鄭 勝
(福建省三明市將樂縣第四中學(xué),福建三明 350300)
在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中,所謂數(shù)學(xué)思想,就是通過對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解,產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的高度概括和認(rèn)識(shí)。數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)比較重要的思想,它能把抽象的問題具體化,從而簡化解決問題的過程。最值問題是初中數(shù)學(xué)中最常見的一類問題,利用數(shù)形結(jié)合思想能夠提高解決這類問題的速度和準(zhǔn)確性。
數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念就是數(shù)與形,這兩個(gè)概念是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象反映,貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)過程。從廣義上來說,我們可以將“數(shù)”理解為數(shù)學(xué)的文字特征,如數(shù)字、概念、數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定理等;“形”,我們可以將之理解為圖形表征,如圖像、實(shí)物等,數(shù)和形往往是密不可分的。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題,通過對(duì)數(shù)字和圖形進(jìn)行處理,將抽象問題具體化,將復(fù)雜問題簡單化。數(shù)形結(jié)合思想是一種解決數(shù)學(xué)問題的思想方法,它是通過分析數(shù)學(xué)問題的代數(shù)和集合意義,通過數(shù)與形的結(jié)合,運(yùn)用抽象思維和形象思維解決數(shù)學(xué)問題的方法[1]。
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,最值(最大值和最小值)是一類比較常用到數(shù)形結(jié)合思想的問題,也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較重要的內(nèi)容之一。最值問題的解決需要學(xué)生具有廣闊的知識(shí)面,并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。解決最值問題要求學(xué)生不僅具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),還要具有靈活的思維,掌握解決問題的實(shí)質(zhì)方法,具有創(chuàng)新意識(shí),有數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。
最值問題可以分為兩種類型:第一種是代數(shù)中最大值和最小值的問題,如在現(xiàn)實(shí)生活中我們常常遇到的,利益最大、距離最短、花費(fèi)最少、面積最大等問題,都是代數(shù)類最值問題。代數(shù)式的最值問題又可以分為三小類:第一類是關(guān)于方程未知數(shù)和函數(shù)變量的最值問題;第二類是求代數(shù)式的最值問題;第三類是關(guān)于數(shù)論的最值問題。第二種最值問題是幾何最值問題,如在幾何圖形中有一個(gè)元素做規(guī)律的運(yùn)動(dòng),這一元素在一定范圍內(nèi)變化,而與這一元素相關(guān)的量也將隨之發(fā)生變化,這個(gè)變化的量存在最大值和最小值。幾何最值問題又可細(xì)分為四小類:第一類是關(guān)于線段的最值問題;第二類是關(guān)于面積的最值問題;第三類是關(guān)于角度的最值問題;第四類是關(guān)于幾何量的最值問題[2]。
初中數(shù)學(xué)最值問題主要考查學(xué)生的綜合解題能力,對(duì)學(xué)習(xí)水平要求較高,而有效利用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?fù)雜、抽象的最值問題變?yōu)楹唵?、具體的問題。最值問題類型多樣,解決的方法也很多,如何快速、正確地解決最值問題是學(xué)生比較關(guān)心的問題。在眾多解決方法中,數(shù)形結(jié)合的方法是解決最值問題最好的方法,它能將最值問題轉(zhuǎn)化為直觀的形,也能將最值問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù),如以數(shù)化形,以形換數(shù)等數(shù)形結(jié)合的方法。在求最值的過程中,通過數(shù)形結(jié)合、數(shù)形互變能夠豐富學(xué)生對(duì)最值問題的認(rèn)識(shí),強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美好體驗(yàn)[3]。
在數(shù)學(xué)最值的學(xué)習(xí)過程中,有些數(shù)量關(guān)系比較抽象,只有簡單、抽象的數(shù)據(jù)材料,在這種情況下,教師只講解抽象的數(shù)據(jù),無法讓學(xué)生真正理解問題,因?yàn)閷W(xué)生的思維能力有限,對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)比較模糊,難以正確理解所給的信息,無法體驗(yàn)問題的真正意圖。而這時(shí)就需要教師以數(shù)化形,將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)換為具體的形象,通過直觀形象的呈現(xiàn)使學(xué)生對(duì)問題有正確的表征,從而在頭腦中勾勒出關(guān)于問題的具體畫面,并在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,通過對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí),提高解決問題的效率。
例1:求y=|2x|+x-1的最小值。
在這道題中,單純通過一次函數(shù)的式子去求解y的最小值是很難的,教師單純地講解函數(shù)式也無助于學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解,這時(shí),教師就可以利用數(shù)形結(jié)合的思想,將數(shù)學(xué)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像,讓學(xué)生在函數(shù)圖像的幫助下,主動(dòng)地感知函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)、增減、最小值的情況。所以,教師可以讓學(xué)生做出y=|2x|+x-1的圖像(如圖1),以觀察它的增減性。
圖1
通過圖像我們可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而增大,當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而減小,當(dāng)x=0時(shí),y=-1是最小值。
圖像有直觀、形象的特點(diǎn),能夠幫助人理解問題,但是只有圖形,而沒有定量也很難快速解決問題。有些復(fù)雜的圖形,需要借助“數(shù)”將問題數(shù)字化,從而挖掘出問題背后的數(shù)量關(guān)系。
例2:某村在修一條水渠,水渠的橫斷面為等腰梯形(如圖2),腰與水平線的角為60°,要求水進(jìn)入渠內(nèi)后水渠橫截面的兩腰和渠底總長為6,問渠中水量的高度為多少時(shí),水流量最大?
圖2
在本題中,借助等腰梯形的圖形,將面積最大化的問題通過圖形幫助學(xué)生理解,求水流量最大也即梯形面積最大值。畫出等腰梯形的圖形,設(shè)等腰梯形的腰為x,下底邊為y,橫斷面積為S,根據(jù)兩腰和渠底總長為6,則2x+y=6,h=xsin60°,所以
當(dāng)x=2時(shí),面積最大為此時(shí)
綜上所述,在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,利用數(shù)形結(jié)合思想,能夠以數(shù)化形,以形換數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想解決最值問題,能夠?qū)⒕唧w和抽象,簡單和復(fù)雜互換,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力、學(xué)習(xí)效率。