戴晨燕

(江蘇省昆山市第二中等專業(yè)學(xué)校 215200)

化歸是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法.化，就是轉(zhuǎn)化；歸，就是歸結(jié).化歸主要運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題的解決過程中，目的是為了鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.根據(jù)題目的已知條件，將圖像、文字、數(shù)學(xué)符號等描述的含義轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而完成問題的解答.這是一個(gè)把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，把困難轉(zhuǎn)化為容易的過程.教師要對數(shù)學(xué)知識有一個(gè)充分的理解，即不同的知識點(diǎn)之間互為依托、互相聯(lián)系.在數(shù)學(xué)教材的編排上也體現(xiàn)了這一特性.因此教師要引導(dǎo)學(xué)生通過對已有知識的回顧，再熟悉的過程，自然引出未知知識，讓學(xué)生不僅知其然，還要知其所以然.

一、化生疏為熟悉，在類比歸納中理解概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)大廈的基石.學(xué)生能否正確理解概念直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.然而，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性給學(xué)生的理解和內(nèi)化造成困難，運(yùn)用類比和歸納，可以結(jié)合定義的形成過程，對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行必要剖析，以概念內(nèi)容作為知識的起點(diǎn)，開拓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思路.

比如在講授異面直線距離的知識點(diǎn)時(shí)，教師一般會引入異面直線公垂線的定義，進(jìn)而將兩個(gè)垂足間的線段之長解釋為異面直線距離.除了采用上述的教學(xué)方法外，教師還可以通過和學(xué)生一起對已有知識進(jìn)行回顧，引入新的知識.學(xué)生已經(jīng)掌握了一些距離的定義，比如兩點(diǎn)之間、點(diǎn)和直線之間、平行線之間等的距離概念.教師讓學(xué)生思考這些不同的距離概念是否存在共同點(diǎn).在經(jīng)過討論之后，學(xué)生們可以發(fā)現(xiàn)距離概念的共性是垂直、最短等.進(jìn)而將這一共性應(yīng)用到異面直線距離，推動學(xué)生進(jìn)行深入的探索，去尋找兩條異面直線上的點(diǎn).經(jīng)過研究，學(xué)生們找到了和兩條異面直線都垂直的一條線段，并且在實(shí)物演示中得到了驗(yàn)證.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們的研究工作有了成果，異面直線距離的知識點(diǎn)就順利地傳授給了學(xué)生.引導(dǎo)-思考的方法不僅讓學(xué)生掌握了新的知識點(diǎn)，而且促進(jìn)了學(xué)習(xí)興趣的增長，學(xué)習(xí)效率大大提升.

再比如在“等差數(shù)列”的教學(xué)中有這樣一道習(xí)題：

現(xiàn)有一等差數(shù)列{an}，公差是d，可以得知下面的式子成立：a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-an-1=d.如果將上述等式進(jìn)行累加，最終會得到an=a1+(n-1)d，即該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.教師在進(jìn)行該部分內(nèi)容的傳授時(shí)，就可以簡單地利用公差和累加的方法將通項(xiàng)公式的來源讓學(xué)生明明白白.采用同樣的方法，還可以得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，如下所示：

作為化歸思想的重要表現(xiàn)形式，教師要靈活運(yùn)用類比、歸納等方法，將數(shù)學(xué)概念優(yōu)化整合之后，讓學(xué)生對能夠采用同一方法進(jìn)行理解認(rèn)識的知識點(diǎn)深入理解，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等.在化歸思想的指導(dǎo)下，教師能夠?qū)?shù)學(xué)知識點(diǎn)的傳授安排更加豐富，通過例題講解，加深學(xué)生對概念的理解程度，拓展融會貫通的思維，掌握多樣性的學(xué)習(xí)方法.教師和學(xué)生齊心協(xié)力將數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)夯實(shí).

二、化復(fù)雜為簡單，在逆向思考中增強(qiáng)理解能力

在日常課堂教學(xué)中，將問題按部就班地進(jìn)行思考反而容易讓學(xué)生進(jìn)入思維誤區(qū)，遲遲無法得到正確答案.而利用逆向思維進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，問題迎刃而解.因此教師要在日常的課堂教學(xué)中逐漸引導(dǎo)學(xué)生提升逆向思維的鍛煉，豐富學(xué)生的解題思路.教師利用講解數(shù)學(xué)問題的機(jī)會，讓學(xué)生進(jìn)行逆向思維的練習(xí)，通過不同解題方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生體會從不同角度進(jìn)行思考的差異，靈活選擇解題方法.在數(shù)學(xué)法則內(nèi)容的講解上，教師也可以利用逆向思維，讓學(xué)生對法則公式進(jìn)行不同形式的轉(zhuǎn)換，在探索的過程里能夠同時(shí)掌握到原定理和逆定理等知識.

比如在講解一次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，重點(diǎn)是讓學(xué)生熟悉一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，其中k≠0，x最高次數(shù)是1.如果只是將上述概念生硬地灌輸給學(xué)生，就不能保證學(xué)生的理解程度.這時(shí)教師就可以利用逆向思維，對一次函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行相應(yīng)的變換，引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行探究.問題：y=(a-1)x|a|+2是一次函數(shù)，求a的值.根據(jù)一次函數(shù)的特征，學(xué)生們首先可以明確|a|=1，則a的取值只能是1或者-1，又因?yàn)閍-1≠0，那么很容易可以確認(rèn)a=-1.在解題的過程中，學(xué)生對一次函數(shù)的概念更加清晰，便于以后的學(xué)習(xí)開展.用好逆向思維，可以對教學(xué)產(chǎn)生很大的幫助.

再比如：計(jì)算(2x+3y-4z)2-(2x-3y+4z)2的值.一些學(xué)生看到題目后就拉開架勢分別計(jì)算兩個(gè)括號內(nèi)的結(jié)果，再作減法操作，結(jié)果發(fā)現(xiàn)越做越復(fù)雜，陷入計(jì)算困境.如果對題目進(jìn)行分析后，可以發(fā)現(xiàn)按照平方差進(jìn)行操作，能大大降低解題難度.即

[(2x+3y-4z)+(2x-3y+4z)]

[(2x+3y-4z)-(2x-3y+4z)]

=24xy-32xz.

是否采用逆向思維在該題的解答過程里體現(xiàn)的淋漓盡致，學(xué)生能夠充分理解到逆向思維的有效性，并在今后的學(xué)習(xí)中合理利用.

三、化抽象為具體，在數(shù)形結(jié)合中提升解題效率

作為數(shù)學(xué)知識表現(xiàn)的主要方式，“數(shù)”和“形”互為依托，可以相互轉(zhuǎn)換，促進(jìn)教師的講解和學(xué)生的學(xué)習(xí).當(dāng)單純的數(shù)量關(guān)系問題或者圖形性質(zhì)問題在解題過程中比較難以進(jìn)行時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)”和“形”的轉(zhuǎn)換關(guān)系將問題的表現(xiàn)形式進(jìn)行改變.用圖形來描述數(shù)量關(guān)系，或者用數(shù)量關(guān)系描述圖形.讓學(xué)生在思維空間中用另一個(gè)角度去探究問題的解決方案，在“數(shù)”和“形”之間搭起溝通的橋梁，更加便捷地去理解問題，從而利用掌握的數(shù)學(xué)知識找到答案.

例如：現(xiàn)有50人參加專業(yè)競賽，每人限報(bào)三項(xiàng)，分為文科、理科和專業(yè)組.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示三組參與人數(shù)是20、23和25.已知同時(shí)報(bào)名文理科的人數(shù)是6，同時(shí)報(bào)名文專科的人數(shù)是7，同時(shí)報(bào)名理?？频娜藬?shù)是9.請問同時(shí)報(bào)名三組的人數(shù)是多少？

思考：本題就可以借助圖形將問題進(jìn)行描述，用三個(gè)圓分別代表三個(gè)組別，三個(gè)圓相交的部分就代表同時(shí)報(bào)名三組的人數(shù)，如圖1所示.

再引入集合的概念，可以將問題用如下等式進(jìn)行表述.

A+B+C-(A∩B)-(A∩C)-(B∩C)+(A∩B∩C)=50

代入已知的數(shù)字可以得到(A∩B∩C)=4.即同時(shí)報(bào)名三組的人數(shù)是4.

總結(jié)：上述問題的解答利用到了韋恩圖，能夠幫助學(xué)生避開復(fù)雜的純代數(shù)解決辦法，用一目了然的圖形對問題進(jìn)行描述，方便快捷.

再比如：現(xiàn)有拋物線y2=4x，焦點(diǎn)為F,定點(diǎn)A(2,1),P是拋物線上一點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最小值.

分析：作為解析幾何的拋物線問題，可以利用距離公式函數(shù)進(jìn)行問題的求解.但是結(jié)合中職生的實(shí)際情況和思維發(fā)展，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將上述問題轉(zhuǎn)化為幾何問題進(jìn)行求解，既方便快捷有利于理解，可以開拓學(xué)生的思路.

通過上述幾個(gè)例題的講解，學(xué)生能體會到“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化，互為依托，為問題的求解提供了新穎的思路，對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識有了更加深入的理解.

總之，隨著素質(zhì)教育進(jìn)程的不斷深入，一線中職教師必須及時(shí)更新教學(xué)理念和方法，始終將最有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展、提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果的方法和理念應(yīng)用于課堂教學(xué)中，不斷探尋提升中職數(shù)學(xué)教學(xué)效率的有效途徑.