鄭 勝

（福建省三明市將樂縣第四中學，福建三明 350300）

引 言

在數學學科的學習過程中，所謂數學思想，就是通過對數學基本知識的學習和理解，產生對數學知識本質的高度概括和認識。數形結合思想是初中數學比較重要的思想，它能把抽象的問題具體化，從而簡化解決問題的過程。最值問題是初中數學中最常見的一類問題，利用數形結合思想能夠提高解決這類問題的速度和準確性。

一、數形結合思想

數學中最基本的兩個概念就是數與形，這兩個概念是對現實世界中客觀事物的抽象反映，貫穿于整個數學學習和教學過程。從廣義上來說，我們可以將“數”理解為數學的文字特征，如數字、概念、數學公式、性質、定理等；“形”，我們可以將之理解為圖形表征，如圖像、實物等，數和形往往是密不可分的。數形結合的本質就是將抽象的數學問題轉化為直觀的問題，通過對數字和圖形進行處理，將抽象問題具體化，將復雜問題簡單化。數形結合思想是一種解決數學問題的思想方法，它是通過分析數學問題的代數和集合意義，通過數與形的結合，運用抽象思維和形象思維解決數學問題的方法[1]。

二、初中數學最值問題

在數學學習過程中，最值（最大值和最小值）是一類比較常用到數形結合思想的問題，也是初中數學學習中比較重要的內容之一。最值問題的解決需要學生具有廣闊的知識面，并能靈活運用數學知識。解決最值問題要求學生不僅具有扎實的基礎知識，還要具有靈活的思維，掌握解決問題的實質方法，具有創(chuàng)新意識，有數形結合的思想意識。

最值問題可以分為兩種類型：第一種是代數中最大值和最小值的問題，如在現實生活中我們常常遇到的，利益最大、距離最短、花費最少、面積最大等問題，都是代數類最值問題。代數式的最值問題又可以分為三小類：第一類是關于方程未知數和函數變量的最值問題；第二類是求代數式的最值問題；第三類是關于數論的最值問題。第二種最值問題是幾何最值問題，如在幾何圖形中有一個元素做規(guī)律的運動，這一元素在一定范圍內變化，而與這一元素相關的量也將隨之發(fā)生變化，這個變化的量存在最大值和最小值。幾何最值問題又可細分為四小類：第一類是關于線段的最值問題；第二類是關于面積的最值問題；第三類是關于角度的最值問題；第四類是關于幾何量的最值問題[2]。

三、數形結合思想在初中數學解決最值問題中的具體應用

初中數學最值問題主要考查學生的綜合解題能力，對學習水平要求較高，而有效利用數形結合思想能夠將復雜、抽象的最值問題變?yōu)楹唵?、具體的問題。最值問題類型多樣，解決的方法也很多，如何快速、正確地解決最值問題是學生比較關心的問題。在眾多解決方法中，數形結合的方法是解決最值問題最好的方法，它能將最值問題轉化為直觀的形，也能將最值問題轉化為抽象的數，如以數化形，以形換數等數形結合的方法。在求最值的過程中，通過數形結合、數形互變能夠豐富學生對最值問題的認識，強化數學學習的美好體驗[3]。

（一）以數化形，數形結合解決最值問題

在數學最值的學習過程中，有些數量關系比較抽象，只有簡單、抽象的數據材料，在這種情況下，教師只講解抽象的數據，無法讓學生真正理解問題，因為學生的思維能力有限，對數量關系的認識比較模糊，難以正確理解所給的信息，無法體驗問題的真正意圖。而這時就需要教師以數化形，將抽象的數字轉換為具體的形象，通過直觀形象的呈現使學生對問題有正確的表征，從而在頭腦中勾勒出關于問題的具體畫面，并在直觀認識的基礎上，通過對數量關系的認識，提高解決問題的效率。

例1：求y=|2x|+x-1的最小值。

在這道題中，單純通過一次函數的式子去求解y的最小值是很難的，教師單純地講解函數式也無助于學生的學習和理解，這時，教師就可以利用數形結合的思想，將數學關系式轉化為函數圖像，讓學生在函數圖像的幫助下，主動地感知函數圖像的變化趨勢、增減、最小值的情況。所以，教師可以讓學生做出y=|2x|+x-1的圖像（如圖1），以觀察它的增減性。

圖1

通過圖像我們可以發(fā)現，當x＞0時，y隨著x的增大而增大，當x＜0時，y隨著x的增大而減小，當x=0時，y=-1是最小值。

（二）以形換數，數形結合解決最值問題

圖像有直觀、形象的特點，能夠幫助人理解問題，但是只有圖形，而沒有定量也很難快速解決問題。有些復雜的圖形，需要借助“數”將問題數字化，從而挖掘出問題背后的數量關系。

例2：某村在修一條水渠，水渠的橫斷面為等腰梯形（如圖2），腰與水平線的角為60°，要求水進入渠內后水渠橫截面的兩腰和渠底總長為6，問渠中水量的高度為多少時，水流量最大？

圖2

在本題中，借助等腰梯形的圖形，將面積最大化的問題通過圖形幫助學生理解，求水流量最大也即梯形面積最大值。畫出等腰梯形的圖形，設等腰梯形的腰為x，下底邊為y，橫斷面積為S，根據兩腰和渠底總長為6，則2x+y=6，h=xsin60°，所以

當x=2時，面積最大為此時

結 語

綜上所述，在初中數學學習過程中，利用數形結合思想，能夠以數化形，以形換數。用數形結合的思想解決最值問題，能夠將具體和抽象，簡單和復雜互換，從而培養(yǎng)學生的數學思維，提高學生的數學分析能力、學習效率。