摘 要：數(shù)形結(jié)合思想在我們中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是具有重要位置的，幾乎貫穿著我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整個(gè)過程。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而能夠在做題中達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：集合；函數(shù)；解不等式；概率統(tǒng)計(jì)

一、 數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用

集合的基本運(yùn)算包括交、并、補(bǔ)，在解決這類運(yùn)算問題時(shí)我們經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合的思想，其形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等。此類圖形能夠使集合問題變得簡(jiǎn)單明了易于解決。

例：設(shè)集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x>0}，則S∩T= 。（2016課標(biāo)Ⅲ）

分析：S={x|（x-2）（x-3）≥0}={x|x≤2或x≥3}，在數(shù)軸上表示出集合S，T，如圖所示：

通過不等式的求解，可得集合S，在數(shù)軸上表示出集合S和集合T，然后在數(shù)軸上可以直觀地得到S∩T的結(jié)果=（0，2]∪[3，+∞）。

二、 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)方面的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合與函數(shù)結(jié)合，一般就是先作出數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，然后根據(jù)圖像進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題。

例：如圖，函數(shù)f（x）的圖像為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 。

分析：此類函數(shù)題是較為簡(jiǎn)單的一類題型，我們只需令y=log2（x+1），并作出該函數(shù)的圖像即可，如圖：

其中函數(shù)f（x）與y=log2（x+1）的圖像交點(diǎn)為D（1，1），結(jié)合圖像可知f（x）≥log2（x+1）的解集為{x|-1

三、 數(shù)形結(jié)合思想在解不等式方面的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在解不等式方面的應(yīng)用就是要對(duì)不等式進(jìn)行變形，化為最簡(jiǎn)不等式的同時(shí)并結(jié)合圖像對(duì)問題進(jìn)行研究，能夠起到化繁為簡(jiǎn)的作用。

例：若x∈R，函數(shù)f（x）=2mx2-2（4-m）x+1與g（x）=mx的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是為 。（2018湖南湘東4月聯(lián)考）

分析：本題屬于需要討論的復(fù)雜問題，故在做題時(shí)應(yīng)先作圖，然后結(jié)合圖像進(jìn)行討論，如圖所示：

當(dāng)m<0且x趨于+∞時(shí)，函數(shù)f（x）=2mx2-2（4-m）x+1與函數(shù)g（x）=mx的值均為負(fù)值，不符合題意。當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=0，f（x）=-8x+1，當(dāng)x≥18時(shí)，f（x）≤mx的值均為負(fù)值，不符合題意。當(dāng)m>0時(shí)，可知f（x）的圖像的對(duì)稱軸為x=4-m2m，f（0）=1>0，當(dāng)4-m2m≥0，即04，要滿足題意。需要f（x）的圖像在x軸上方，如圖2所示，則4-m2m<0，Δ=4（4-m）2-8m=4（m-8）（m-2）<0，則4

四、 數(shù)形結(jié)合思想在概率與統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在概率與統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用主要是根據(jù)各個(gè)事件畫出相應(yīng)的圖像，并從圖像中能夠直觀地觀察出整個(gè)事件的概率。

例：從區(qū)間[0，1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（ ）。（2016課標(biāo)Ⅱ）

分析：本題較為抽象，我們可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意建立一個(gè)數(shù)學(xué)圖形進(jìn)而直觀化。如圖：

數(shù)對(duì)（xi，yi）（i=1，2，…，n）表示的點(diǎn)數(shù)在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)（包括邊界），兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓（陰影部分）內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得mn=14π12π=4mn。

作者簡(jiǎn)介：

藍(lán)俊旭，廣東省潮州市，韓山師范學(xué)院。