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        利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項公式的典型方法解析

        2019-05-10 10:17:28張海宏
        新課程·下旬 2019年4期

        張海宏

        摘 要:解答與數(shù)列相關(guān)的問題,通項公式是關(guān)鍵。那么怎么快速、有效地求解通項公式?就這一問題做一初步探討,供大家參考。

        關(guān)鍵詞:遞推關(guān)系;通項公式;累加;累積;待定系數(shù);周期

        數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的方式之一,根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式,既考查學(xué)生對數(shù)列知識掌握情況,也考查學(xué)生觀察能力、推理能力、判斷能力。本文就因題而宜,正確利用遞推公式求數(shù)列的通項公式做一步探討。

        一、利用遞推關(guān)系特征用累加方法求通項公式

        如果一個數(shù)列從第二項起,后一項減去前一項是一個與n有關(guān)的量,就用累加。即an-1-an=f(n),則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)+a1.

        例:已知a1=2,an-1=an+ln(1+).

        解:a1=2,an-1=an+ln(1+),∴an-1-an=ln,∴an-an-1=ln(n≥2),an-1-an-2=ln…,∴a2-a1=ln(n≥2),∴an-a1=ln+ln+…+ln=lnn(n≥2)即an=lnn+2(n≥2)又a1=2,∴an=lnn+2.

        二、利用遞推關(guān)系特征用累積方法求通項公式

        若一個數(shù)列從第二項起,后一項與前一項的比是一個與n有關(guān)的量,就用累積。即=f(n),則an=·…·a1=f(n)·f(n-1)…=f(2)·f(1)a1

        例:求a1=,an=an-1(n≥2)求an.

        解:an=an-1(n≥2),所以當(dāng)n≥2時,=所以=,…,=,=.

        以上n-1個式子相乘得·…·=·…·

        即=·×2×1,所以an=,當(dāng)n=1時,a1==也與已知a1=相符.

        所以數(shù)列{an}的通項公式為an=.

        三、利用遞推關(guān)系特征用兩邊同加待定系數(shù)求通項公式

        利用遞推關(guān)系an=pan-1+q(p≠1),(若p=1,則用累加)兩邊同加同一個數(shù),構(gòu)成等比數(shù)列求通項。這類題型,給兩邊同加一個數(shù),然后構(gòu)成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列通項公式求解。關(guān)鍵是兩邊同加這個數(shù)如何求出,下面就做一簡單推理。

        an=pan-1+q?圯an+b=pan-1+q+b=p(an-1+),若要構(gòu)成等比數(shù)列,則b=?圯bp-b=q?圯b=(p≠1).

        若p=1,則用累加求通項公式。

        例:a1=1,an+1=an+1(n∈N*),求an.

        解:p=,q=1∴b==2,an+1-2=(an-2)?圯=.

        則{an-2}是以a1-2=-1為首項,q=為公比的等比數(shù)列,故an-2=(a1-2)·()n-1?圯an=2-()n-1=2-(n∈N*) an=pan-1+q(p≠1)如果q是冪的形式,即an=tn+tan-1則等式兩邊同除以tn,化為等差數(shù)列來求解。

        四、用遞推關(guān)系特征用兩邊同除以交叉項求通項公式

        如果一個數(shù)列從第二項起,后一項與前一項的和交叉項的積都有關(guān)系,則根據(jù)題型特征給兩邊同除以交叉項,變?yōu)榈炔顢?shù)列求解。

        例:已知a1=,且當(dāng)n>1時,an-1-an-4an·an-1=0,求an.

        解:an-1-an-4an·an-1=0?圯-=4,{}是以=5為首項,d=4為公差的等差數(shù)列,故=5+4(n-1)?圯an=.

        五、利用遞推關(guān)系特征用遞推公式及函數(shù)的周期性求通項公式

        如果一個數(shù)列遞推關(guān)系也是用分時給出,但等式右邊分子、分母都含常數(shù)項,而且變量比較大則考慮周期。

        例:已知a1=0,an+1=(n∈N*),求an,a20.

        解:a1=0,a2=-,a3=,a4=0?圯a1=a4=a1+3?圯T=3an=0 n=3k- n=3k+1 n=3k+2(k∈Z),a20=a3×6+2=a2=-

        利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式的方法是多種多樣的,以上方法是最典型的幾種。如果掌握了這些方法,可能給大家?guī)砟撤N啟發(fā)觸發(fā)靈感,起到舉一反三、觸類旁通的效果,能根據(jù)具體題型特征靈活正確地求解數(shù)列通項的相關(guān)問題。

        編輯 馮志強

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