郭中華 鄭隆舉 朱振琿

(蘭州城市學(xué)院電子與信息工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

隨著數(shù)字化技術(shù)在生活中各方面的廣泛普及，如何將自然科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)借助數(shù)字化技術(shù)應(yīng)用于基礎(chǔ)教學(xué)之中，提高學(xué)習(xí)者對(duì)信息的接受和分析能力，以響應(yīng)社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)綜合素質(zhì)的要求，借助數(shù)字化實(shí)驗(yàn)平臺(tái)建設(shè)，探索新型的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，就值得嘗試、研究和探索.本文借助Tracker軟件分析單擺實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)的嘗試，為普通物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)提供一種有益的參考.

Tracker軟件源于美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)(NSF)資助，始于2003年的開源物理項(xiàng)目(Open Source Physics Project，OPS)，是其中很重要的一款開源軟件之一.該軟件主要功能是視頻分析和建模，它能精確地捕獲視頻中質(zhì)點(diǎn)的位移時(shí)間數(shù)據(jù)，并具有簡(jiǎn)潔高效的數(shù)據(jù)分析功能，建模模擬，可應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)及光譜分析等的教學(xué)與研究[1].

單擺實(shí)驗(yàn)是普通物理實(shí)驗(yàn)(力學(xué)部分)中最基礎(chǔ)、最重要的一個(gè)實(shí)驗(yàn)，在生活中，常見(jiàn)的秋千、鐘擺等實(shí)物中都可以抽象出這種物理模型.傳統(tǒng)的力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，單擺實(shí)驗(yàn)基本有3點(diǎn)要求：

(1)利用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?/p>

(2)驗(yàn)證單擺周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系；

(3)觀察單擺周期隨擺角的變化情況.

但在傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)者不能直觀地觀察到擺球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而且單擺的周期不易測(cè)準(zhǔn)，擺長(zhǎng)、擺角對(duì)單擺周期的影響也不能及時(shí)得到驗(yàn)證，影響實(shí)驗(yàn)效果.力學(xué)實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)專業(yè)學(xué)生首先接觸到的專業(yè)實(shí)驗(yàn)，但是低年級(jí)學(xué)生往往專業(yè)知識(shí)儲(chǔ)備較少，計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)應(yīng)用能力不強(qiáng)，編程語(yǔ)言能力差，借助Tracker軟件來(lái)分析單擺實(shí)驗(yàn)，不僅可以直觀地得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，測(cè)量相關(guān)物理量，還可借助其數(shù)據(jù)擬合功能，進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)中涉及到的物理現(xiàn)象規(guī)律.在較短的時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過(guò)指導(dǎo)及自學(xué)練習(xí)，學(xué)生們就可以了解到物理建模、研究分析及計(jì)算模擬的整個(gè)研究型學(xué)習(xí)的過(guò)程，這對(duì)于科研能力的訓(xùn)練是十分有益的.

1 單擺實(shí)驗(yàn)

一個(gè)一端懸掛、質(zhì)量忽略不計(jì)的輕繩(長(zhǎng)為L(zhǎng))連接一個(gè)重物(質(zhì)量為m)，在擺角θ<5°下的無(wú)阻尼平面擺動(dòng)過(guò)程，可視為單擺系統(tǒng).取重物為小球，直徑為d，對(duì)其受力分析，如圖1所示.建立自然坐標(biāo)系，在切向由運(yùn)動(dòng)微分方程

進(jìn)一步整理可得

(1)

這是典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程.從而可得到單擺的周期為

(2)

圖1 系統(tǒng)示意圖

從式(2)中進(jìn)一步得到圖1 單擺系統(tǒng)示意圖

(3)

可見(jiàn)單擺系統(tǒng)周期平方和擺長(zhǎng)應(yīng)為線性關(guān)系，依據(jù)此線性關(guān)系，通過(guò)計(jì)算斜率的辦法，亦可求得重力加速度.

當(dāng)系統(tǒng)擺角θ>5°時(shí)，需要求解非線性運(yùn)動(dòng)微分方程

(4)

一般情形下，很難求解結(jié)果.用積分的方法，可求出含有第一類橢圓積分的單擺周期公式[2]

(5)

其中θ0表示系統(tǒng)的最大擺角，式(5)適用于任意擺角的情形，應(yīng)用時(shí)查橢圓積分表可得精確振動(dòng)周期.

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將式(4)中的sinθ做級(jí)數(shù)展開并利用三角變換，可得到θ≤90°運(yùn)動(dòng)單擺的近似周期計(jì)算公式

(6)

與橢圓積分計(jì)算結(jié)果的式(5)相比較，式(6)的精確度相當(dāng)高[3].

2 Tracker軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析

在實(shí)驗(yàn)前，給學(xué)生講解軟件的基本使用方法和實(shí)驗(yàn)視頻的錄制過(guò)程.對(duì)反映物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)片段進(jìn)行錄制時(shí)，為了保證后期擺球容易識(shí)別，通常實(shí)驗(yàn)背景與擺球的顏色二者相差要大.由于Tracker處理的是可供度量的時(shí)空坐標(biāo)和尺度，為了方便起見(jiàn)，通常將物體位置的起點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)開始的時(shí)間點(diǎn)作為時(shí)空原點(diǎn).

2.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

Tracker會(huì)以首次標(biāo)記物體的形狀為模板，在物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中自動(dòng)搜索匹配與模板相同的物體，這樣就得到該物體許多連續(xù)的時(shí)空坐標(biāo)，記錄在窗口的表格中，同時(shí)還會(huì)繪制出質(zhì)點(diǎn)的位移-時(shí)間以及速度-時(shí)間圖像、加速度-時(shí)間圖像.在擺角θ<5°條件下，分析錄制好的單擺運(yùn)動(dòng)視頻，在程序自動(dòng)追蹤擺球位置的同時(shí)，可在圖像窗口同步觀察其運(yùn)動(dòng)學(xué)特征.得到擺球的角位移-時(shí)間、角速度-時(shí)間以及角加速度-時(shí)間的變化規(guī)律如圖2～4所示.

圖2 擺球角位移-時(shí)間變化關(guān)系

圖3 擺球角速度-時(shí)間變化關(guān)系

圖4 擺球角加速度-時(shí)間變化關(guān)系

從圖2～4可以看到，擺球的角位移-時(shí)間、角速度-時(shí)間、角加速度-時(shí)間均為余弦函數(shù)規(guī)律，當(dāng)小球處于平衡位置處，角速度最大、角加速度最?。欢谧畲笪灰铺帲撬俣茸钚?、角加速度為最大.由于視頻分析中追蹤的是擺球的位置，據(jù)此數(shù)據(jù)得到速度，進(jìn)一步得到加速度，因而數(shù)據(jù)有傳遞誤差，導(dǎo)致角加速度隨時(shí)間的變化曲線不夠光滑.但是整體上，擺球的運(yùn)動(dòng)特征仍然符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律，在實(shí)驗(yàn)中可以實(shí)時(shí)、直觀地得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像.

軟件的數(shù)據(jù)窗口中可直接讀出擺球振動(dòng)的時(shí)間值.一般在實(shí)驗(yàn)中，利用30～50個(gè)周期的時(shí)間值計(jì)算單擺的周期，由于視頻分析中是針對(duì)每幀畫面去定位擺球的位置并計(jì)算時(shí)間，因而測(cè)量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度高.

在擺角θ=3.3°，L=58.10 cm條件下，得到單擺周期T=1.530 s.利用式(2)，可計(jì)算得到本地的重力加速度數(shù)值g=9.788 4 m/s2.實(shí)驗(yàn)室所在地區(qū)重力加速度的理論值g=9.792 6 m/s2，則百分比誤差Δg=0.042%，可見(jiàn)在實(shí)驗(yàn)規(guī)范操作，視頻錄制準(zhǔn)確的情形下，所得結(jié)果的精確度是較高的.

2.2 驗(yàn)證單擺周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系

分析相同擺角、不同擺長(zhǎng)情形下的單擺運(yùn)動(dòng)，利用軟件分析拍攝好的視頻文件，整理得到不同擺長(zhǎng)下的周期數(shù)據(jù)，如表1所示.

表1 不同擺長(zhǎng)下的周期數(shù)據(jù)列表

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Tracker，在數(shù)據(jù)分析窗口中研究T2-L的關(guān)系，如圖5所示.

圖5 小球周期平方與擺長(zhǎng)的關(guān)系

從圖5中可以看出，擺球周期的平方與擺長(zhǎng)成線性關(guān)系，擺線長(zhǎng)度越大，則單擺周期也越大.利用Tracker軟件的數(shù)據(jù)分析工具，對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，在參數(shù)窗口中可直接得到相關(guān)擬合參數(shù).圖5的結(jié)果中，曲線的斜率

從而計(jì)算得到當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=9.798 6 m/s2，則百分比誤差Δg=0.061%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果精確.

2.3 分析擺角對(duì)單擺周期的影響

當(dāng)擺角θ>5°時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)了，但是在無(wú)阻尼情形下，仍然是周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期和擺角的關(guān)系可以利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.實(shí)驗(yàn)中，擺長(zhǎng)取為L(zhǎng)=52.10 cm，對(duì)不同擺角下的單擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行視頻分析，讀取其對(duì)應(yīng)的周期數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 擺角變化情形下周期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Tracker中，分析擺球相對(duì)周期隨擺角的變化規(guī)律，結(jié)果如圖6所示.

圖6 大角度單擺相對(duì)周期隨擺角的變化規(guī)律

3 總結(jié)

在教學(xué)中利用視頻軟件分析單擺實(shí)驗(yàn)，減少了實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)誤差及讀數(shù)誤差，可以精確記錄擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀地得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，提高了實(shí)驗(yàn)者的興趣和熱情，有利于基本理論的理解和掌握.利用其數(shù)據(jù)擬合功能，進(jìn)一步分析運(yùn)動(dòng)特征，并測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，?jiǎn)便、快捷，能幫助實(shí)驗(yàn)者更好地理解單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及應(yīng)用.對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的研究分析與物理模型的建立過(guò)程，結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)處理，是一種有益的科研訓(xùn)練過(guò)程.將實(shí)驗(yàn)資料整理存檔，可作為基礎(chǔ)物理數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)的一部分，在經(jīng)典物理教學(xué)中實(shí)現(xiàn)物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)字化分析，開展新穎的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，是物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革的一種有效途徑，值得探索.