鄭亞芹

摘要：發(fā)展微積分的原始靈感之一來(lái)自于試圖去理解運(yùn)動(dòng)物體的速度、距離和時(shí)間的關(guān)系，因此運(yùn)動(dòng)學(xué)在微積分的應(yīng)用價(jià)值中無(wú)可替代。首先介紹了運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本組成元素，并且微積分滲透于此基本理論。論述了兩個(gè)基本的運(yùn)動(dòng)模型，分別是在一維空間和二維空間中的應(yīng)用舉例。

關(guān)鍵詞：微積分;運(yùn)動(dòng)學(xué);直線運(yùn)動(dòng);平面曲線運(yùn)動(dòng)

一、運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本組成1援路程和位移路程和位移之間有著重要的區(qū)別。首先，路程總是非負(fù)的，而位移可以是負(fù)的。一般規(guī)定物體向右或向上運(yùn)動(dòng)是正的位移。位移是負(fù)的表示物體終止于它的起始點(diǎn)的左側(cè)或下方。其次，位移= （終點(diǎn)位置）-（初始位置），所以位移僅涉及終點(diǎn)和初始位置，與物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的情況是無(wú)關(guān)的。例如開(kāi)車(chē)去1 千米以外的商店，里程計(jì)顯示3千米表示總路程是3千米，但位移只有1千米。若物體只向同一方向運(yùn)動(dòng)，則路程就是位移的絕對(duì)值。2援平均速度和平均速率速率是路程關(guān)于時(shí)間的改變率，速度是位移關(guān)于時(shí)間的改變量。

一方面，速度有符號(hào)。一般向右或向上運(yùn)動(dòng)為正速度，相反是負(fù)速度。另一方面，速率非負(fù)，它反映了運(yùn)動(dòng)的快慢大小。若汽車(chē)在長(zhǎng)直的公路上行駛，一定時(shí)間內(nèi)的平均速度為負(fù)的，則它終止于起始點(diǎn)的左側(cè)。若一定時(shí)間段內(nèi)的平均速度是0，則汽車(chē)終止于起始位置，但或許此時(shí)有很高的平均速率。而如果汽車(chē)沿著一個(gè)方向行駛，則平均速率就是平均速度的絕對(duì)值。3援瞬時(shí)速度和速率設(shè)物體沿直線運(yùn)動(dòng)的方程是s=f（t），其中是從原點(diǎn)開(kāi)始到時(shí)間t 的位移，f 是物體的位置函數(shù)。此時(shí)間段：平均速度=位移時(shí)間越f（a+h）-f（a）h 。定義v（a）是t=a的速度（瞬時(shí)速度）。令h 趨向于0，則時(shí)間段[a，a+h]變得越來(lái)越短，于是平均速度的極限lhi寅m0 f（a+h）-f（a）h =f'（a）=v（a）[1]，而速率是速度的絕對(duì)值f'（a）。4.速度和速率的最值關(guān)系若物體沿直線運(yùn)動(dòng)的最大和最小的速度是5 和-7。速度-7 意味著速率是7，這是物體的最大速率。最小的速率是零，發(fā)生在物體轉(zhuǎn)頭的點(diǎn)。對(duì)于連續(xù)的速度函數(shù)而言，當(dāng)最大的和最小的速度有相反符號(hào)或其中之一為零時(shí)，最小的速率是零;當(dāng)最大的和最小的速度都是正或都是負(fù)時(shí)，最小速率是最大或最小的速度絕對(duì)值的較小者。所有情況中，最大速率是最大或最小的速度的絕對(duì)值中的最大者。5.速度、速率和加速度物體運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)是s=f（t）。則物體的加速度是瞬時(shí)比率，是速度關(guān)于時(shí)間的改變率，是位置的二階導(dǎo)，即a（t）=v'（t）=s"（t）[2]。

如果物體向下越來(lái)越快的運(yùn)動(dòng)，速率在增加，但加速度在減小，因?yàn)槠渌俣茸兂闪烁蟮呢?fù)值。注意加速度不是速率的改變率。而物體向下運(yùn)動(dòng)且變慢時(shí)，速率在減小，而速度變大—因?yàn)樗俣茸兂闪烁〉呢?fù)值—它有一個(gè)正的加速度。因此速率增加，當(dāng)速度是正的且在增加（v 和a都是正的）或當(dāng)速度是負(fù)的且在減少（v 和a都是負(fù)的），即當(dāng)速度和加速度有相同符號(hào)時(shí)物體加速（物體被推向其所運(yùn)動(dòng)的同一方向）。

二、直線和平面運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)遵循：（1）若v躍0，則物體向右運(yùn)動(dòng)且s 增大;若v約0，則物體向左運(yùn)動(dòng)且s 減小;（2）若a躍0，則v 增大;若a約0，則v 減小;（3）若a 和v 同為正或負(fù)，則速率增大或物體加速;若a 和v 符號(hào)相反，則速率減小或物體減速;（4）若s 是t的連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)v 是0 且a 不是0 時(shí)物體轉(zhuǎn)向;注意v 是0 不代表物體轉(zhuǎn)向。若物體在[a，b]的有限時(shí)間段（分區(qū)）的速度是常數(shù)，位移便是以豎直軸表示速度、水平軸表示時(shí)間及t=a和t=b 所圍成的有向面積[3（] 圖1）。

路程是圖2 中速率v 對(duì)時(shí)間t圖像中所示陰影部分面積。若速度是任意曲線函數(shù)v（t），則從t=a到t=b 的位移是從a到b 的速度曲線下方的有向面積，圖3 的陰影面積便是豎直軸上的速度乘水平軸上時(shí)間的結(jié)果。2援平面曲線運(yùn)動(dòng)（二維空間中的運(yùn)動(dòng)）物體在平面或空間中運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)可表示成參數(shù)、極方程或向量函數(shù)。位置函數(shù)的一階導(dǎo)是速度向量，二階導(dǎo)是加速度向量。計(jì)算向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法是輪流對(duì)各分量求微分。若不止求一階導(dǎo)，則重復(fù)上述過(guò)程到需要的數(shù)階導(dǎo)數(shù)。同樣也可對(duì)向量函數(shù)逐項(xiàng)求積分。物體在時(shí)間a的平面曲線上的位置是R軑（a）=（x（a），y（a））。

物體在點(diǎn)t=a的速度是數(shù)值向量R軑'（a）=（x'（a），y'（a）），指出了物體在曲線上的運(yùn)動(dòng)方向。圖像上可表示為與曲線在點(diǎn)（x（a），y（a））相切的有向線段（向量）。x'（a）和y'（a）的比率是曲線在t=a的切線斜率，因曲線的速度向量就在曲線的切線上。所以曲線的斜率

參考文獻(xiàn)：

[1]James Stewart. Single Variable Calculus Early Transcen原dentals. Brooks/Cole Cengage learning，2012：104-110.

[2]Shirley O. Hockett，David Bock. Barrons AP Calculus. 世界圖書(shū)出版社，2017：181.

[3]David S. Kahn. The Princeton Review Cracking the AP Calculus AB & BC Exams. Random House，Inc. New York，2009：159-166.

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