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        “雞兔同籠問題”的解決方案初探

        2019-05-08 03:18:32劉錦霞李玉嬌
        數(shù)學學習與研究 2019年5期
        關(guān)鍵詞:條腿列式舉例

        劉錦霞 李玉嬌

        對雞兔同籠問題,學生的解決方案有多種.

        一是算術(shù)方法.包括:嘗試、調(diào)整.窮舉、列表.假設(shè)、推理.在五年級學生的具體操作中列表法、嘗試法有這樣的幾種方法:

        方法1:根據(jù)雞和兔共20只的條件,假設(shè)雞只有1只,那么兔有19只,腿共有78條.在這樣的逐一舉例中,直至尋求到所求的答案.

        頭/個雞/只兔/只腿/條

        2011978

        2021876

        2031774

        2041672

        …………

        2013754

        方法2:先做一些分析,比較后再試.

        頭/個雞/只兔/只腿/條

        2011978

        2051570

        20101060

        2015550

        2014652

        2013754

        方法3:先假設(shè)雞和兔各占一半,再列表.

        頭/個雞/只兔/只腿/條

        20101060

        2012856

        2013754

        60>54,說明兔子多了,應減少兔子數(shù).

        分析這幾種解決問題的策略:

        上面三種方法中,第一張表格是常規(guī)的逐一列舉法,即根據(jù)雞與兔共20只的條件,假設(shè)雞只有1只,那么兔就有19只,腿共有78條;假設(shè)雞有2只,那么兔就有18只,腿共有76條,在這樣的逐一舉例中,直至找到所求的答案.經(jīng)過課堂調(diào)查此種方法被我們班上31名學生所采用,看樣子這種方法是能被大多數(shù)學生所理解的一種方法.第二張表格是估計雞與兔數(shù)量的可能范圍,以減少舉例的次數(shù).第三張表格是采用取中列舉的方法,由于雞和兔共20只,所以各取10只,接著在舉例中根據(jù)實際數(shù)據(jù)的情況確定舉例的方向,這樣可以大大縮小舉例的范圍.“嘗試、調(diào)整”和“窮舉、列表”這兩種方法,都是數(shù)學中的通法.而從認知上看,也是學生容易掌握的方法.

        學生采用的假設(shè)推理法有下面幾種:

        方法1:

        假設(shè)這20只全部是兔子,那么就應該有80條腿,而題目只告訴我們有54條腿,我們算的80與實際相比多算了26條腿,這是為什么呢?因為一只雞是兩條腿,而我們把它當成四條腿算了,如果用一只雞來換一只兔,就要減少2條腿,也就是我們把多少只雞當成了兔子,顯然26÷2=13(只),所以雞有13只,兔子有7只.可以列式為:(20×4-54)÷(4-2)=13(只),20-13=7(只).

        方法2:

        假設(shè)這20只全部是雞,那么就應該有40條腿,比實際少了14條腿,是因為每只兔子少算了2條腿,這樣共有兔子是7只,雞則是13只.列式如下:(54-20×2)÷(4-2)=7(只),20-7=13(只).

        方法3:

        把一只雞和一只兔看作一個整體,一個整體中就有(4+2=6)條腿,54條腿應該是幾個這樣的整體呢?54÷6=9(個),在9個這樣的整體里兔子的只數(shù)應該不是9只,因為9只兔和11只雞的腿的條數(shù)超過了總條數(shù)54.那么就把兔看成8只,還是偏大,最后把兔的只數(shù)看成7只,雞是13只,腿的總條數(shù)就正好是54了.列式為:4+2=6(只),54÷6=9(個),9-1=8(只),9-2=7(只),20-7=13(只),7×4=28(條),13×2=26(條)28+26=54(條)

        方法4:

        此方法是:假設(shè)每只雞都用一只腳站著,而每只兔子都用后腳站起來.顯然,在這種情況下,總腳數(shù)出現(xiàn)了一半,是27,此時,雞的腳數(shù)與雞的頭數(shù)是相等的,兔子的腳數(shù)是兔子的頭數(shù)的2倍.所以,從27中減去總的頭數(shù)20得7,就是兔子的頭數(shù).當然,20-7=13,雞就是13只了.

        分析這幾種解決問題的策略:

        解決雞兔同籠問題通常使用假設(shè)法,可以假設(shè)所有的動物都是兔子,并求出在假設(shè)情況下的總腿數(shù),再把實際的腿數(shù)和假設(shè)情況下的腿數(shù)相比較,看看多出了多少,每多2只腿說明有一只雞,將多出的腿數(shù)除以2就算出共有多少只雞.也可以假設(shè)全部是兔子來解.但這種“假設(shè)法”理解起來并不容易,對會使用此做法的學生在課堂上教師要進行鼓勵,對理解不透的也進行了靈活機動的處理,課后可向教師請教,也可和其他同學商討,在課堂上不做統(tǒng)一要求.

        二是代數(shù)方法.

        分析問題中的量,確定等量關(guān)系,設(shè)未知數(shù),列方程,求解.學生具體解決策略有:

        解法1:設(shè)其中有x只兔,有y只雞.列式為:x+y=20,4x+2y=54.

        最后算出x=7,y=13.

        解法2:設(shè)其中有x只兔,有(20-x)只雞.列式為:2x+4×(20-x)=54,最后算出x=7,得出兔的只數(shù)是7只,那么20-x=13就是雞的只數(shù).

        分析這幾種解決問題的策略:

        這種列方程的代數(shù)方法,體現(xiàn)的是分析規(guī)律、表示規(guī)律、解決問題.對學習者的綜合應用能力和抽象思維能力有一定要求.這種方法可當作是課堂上的一種思維火花,要好好呵護,但不可強行全面推行.

        三是幾何作圖方法,有如下幾種:

        方法1:先畫20個圓圈表示20個頭.再為每個動物畫兩條腿,20只動物只用完40條腿,還多出了14條腿.把剩下的14條腿用完,要給其中的7只動物加2條腿,這7只就是兔子,另外的13只就是雞.

        方法2:先畫20個頭,接著假設(shè)全部是兔,共畫80條腿,多出了26條腿,要給其中的13只動物去掉2條腿,這13只就是雞,另外的7只就是兔了.

        分析這幾種解決問題的策略:

        此種作圖法,只有幾名學生想到,但此法在班上進行展示后,得到了不少同學的喜愛,主要是因為它能直觀形象地展示出解題方案.

        從課堂教學情況看,“嘗試、調(diào)整”和“窮舉、列表”方法,比較適用于一般的學生.代數(shù)方法,體現(xiàn)的是分析規(guī)律、表示規(guī)律、解決問題,對學習者的綜合應用能力和抽象思維能力有一定要求,在課堂上不做統(tǒng)一要求,但是學優(yōu)生能想得出來,并呈現(xiàn)出多樣的思維,教師又要進行鼓勵和表揚,真正體現(xiàn)出:數(shù)學課堂上不同的人有不同的發(fā)展,不同的人學有不同的數(shù)學.

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