浦敘德

初中數(shù)學中代數(shù)的學習內(nèi)容呈現(xiàn)“布點”式螺旋上升的特征。所謂“布點”式螺旋上升，就是把初中要學習的內(nèi)容按照由易到難的規(guī)律先后呈現(xiàn)，布下一個一個知識板塊的“點”，然后在每個“點”上逐步深入?；仡櫼幌逻M入初中以后我們學習的代數(shù)內(nèi)容，分別是“第2章有理數(shù)”“第3章代數(shù)式”“第4章一元一次方程”和“第8章冪的運算”，如果將它們進行歸類，第2章屬于“數(shù)”，第3、8章屬于“式”，第4章屬于“方程”，那么即將學習的“第9章整式乘法與因式分解”顯然也屬于“式”的范疇。

本章內(nèi)容可以分成三個塊面，一是9.1、9.2、9.3構成整式乘法，二是9.4乘法公式，三是9.5因式分解。學好本章內(nèi)容，我們不僅需要具體的知識作支撐，更需要有大局觀念，明白各塊面內(nèi)容之間的關聯(lián)，這也是今后學習數(shù)學從“優(yōu)秀”到“卓越”的關鍵。本章中，第一塊面與第二塊面知識之間構成了“一般與特殊”的關系;第一、二塊面與第三塊面知識之間構成“互逆”的關系。下面就此展開說明。

一、如何全面認識“整式乘法”

我們先回顧一下七年級第2章有理數(shù)的“數(shù)”是怎么研究的。首先我們認識了負數(shù)，完成了初中代數(shù)的第一次飛躍，由此把正數(shù)、零、負數(shù)歸為有理數(shù)，接著研究了有理數(shù)中相反數(shù)、絕對值和數(shù)軸等相關概念，進而就進入學習有理數(shù)的加減乘除乘方運算。由此可見，研究數(shù)的主要目的就是要進行數(shù)的運算。

用字母表示數(shù)，完成了初中代數(shù)的第二次飛躍，從特殊走向一般，把“數(shù)”的研究開始轉向“式”的研究。代數(shù)式有許多種類型，而包含單項式與多項式的整式是其中最特殊、最簡單的一類。認識了整式及相關概念后，式也將進入學習正題，就是學習代數(shù)式中整式的運算，包括整式的加減乘除乘方。那么，整式的加減運算在哪里學的呢？在第3章代數(shù)式中，我們曾經(jīng)學過同類項概念與合并同類項法則，中間有這樣一句結論：整式的加減就是合并同類項。由此可以看出，整式的加減在第3章代數(shù)式中已經(jīng)學過，那么，接下去當然就要學習“整式乘法”。我們通過“數(shù)”的研究思路和方法，運用類比與對比，很容易就理清了“式”中“整式”研究的脈絡與方法。

整式包括單項式與多項式，其進行乘法運算，從簡單到復雜，從特殊到一般，就包括“單項式乘單項式”“單項式乘多項式”“多項式乘多項式”三類。其中單項式乘單項式是最簡單、最特殊的情形，也是整式乘法運算的奠基工程。式的運算跟數(shù)的運算一樣，同樣需要借助法則，不同的是，有理數(shù)的運算其結果需要考慮“符號”與“絕對值”兩個方面，而整式的運算其結果需要考慮“符號”“系數(shù)”“字母”與“指數(shù)”四個方面，相對來說開始變得復雜，這需要同學們養(yǎng)成細心耐心、思考周密的習慣。一旦把單項式乘單項式學扎實了，后面的單項式乘多項式、多項式乘多項式就簡單了，用一句話來表達就是：把“多項式乘多項式”通過運算法則轉化為“單項式乘多項式”，再通過運算法則轉化為“單項式乘單項式”。

二、如何辯證認識“乘法公式”

乘法公式屬于多項式乘多項式的特殊情形，乘法公式與多項式乘多項式構成了特殊與一般的關系。根據(jù)特殊情形從屬于一般情形的關系，就算你不學乘法公式，就利用多項式乘多項式的法則，同樣可以計算出最后的結果。那為什么還要學習乘法公式呢？這是由數(shù)學學科特點決定的。因為數(shù)學的本質追求的是“最簡、最優(yōu)、最美”，本來兩項的多項式乘兩項的多項式，結果應該有四項，但我們發(fā)現(xiàn)，當兩個兩項的多項式有一定規(guī)律的時候，其結果就變成了只有兩項或三項。利用公式可以直接得到簡單的結果，學習乘法公式就顯得非常必要和重要。

對于平方差公式與完全平方公式，我們需要從三個層面來理解并掌握。一是要知道兩個乘法公式不僅可以用代數(shù)的方法直接利用多項式乘多項式法則得到，還可以通過構造幾何圖形，利用面積的不同計算方法進行驗證，分別從代數(shù)與幾何兩個視角看公式的得出過程，大大豐富我們對新知生長路徑的認識。二是要知道兩個公式的特征，在不同情形下能夠快速地識別是否可用公式，用哪個公式，對公式中的a、b也要認識全面。a與b不僅可以是單項式，也可以是多項式，說明公式不僅具有一般性，而且具有廣泛的應用性。三是要知道公式的特征。既然是公式，它就是一個等式，所以，不僅要掌握乘法公式的正向運用，還要熟練掌握其逆向運用。事實上，兩個公式逆向使用，就是本章第三塊面知識：多項式的因式分解。

三、如何宏觀認識“因式分解”

我們首先需要明確的是，前面的整式乘法與乘法公式兩個塊面都是屬于式的運算，但因式分解這個塊面不屬于運算，屬于式的恒等變形。其次，因式分解的對象是多項式，所以，研究因式分解的前提條件是針對一個多項式而言。既然因式分解不屬于運算，那么，在此學習是為什么呢？這是基于兩個原因。其一，前面已經(jīng)談到，初中代數(shù)的呈現(xiàn)是布點式螺旋上升，后面即將學習新知識的過程中很快需要用到多項式因式分解這個“式的變形”，所以在這里先布點。其二，多項式的因式分解與整式乘法中單項式乘多項式、多項式乘多項式的過程正好互逆。部分同學學習了整式乘法后再學習因式分解，會產(chǎn)生迷茫和混淆，上面的分析其實已經(jīng)非常明確地告訴大家如何區(qū)分兩者：整式乘法是式的乘法運算，結果是單項式或多項式，而因式分解是式的恒等變形，結果是幾個整式的積。

多項式的因式分解方法共有提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法四種。單項式乘多項式的法則可以用符號語言a（b+c+d）=ab+ac+ad來表示，反過來， ab+ac+ad=a（b+c+d）就變成因式分解的提取公因式法的符號語言;整式乘法之乘法公式用符號語言（a±b）2=a2±2ab+b2、（a+b）（a-b）=a2-b2來表示，反過來，a2±2ab+b2=（a±b）2、a2-b2=（a+b）（a-b）就變成因式分解的運用公式法的符號語言;同樣，多項式乘多項式的（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，反過來就變成因式分解的分組分解法;而多項式乘多項式的（x+a）·（x+b）=x2+（a+b）x+ab，反過來就變成因式分解的十字相乘法。

綜上我們可以看出，隨著“數(shù)的運算”轉換到“式的運算”，不僅過程和結果變得比較復雜，而且各個數(shù)學知識之間的關系也開始變得縱橫交錯，這就要求我們把學好數(shù)學知識放在第一位，在此基礎上，還要理清各個知識塊面之間的相互關聯(lián)，只有這樣，你的學習才能做到知其然，還知其所以然，也只有這樣，你的數(shù)學學習才會從優(yōu)秀走向卓越。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）