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        單圈圖的擴(kuò)展矩陣的譜半徑與能量

        2019-05-05 10:49:18徐幼專
        關(guān)鍵詞:單圈邊數(shù)鄰接矩陣

        徐幼專

        (邵陽廣播電視大學(xué),湖南 邵陽,422000)

        能量的概念起源于化學(xué),20世紀(jì)30年代,Huckel 分子軌道理論提出了一種對(duì)共軛烴的薛定諤方程求近似解的方法,這一方法,可以用來估計(jì)共軛烴中π-電子的分子軌道能級(jí),并計(jì)算π-電子的總能量。圖的特征值和共軛碳?xì)浠衔镏笑?電子的分子軌道能級(jí)之間有著緊密對(duì)應(yīng),碳?xì)浠衔锵到y(tǒng)的碳原子對(duì)應(yīng)于相關(guān)分子圖的頂點(diǎn),分子圖的能量定義為其鄰接矩陣的特征值的絕對(duì)值之和。圖的能量是圖的一個(gè)不變量,對(duì)于圖的能量研究有許多結(jié)果,參見文獻(xiàn)[1-4]。能量的概念有很多推廣,至今為止,已有63種能量得到研究[5]。

        這篇文章主要研究單圈圖的擴(kuò)展譜半徑和擴(kuò)展能量。

        1 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)G是具有n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖,其頂點(diǎn)集為V(G)={v1,v2,…,vn},邊集為E(G),令|E(G)|=m。用di表示頂點(diǎn)vi的度,同時(shí),用Δ、δ分別表示G中的最大度和最小度。若頂點(diǎn)vi與vj相鄰,則記作vivj∈E(G)。圖G的鄰接矩陣用A(G) 表示,設(shè)A(G)的特征值為λi(i=1,2,…,n),不妨設(shè)λ1≥λ2≥…≥λn,這個(gè)最大的特征值λ1稱為圖G的譜半徑。因?yàn)锳(G)是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,它的所有特征值都是實(shí)數(shù)。圖G的譜是指其鄰接矩陣A(G)的所有特征值的集合。單圈圖就是邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)的簡(jiǎn)單連通圖,單圈圖是除樹之外結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的圖類,它在圖譜理論、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、圖染色理論等都發(fā)揮著不可替代的作用。

        圖的擴(kuò)展鄰接矩陣被YANG介紹過[6],定義圖的擴(kuò)展鄰接矩陣Aex=(aexij),這里

        1)設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n、邊數(shù)為m的簡(jiǎn)單圖,則

        (1)

        等式成立當(dāng)且僅當(dāng)G≌K1,n-1,這里K1,n-1表示具有n個(gè)頂點(diǎn)的星圖。

        2)設(shè)G是最大度為Δ、最小度為δ的簡(jiǎn)單圖,則

        (2)

        等式成立當(dāng)且僅當(dāng)G是正則圖,這里λ1為圖G的鄰接譜半徑。

        設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n、邊數(shù)為m、最大度為Δ、最小度為δ的簡(jiǎn)單圖,則

        (3)

        (4)

        2 定理及其證明

        先介紹幾個(gè)引理。

        下面證明文中的主要結(jié)論。

        定理1 設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n的單圈圖,則G的擴(kuò)展譜半徑滿足

        圖1 具有5個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖S35Fig.1 Unicyclic graph S35 with 5 vertices

        證明 因?yàn)镚是頂點(diǎn)數(shù)為n的單圈圖,所以其邊數(shù)m=n。代入(1)式即得結(jié)論。

        例如,以單圈圖S35為例(見圖1),計(jì)算它的擴(kuò)展譜半徑。利用mathematica軟件直接計(jì)算單圈圖的擴(kuò)展矩陣的特征值譜為{4.25,0,0,0,-4.25},得到擴(kuò)展譜半徑為η1=4.25。 若利用定理1求得η1≤5.205。顯然,η1=4.25<5.205,定理1成立。

        定理2 設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n、最大度為Δ、最小度為δ的單圈圖,則G的擴(kuò)展譜半徑滿足

        證明 分兩種情形給予討論

        (5)

        情形2 若單圈圖的最小度δ>1,根據(jù)引理1和(2)式,得到

        (6)

        于是推出定理的結(jié)論。

        再以單圈圖S35為例,因?yàn)槠渥畲蠖圈?4,若用(5)式計(jì)算,則η1≤13.47。顯然,η1=4.25<13.47,定理2是成立的。

        定理3 設(shè)G是n(n≥9)階、最大度為Δ、最小度為δ的單圈圖,則G的擴(kuò)展譜半徑滿足

        同定理2證明一樣,利用引理2,馬上得出結(jié)論,這里略去證明。

        比較定理1、2、3,發(fā)現(xiàn)定理1的結(jié)果要優(yōu)于定理2、3的結(jié)果,定理3要優(yōu)于定理2。

        下面,研究單圈圖的擴(kuò)展能量。

        定理4 設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n、最大度為Δ、最小度為δ的單圈圖,則擴(kuò)展能量滿足

        證明 對(duì)于單圈圖G,其邊數(shù)m與頂點(diǎn)數(shù)n相等,即m=n。

        現(xiàn)分兩種情形討論:

        于是,定理得到證明。

        仍以單圈圖S35為例說明定理4 的準(zhǔn)確性。由于單圈圖S35的擴(kuò)展譜為{4.25,0,0,0,-4.25},因而求得S35的擴(kuò)展能量為Eex(S35)=8.5。因?yàn)棣?4,δ=1,若用定理4計(jì)算,則Eex(S35)≤15.03。顯然有8.5<15.03成立。

        定理5 設(shè)G是頂點(diǎn)數(shù)為n、最大度為Δ、最小度為δ的單圈圖,r表示當(dāng)δ=1時(shí)的個(gè)數(shù)。則擴(kuò)展能量滿足

        證明 對(duì)于單圈圖G,若δ=1,不妨設(shè)d1=d2=…=dr=1,dr+1>1,dr+2>1,…,dn>1。

        若δ>1,則有F(G)≤nΔ3。所以有

        從而定理得到證明。

        繼續(xù)以單圈圖S35為例,驗(yàn)證定理5 的準(zhǔn)確性。由于單圈圖S35的最大度為4,最小度為1的有2個(gè),因此有Eex(S35)≤45.40,顯然定理5成立。

        從上發(fā)現(xiàn)用定理4估計(jì),比用定理5去估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確一些。

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