浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)尚志中學(315100) 蔡曉娜

題目呈現(xiàn)如圖1,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,點D在BC上,且BD=BA,點E在BC的延長線上,且CE=CA.

圖1

(1)求∠DAE的度數(shù).

(2)如果把題干中的“AB=AC”的條件舍去,其余條件不變,那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎?并說明理由.

(3) 如果把題干中“∠BAC= 90°”的條件改為“∠BAC＞90°”,其余條件不變,那么∠DAE的度數(shù)與∠BAC有怎樣的大小關系?并說明理由.

分析與簡答此題出現(xiàn)在浙教版八年級上《2.6直角三角形》的課外練習中,考查了等腰(等腰直角)三角形的性質(zhì),三角形外角性質(zhì)知識點.

(1)問中,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACB=45°,再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠BAD=∠BDA=67.5°,∠E=∠CAE=22.5°,從而得到∠DAE=∠BDA-∠E=45°.

(2)由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=(180°-∠B),由CE=CA可得∠E=∠CAE=∠ACB=(90°-∠B),從而得到∠DAE=∠BDA-∠E=(180°-∠B)-(90°-∠B)=90°-∠B-45°+∠B=45°,即∠DAE的度數(shù)不變.

(3)由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=∠B),由CE=CA可得∠E=∠CAE=從而得到∠DAE=∠BDA-∠E=90°-∠B,因為∠BAC=180°-2∠B,所以∠DAE=

此題三問設置層層遞進,由易到難,由于(1)中各個角度都可以算出來,故學生回答較好,而(2)和(3)中無法算出具體的角度,需要設元,即所有的角度都可以用含∠B的代數(shù)式來表示,對于初二的學生非常害怕這樣的運算,或者說還沒有含參運算意識,所以正確率不高.

疑問與對策疑問1:第(3)問中“∠BAC＞90°”這個限制條件在解答的過程中沒有用到,那為什么還要加這個限制條件呢,直接把“∠BAC=90°”這個條件去掉就行了.

（26）下滅妖氛：邪氛侵氣，妄逞收平。（《太上說玄天大聖真武本傳神呪妙經(jīng)註》卷三，《中華道藏》30/554）

對策:師:當∠BAC＞90°時,圖形畫出來是這樣的(如圖2),那么當∠BAC＜90°時,圖形又是怎么樣的呢?請同學們畫一畫.

圖2

圖3

生2:如圖3.

生3:如圖4.

生4:圖3可以,圖4不滿足“點D在BC上”這個條件.

師:同樣都是∠BAC＜90°,什么時候滿足“點D在BC上”這個條件?

圖4

生5:當 60°≤∠BAC＜90°時才滿足,若∠BAC＜60°,點D在BC的延長線上.

師:圖3此時有∠DAE=∠BAC的結(jié)論嗎?

生:有,證明過程跟(3)的一樣.

生:也有,證明過程跟(3)的一樣.

師:經(jīng)過我們的探究,其實此題可以這么改:先把題干中的“點D在BC上”這個條件改為“點D在射線BC上”,然后第(3)問改為“如果把題干中“∠BAC=90°”的條件去掉,其余條件不變,那么∠DAE的度數(shù)與∠BAC有怎樣的大小關系?并說明理由.”只不過同學們在解答的過程中,需要分類討論.

疑問2:題中的(2)(3)都是在(1)的條件下提出的,而本身之間是獨立的,沒有聯(lián)系,是否可以把“AB=AC”和“∠BAC=90°”這兩個條件同時去掉?

對策:師:去掉這兩個條件,請同學們畫出圖像.

生6:如圖5.

生7:如圖6.

圖5

圖6

師:畫出來也是可以分成點D在線段BC上或者在BC的延長線上,那么此時有∠DAE=∠BAC的結(jié)論嗎?

生8:由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=(180°-∠B),由CE=CA可得∠E=∠CAE=∠ACB,從而得到∠DAE=∠BDA-∠E=(180°-∠B)-∠ACB=90°-∠B-∠ACB,因為∠BAC=180°-∠B-∠ACB,所以∠DAE=∠BAC.

疑問3:“點D在BC上”都可以改成“點D在射線BC上”,那么能否改成“點D在直線BC上”呢?

對策:師:我們只要考慮點D在射線BC的反向延長線時,請同學們畫出圖像并思考此時∠DAE和∠BAC又有怎樣的關系?

生9:如圖7.由題意得∠D=∠E=所以∠DAE=而∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB,所以∠DAE=

圖7

疑問4:既然“點D在直線BC上”了,那么點E能否在直線BC上?

對策:師:當點E在直線BC上時,除了上面討論的這幾種情況外,還有哪些可能?請畫圖.

生10:如圖8.由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=由CE=CA可得∠CEA=∠C),從而得到∠DAE=180°-∠BDA-因為∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB,所以∠DAE=90°-

圖8

幾點思考

一、在質(zhì)疑中進步

常聽教師抱怨:“現(xiàn)在的學生,教了多少遍都不會”,“教過了才會,稍微變形一下就不會”等等.目前的課堂教學,不管是講授式還是小組合作式,為了完成教學目標,教師的預設往往過強,學生所謂的生成都是“被生成”.明代學者陳獻章說過:“學貴有疑,小疑則小進,大疑則大進.”要想學生能在學習中有較大的進步,則需要學生能有質(zhì)疑的精神,要讓學生會于質(zhì)疑,敢于質(zhì)疑.所以教師在平時的教學過程中應當營造和諧的氛圍去引導學生去質(zhì)疑,質(zhì)疑題目,質(zhì)疑老師,質(zhì)疑課本.

二、在質(zhì)疑中發(fā)散

在學習過程中,若學生都是“被思考”,那么長久以往,學生的思維就會僵化,越來越離不開老師的“預設”,缺少獨立思考的能力,就會出現(xiàn)題目做過了,老師講過了,那還是可以做做的,遇到新的問題和情景卻一臉茫然,無從下手的現(xiàn)狀.古人云:“學起于思,思源于疑.”可見質(zhì)疑對于學生的思維發(fā)散是多么的重要,所以教師應該努力要讓學生善于質(zhì)疑,只要有質(zhì)疑了,那么才會有接下去解決質(zhì)疑的動力,學生才會去思考,思維才會不斷運轉(zhuǎn).正如上面的例子中可以發(fā)現(xiàn),學生對題目中的所謂的“多余條件”有了質(zhì)疑,才會引出接下來的一串的質(zhì)疑和思考.

三、在質(zhì)疑中創(chuàng)新

《義務教育數(shù)學課程標準(年版》中,對學生的培養(yǎng)目標在具體表述上做了一定的修改,提出了“四基”和“四能”.所謂“四能”,指的是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.現(xiàn)在的學生在題海戰(zhàn)術中,分析問題和解決問題的能力往往比較突出,欠缺的是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.愛因斯坦說:“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要”.因為解決問題,也許僅是技能而已,而提出新的問題新的可能性,從新的角度去看舊的問題,卻需要創(chuàng)造性的想象力,而且標志著科學的真正進步.所以教師應該讓學生樂于質(zhì)疑,在質(zhì)疑中得到學習數(shù)學的樂趣,在質(zhì)疑中創(chuàng)新.在上述例子,學生從對條件“∠BAC＞90°”的質(zhì)疑,經(jīng)老師的引導和啟發(fā),自己的動手操作,又產(chǎn)生了新的質(zhì)疑,把此題的結(jié)論推廣到了更一般化,可以說是對原題的創(chuàng)新.

總之,質(zhì)疑可以使教師的教學更有的放矢,可以引導學生深入理解課文,可以促進學生主動探究,勇于發(fā)現(xiàn),可以激活學生的思維.越是敢于質(zhì)疑的學生,其主體作用越能得到充分的發(fā)揮.所以老師們,請放手讓學生質(zhì)疑吧!