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        用數形結合思想解決最值問題的應用探討

        2019-05-17 08:30:58
        名師在線 2019年12期
        關鍵詞:梯形最值數形

        鄭 勝

        (福建省三明市將樂縣第四中學,福建三明 350300)

        引 言

        在數學學科的學習過程中,所謂數學思想,就是通過對數學基本知識的學習和理解,產生對數學知識本質的高度概括和認識。數形結合思想是初中數學比較重要的思想,它能把抽象的問題具體化,從而簡化解決問題的過程。最值問題是初中數學中最常見的一類問題,利用數形結合思想能夠提高解決這類問題的速度和準確性。

        一、數形結合思想

        數學中最基本的兩個概念就是數與形,這兩個概念是對現實世界中客觀事物的抽象反映,貫穿于整個數學學習和教學過程。從廣義上來說,我們可以將“數”理解為數學的文字特征,如數字、概念、數學公式、性質、定理等;“形”,我們可以將之理解為圖形表征,如圖像、實物等,數和形往往是密不可分的。數形結合的本質就是將抽象的數學問題轉化為直觀的問題,通過對數字和圖形進行處理,將抽象問題具體化,將復雜問題簡單化。數形結合思想是一種解決數學問題的思想方法,它是通過分析數學問題的代數和集合意義,通過數與形的結合,運用抽象思維和形象思維解決數學問題的方法[1]。

        二、初中數學最值問題

        在數學學習過程中,最值(最大值和最小值)是一類比較常用到數形結合思想的問題,也是初中數學學習中比較重要的內容之一。最值問題的解決需要學生具有廣闊的知識面,并能靈活運用數學知識。解決最值問題要求學生不僅具有扎實的基礎知識,還要具有靈活的思維,掌握解決問題的實質方法,具有創(chuàng)新意識,有數形結合的思想意識。

        最值問題可以分為兩種類型:第一種是代數中最大值和最小值的問題,如在現實生活中我們常常遇到的,利益最大、距離最短、花費最少、面積最大等問題,都是代數類最值問題。代數式的最值問題又可以分為三小類:第一類是關于方程未知數和函數變量的最值問題;第二類是求代數式的最值問題;第三類是關于數論的最值問題。第二種最值問題是幾何最值問題,如在幾何圖形中有一個元素做規(guī)律的運動,這一元素在一定范圍內變化,而與這一元素相關的量也將隨之發(fā)生變化,這個變化的量存在最大值和最小值。幾何最值問題又可細分為四小類:第一類是關于線段的最值問題;第二類是關于面積的最值問題;第三類是關于角度的最值問題;第四類是關于幾何量的最值問題[2]。

        三、數形結合思想在初中數學解決最值問題中的具體應用

        初中數學最值問題主要考查學生的綜合解題能力,對學習水平要求較高,而有效利用數形結合思想能夠將復雜、抽象的最值問題變?yōu)楹唵?、具體的問題。最值問題類型多樣,解決的方法也很多,如何快速、正確地解決最值問題是學生比較關心的問題。在眾多解決方法中,數形結合的方法是解決最值問題最好的方法,它能將最值問題轉化為直觀的形,也能將最值問題轉化為抽象的數,如以數化形,以形換數等數形結合的方法。在求最值的過程中,通過數形結合、數形互變能夠豐富學生對最值問題的認識,強化數學學習的美好體驗[3]。

        (一)以數化形,數形結合解決最值問題

        在數學最值的學習過程中,有些數量關系比較抽象,只有簡單、抽象的數據材料,在這種情況下,教師只講解抽象的數據,無法讓學生真正理解問題,因為學生的思維能力有限,對數量關系的認識比較模糊,難以正確理解所給的信息,無法體驗問題的真正意圖。而這時就需要教師以數化形,將抽象的數字轉換為具體的形象,通過直觀形象的呈現使學生對問題有正確的表征,從而在頭腦中勾勒出關于問題的具體畫面,并在直觀認識的基礎上,通過對數量關系的認識,提高解決問題的效率。

        例1:求y=|2x|+x-1的最小值。

        在這道題中,單純通過一次函數的式子去求解y的最小值是很難的,教師單純地講解函數式也無助于學生的學習和理解,這時,教師就可以利用數形結合的思想,將數學關系式轉化為函數圖像,讓學生在函數圖像的幫助下,主動地感知函數圖像的變化趨勢、增減、最小值的情況。所以,教師可以讓學生做出y=|2x|+x-1的圖像(如圖1),以觀察它的增減性。

        圖1

        通過圖像我們可以發(fā)現,當x>0時,y隨著x的增大而增大,當x<0時,y隨著x的增大而減小,當x=0時,y=-1是最小值。

        (二)以形換數,數形結合解決最值問題

        圖像有直觀、形象的特點,能夠幫助人理解問題,但是只有圖形,而沒有定量也很難快速解決問題。有些復雜的圖形,需要借助“數”將問題數字化,從而挖掘出問題背后的數量關系。

        例2:某村在修一條水渠,水渠的橫斷面為等腰梯形(如圖2),腰與水平線的角為60°,要求水進入渠內后水渠橫截面的兩腰和渠底總長為6,問渠中水量的高度為多少時,水流量最大?

        圖2

        在本題中,借助等腰梯形的圖形,將面積最大化的問題通過圖形幫助學生理解,求水流量最大也即梯形面積最大值。畫出等腰梯形的圖形,設等腰梯形的腰為x,下底邊為y,橫斷面積為S,根據兩腰和渠底總長為6,則2x+y=6,h=xsin60°,所以

        當x=2時,面積最大為此時

        結 語

        綜上所述,在初中數學學習過程中,利用數形結合思想,能夠以數化形,以形換數。用數形結合的思想解決最值問題,能夠將具體和抽象,簡單和復雜互換,從而培養(yǎng)學生的數學思維,提高學生的數學分析能力、學習效率。

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