湖北省武漢市第六初級中學(xué)(430016) 王軍

廣東省廣州開發(fā)區(qū)中學(xué)(510730) 李小兵

概念課的教學(xué)是教師落實(shí)基礎(chǔ)的關(guān)鍵,是學(xué)生打好基礎(chǔ)的首要環(huán)節(jié).在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)概念的建立是很重要的,這個(gè)恰恰又是一個(gè)教學(xué)的難點(diǎn),因?yàn)槌踔猩某橄笏季S能力還較弱,同時(shí)教師對概念的教學(xué)重視程度不夠,甚至有的教師三言兩語自己介紹定義,學(xué)生沒能深刻理解其內(nèi)涵,造成的后果是進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí),抱怨學(xué)生為什么這么簡單的概念題都出錯(cuò),都記不清.鑒于此,我們有必要研究它的教學(xué)特點(diǎn)和規(guī)律,對數(shù)學(xué)知識(shí)做出符合學(xué)生認(rèn)知水平的理解,使結(jié)果性的現(xiàn)成知識(shí)轉(zhuǎn)化為易于被學(xué)生理解的形式,并圍繞數(shù)學(xué)核心概念、思想方法進(jìn)行教學(xué),在挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源上狠下功夫,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,我們可以讓學(xué)生面對對具體事例時(shí)通過問題帶動(dòng)知識(shí),發(fā)現(xiàn)個(gè)別規(guī)律研究一般規(guī)律時(shí)精細(xì)過程帶動(dòng)方法,感受數(shù)學(xué)思想、觀念時(shí)利用反思帶動(dòng)思維,使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維,形成強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),切實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以人教版七年級下學(xué)期《9.3一元一次不等式組》為例,利用“三個(gè)帶動(dòng)”教學(xué)思路探討概念教學(xué)設(shè)計(jì).

一、教學(xué)過程

(一)一元一次不等式組的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是什么?

在不等式組學(xué)習(xí)之前,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二元一次方程組,兩者在學(xué)習(xí)時(shí)必然有類似的研究對象和方法.

教學(xué)片斷問題用每分鐘可抽30噸水的抽水機(jī)來抽污水管道里積存的污水,估計(jì)積存的污水超過1200噸而不足1500噸,那么大約需要多少時(shí)間才能將污水抽完?

教師:根據(jù)這段文字,我們會(huì)想到什么數(shù)學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題?我們要求的未知數(shù)x與這兩個(gè)不等式有關(guān)系嗎?你能說一下有什么關(guān)系?

學(xué)生1:所求x同時(shí)滿足這兩個(gè)不等式.

教師:這位同學(xué)回答得非常好,對于“同時(shí)滿足”這樣的表達(dá)最近在哪里曾經(jīng)出現(xiàn)過?你想到最近我們學(xué)習(xí)的什么數(shù)學(xué)知識(shí)?

學(xué)生2:這讓我們想起方程組.

……

教學(xué)分析面對實(shí)際問題,帶動(dòng)學(xué)生的應(yīng)用題解決問題的知識(shí),學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系,根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出兩不等式,引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果思考,關(guān)注“同時(shí)滿足”,聯(lián)想起熟悉的方程組的表示形式,通過類比方程組,從組成形式上引出并用實(shí)例說明一元一次不等式組的概念,讓學(xué)生借助對已學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的化歸思想,從問題帶動(dòng)學(xué)生已學(xué)知識(shí).

(二)一元一次不等式組的解集與一元一次不等式的解集有什么聯(lián)系和區(qū)別?

類比方程組的解,抓住不等式組的解集與一元一次不等式的解集聯(lián)系和區(qū)別,在探索不等式組解集的過程中,形成解一元一次不等式組的方法.

教學(xué)片斷

學(xué)生3:45,44,43,42,41,46,47,48,49.

教師:哦,那么我取一個(gè)值,55符合要求嗎?為什么?

學(xué)生4:不符合,因?yàn)?0×55=1650＞1500.

教師:看來55不符合,因?yàn)椴粷M足不等式30x＜1500,大家都認(rèn)為所求的x可以取以上值嗎?x還可以取哪些值?

學(xué)生5:我發(fā)現(xiàn)x的取值是無限個(gè)的,只需要滿足40＜x＜50就可以了

教師:你發(fā)現(xiàn)了x的取值是一個(gè)滿足40＜x＜50集合,能說一下是怎樣找到這個(gè)集合的嗎?

學(xué)生6:只要分別解出30x＞1200和30x＜1500,得x＞40和x＜50,于是就有40＜x＜50.

教師:這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)非常有說服力,他分別解出了不等式組的兩個(gè)不等式,尋找出了同時(shí)滿足這兩個(gè)不等式的解集.聯(lián)系你所學(xué)的一元一次不等式解集知識(shí),你有什么方法直觀而快速的確定同時(shí)滿足這兩個(gè)不等式解集嗎?

圖1

學(xué)生7:我們知道不等式的解集可以在數(shù)軸上非常直觀的表示出來,請大家把30x＞1200和30x＜1500的解集在數(shù)軸上表示出來.從圖形上我們可以很快發(fā)現(xiàn)同時(shí)滿足這兩個(gè)不等式的解集.

教師:根據(jù)上題的解答過程你認(rèn)為解一元一次不等式組的一般步驟是什么?

學(xué)生8:步驟為:(1)求出不等式組中各個(gè)不等式的解集;

(2)利用數(shù)軸,找出這些不等式解集的公共部分;

(3)根據(jù)幾個(gè)不等式解集的公共部分,寫出這個(gè)不等式組的解集.……

教學(xué)分析一元一次不等式組、一元一次不等式組的解集、解不等式組的定義形成是從具體事物認(rèn)識(shí)抽象事物的一種方式,是由特殊到一般,由具體到抽象的過程.一元一次不等式組的概念是通過類比方程組得到,這個(gè)學(xué)生容易理解,但是類比又容易讓學(xué)生產(chǎn)生不利的影響,比如對于一元一次不等式組解集的理解就是一個(gè)難點(diǎn)了,公共解到公共解集的變化,解不等式組是分別解每個(gè)不等式而不是將像方程組那樣將兩個(gè)方程聯(lián)立解答,這些都需要學(xué)生對一元一次不等式組解集概念有初步的認(rèn)識(shí).為了突顯概念本質(zhì),對概念的探究過程進(jìn)行精細(xì)化處理,用過程帶動(dòng)學(xué)習(xí)方法,在對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)認(rèn)識(shí)的深化過程中逐漸形成數(shù)學(xué)的研究方法,所以我采取了以下活動(dòng)流程:(1)先根據(jù)具體簡單的實(shí)例找解;(2)舉出滿足一個(gè)一元一次不等式而不滿足第二個(gè)的未知數(shù)取值;(3)根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)找出更多的解;(4)如何找到的?(5)利用數(shù)軸理解解集的公共部分.在解不等式組時(shí)注意類比中的差異性,在突破難點(diǎn)時(shí)注重已學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,體現(xiàn)由數(shù)定形,由形判數(shù),數(shù)形互通,快速而又準(zhǔn)確的解答問題,感受數(shù)形結(jié)合的思想.

(三)尋找一元一次不等式組的解集方法的過程中,運(yùn)用了哪些知識(shí)和方法?

為了突出概念的應(yīng)用和精致,給出了特殊化試題,讓學(xué)生關(guān)注概念的關(guān)鍵詞,運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決困難.同時(shí)通過基本知識(shí)回顧和反思基本方法、經(jīng)驗(yàn)的過程,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)片斷

課堂練習(xí):直接寫出下列不等式組的解集,看誰又準(zhǔn)又快:

師生活動(dòng):(1)通過練習(xí),我們再回顧一下這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)點(diǎn)?(2)解不等式組一般分哪幾個(gè)步驟?(3)數(shù)軸在解不等式組過程中的作用是什么?(4)在學(xué)習(xí)的過程中運(yùn)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?(5)哪類問題適合用不等式組解決?

教學(xué)分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的主要是使學(xué)生深刻地理解概念,牢固地掌握概念,靈活的運(yùn)用概念.因此在學(xué)生獲得概念后,在實(shí)踐中運(yùn)用概念的過程是檢驗(yàn)教學(xué)效果重要部分,運(yùn)用概念實(shí)質(zhì)上是概念具體化的過程,概念的具體化有助于學(xué)生對概念深刻理解和牢固掌握.對解一元一次不等式組的過程進(jìn)行分步處理,通過探索過程帶動(dòng)學(xué)習(xí)方法,并具體到操作流程,在解答過程中深化方法.

對試題特殊化呈現(xiàn),突出數(shù)軸對于確定不等式組的解集的優(yōu)越性,特別是初學(xué)不等式組的階段,直觀表示有助于準(zhǔn)確、快速地確定解集.也讓學(xué)生滲透從特殊到一般,從一般再到特殊的思想方法,同時(shí)在遇到困難時(shí),回歸概念本身,理解概念的深刻性.

引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法兩個(gè)角度做總結(jié),提煉知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思維,感受“特殊到一般再到特殊”研究代數(shù)的基本套路,使學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí),形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).總結(jié)時(shí)注意反思,通過反思帶動(dòng)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的感悟,同時(shí)拋出問題將本節(jié)知識(shí)延伸,為后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

二、感悟

(一)問題帶動(dòng)知識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境,讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí),看到數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活,感知數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的抽象化、形式化刻畫.概念的教學(xué)需要從引進(jìn)的“情景化”通過問題帶動(dòng)知識(shí)的方式,進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的提煉,讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)階段分化到本質(zhì)屬性階段的同時(shí)獲得數(shù)學(xué)對象的研究.數(shù)學(xué)概念具有相對的獨(dú)立性,數(shù)學(xué)中的多數(shù)概念都是在原始概念的基礎(chǔ)上形成的,并且還要加以邏輯定義,用語言形式固定下來.教學(xué)中,要理解概念所定義的數(shù)學(xué)對象,通過問題帶動(dòng)知識(shí),調(diào)動(dòng)已知概念分析實(shí)際問題,形成研究新問題的沖動(dòng),然后認(rèn)識(shí)新概念,為學(xué)生自我構(gòu)建知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),也體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性.本節(jié)課通過實(shí)踐問題帶動(dòng)應(yīng)用題解決問題的知識(shí),學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系,根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出兩不等式,思考怎樣確定不等式組中x的可取值范圍,關(guān)注“同時(shí)滿足”帶動(dòng)方程組知識(shí),類比方程組得到不等式組的概念.

(二)過程帶動(dòng)方法

數(shù)學(xué)方法是因解決問題的需要而產(chǎn)生,是進(jìn)行對數(shù)學(xué)對象的研究,在分析研究對象的內(nèi)在規(guī)律的過程中,通過學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象、推理等得出的相應(yīng)的方法,體現(xiàn)過程帶動(dòng)方法.在明確了研究對象是一元一次不等式組的解集后,在尋找不等式組解集時(shí)注意類比解方程組中的方法差異性,明確了要?jiǎng)?chuàng)造一種新的方法解決之,先從直觀感受猜想找出一部分具體的解,通過典型實(shí)例舉出滿足一個(gè)一元一次不等式而不滿足第二個(gè)的未知數(shù)取值,使學(xué)生領(lǐng)悟到“同時(shí)滿足”,放手讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)找出更多的解,追問學(xué)生“如何找到的?”,調(diào)到學(xué)生相關(guān)的經(jīng)驗(yàn),利用數(shù)軸理解解集的公共部分,從形象到抽象逐步得到一元一次不等式解集的概念.在一元一次不等式組解集概念形成過程中,注意到了類比、從特殊到一般、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法.

好的教學(xué)既需要有好的想法,也需要有能夠落實(shí)的具體措施,能把思想轉(zhuǎn)化成學(xué)生面對問題時(shí)可以實(shí)施的行動(dòng).概念的鞏固應(yīng)用時(shí)就是用概念做判斷的具體事例,形成用概念做判斷的具體步驟.對解一元一次不等式組的過程實(shí)際上是對一元一次不等式組解集概念的理解和應(yīng)用過程,教學(xué)中通過領(lǐng)悟概念的關(guān)鍵詞的意義將解一元一次不等式組具體到操作步驟,在解答過程中深化方法.課堂練習(xí)的公共部分特殊化的表現(xiàn),讓學(xué)生對公共部分有更完善的理解,體現(xiàn)概念的精致.

(三)反思帶動(dòng)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)把“雙基”拓展為“四基”,其中“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”就是對數(shù)學(xué)思維教學(xué)的要求.一般而言,數(shù)學(xué)是否學(xué)得好,根源在于是否理解到數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方法,即是否已徹底了解“數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣來的,有可以怎么去用”.本節(jié)課從知識(shí)形成過程再次讓學(xué)生經(jīng)歷概念所定義的數(shù)學(xué)對象從獲得到研究,再到應(yīng)用,洞察其數(shù)學(xué)化的過程,

從數(shù)、形的角度抽象出一元一次不等式組解集的概念,明確了每個(gè)不等式解集的公共部分,通過建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系,并深化認(rèn)識(shí)拓展新知.反思一元一次不等式組解集概念的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程,領(lǐng)悟其中用的數(shù)學(xué)方法,體現(xiàn)建模的全過程,通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去學(xué)會(huì)思維,數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的最小單位,數(shù)學(xué)思維更是用概念思維.

“數(shù)學(xué)育人”的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)教師是關(guān)鍵,課堂教學(xué)是陣地,概念學(xué)習(xí)是載體,通過問題帶動(dòng)知識(shí),過程帶動(dòng)方法,反思帶動(dòng)思維的“三個(gè)帶動(dòng)”設(shè)計(jì)概念教學(xué),切實(shí)提升數(shù)學(xué)教學(xué)的功效.