學報，2005（11）4：115-117.

[3]馬建珍，劉俊先.反證法在高等數(shù)學中的應用[N].邢臺學院學報，2007（6）2：90-91.

作者簡介：

熊淑艷，湖北省武漢市，湖北工業(yè)大學。