侯佳儀

【摘要】線性規(guī)劃（Linear programming，LP）是高中數(shù)學的必考內(nèi)容，在實際生產(chǎn)生活中應用十分廣泛，經(jīng)常用于求解問題的最優(yōu)解，以供決策使用。針對線性規(guī)劃在中學生數(shù)學建模中的應用情況，深入探討了中學生數(shù)學建模中的線性規(guī)劃問題的建立與求解技巧，并結(jié)合最近幾年數(shù)學建模題目中有關線性規(guī)劃問題進行了系統(tǒng)性分析，為進一步參加數(shù)學建模大賽奠定理論基礎。

【關鍵詞】數(shù)學建模 線性規(guī)劃 中學生

1引言

當需要量化求解一個實際問題時，首要的便是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而使問題得以合理的描述和有效解決，這便是數(shù)學建模。數(shù)學建模是數(shù)學理論與實際應用之間的一座重要橋梁。數(shù)學建模問題中，有超過半數(shù)屬于優(yōu)化問題，而其中絕大部分又可以近似看成線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是一項應用極其廣泛的數(shù)學模型，在經(jīng)濟、軍事、科研等方面均有重要作用。

本文正是基于對數(shù)學建模的興趣，在充分調(diào)研的基礎上，對數(shù)學建模中的一些常用方法進行總結(jié)與歸納，并重點深入分析線性規(guī)劃在數(shù)學建模中的作用，最后對這些年實際的數(shù)學建模進行了總體分析，以此拓展對數(shù)學建模的理解，為進一步學習數(shù)學理論與數(shù)學應用奠定基礎。

2基本概念

2.1數(shù)學建模

2.1.1數(shù)學建模概況

數(shù)學建模就是對現(xiàn)實生活中所遇到的實際問題加以分析、抽象和簡化，使之成為一個可以刻畫實際問題的數(shù)學模型，進而對其進行求解、分析以及檢驗的過程。所建立的模型可以大致分為以下四種類型：

（1）與數(shù)量有關：如典型的有函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、數(shù)列模型與概率模型。

（2）與形狀相關：如平面幾何模型與立體幾何模型。

（3）與位置相關：如解析幾何模型與極坐標模型。

（4）與最值相關：線性規(guī)劃模型。

針對這四種常見的數(shù)學建模類型題，通常可以有五種解決的方法，分別是：

（1）關系分析法，將實際問題中的數(shù)學關系抽象出來，并對其加以分析和簡化，再進行判斷屬于以上四種類型中的哪一種，進而進行求解。

（2）圖像分析法，是通過借助函數(shù)圖像的方式尋找實際問題中的關系，并通過圖像的變化趨勢確定實際問題的最優(yōu)解，進而實現(xiàn)求解。

（3）數(shù)量關系式，根據(jù)問題中所描述信息列出數(shù)量關系式，并依據(jù)此數(shù)量關系式進行進一步討論、求解問題。

（4）數(shù)學歸納法，先根據(jù)所給信息大致抽象出一般規(guī)律，再證明其正確性并推廣，從而進行求解。

（5）示意圖分析法（常用于分析幾何模型）：抽取出題中所給信息主要內(nèi)容，將問題進行簡化，結(jié)合基本幾何模型進行分析。

2.1.2數(shù)學建模一般步驟

數(shù)學建模不僅是一種競賽，更是在解決實際問題中需要經(jīng)常采用的一種解決策略，因此在實際應用過程中通常都是按照一定步驟按步執(zhí)行，其一般可以描述為圖1所示的步驟。

2.2線性規(guī)劃理論

2.2.1線性規(guī)劃概況

線性規(guī)劃是一種可以輔助人們進行科學管理、科學決策的一種十分有效的數(shù)學方法，主要研究對象是實際問題中存在線性約束關系下，求解一些特定目標值的最優(yōu)解，換言之，是目標函數(shù)極值問題求解的數(shù)學理論與數(shù)學方法，在日常的工程技術（如能耗最小、路程最短）、經(jīng)濟分析（如利潤最高）、經(jīng)營管理（如效率最佳）以及軍事作戰(zhàn)等方面均得到了廣泛有效的應用，最終借助有限的資源實現(xiàn)最優(yōu)的目的，為實際問題提供科學的依據(jù)。其中典型的線性規(guī)劃問題可以如下描述。

2.2.2線性規(guī)劃問題的求解

通過2.2.1對一般線性規(guī)劃問題的描述與建立，根據(jù)實際線性規(guī)劃問題的求解也會按照一定特定的步驟進行求解，如圖2所示，根據(jù)步驟可以得到如圖3所示的平面關系，當然為了作圖方便，圖像中只有兩個因變量，三個及以上的因變量需要借助計算機技術才能得到快速有效解。

3數(shù)學建模中線性規(guī)劃問題分析

從資料調(diào)研來看，高中生、大學生和研究生均有數(shù)學建模大賽，尤其是大學生數(shù)學建模大賽最為激烈，可見該競賽已經(jīng)成為在校學生課外科技活動的重要項目之一。通過對近些年數(shù)學建模大賽的題目分析，其中可以建立線性規(guī)劃模型的占有較大比例，典型的可以歸納為以下幾類。

（1）生產(chǎn)計劃問題。如某年題目就以一個企業(yè)的生產(chǎn)狀況為依托，要求確定各種產(chǎn)品的產(chǎn)量為多少時可以實現(xiàn)企業(yè)收入達到最大。類似問題有很多，如交通調(diào)度等，需要考慮實際社會需要以及企業(yè)自身的生產(chǎn)能力進行模型建立，最終歸咎為線性規(guī)劃問題，進而給出科學合理的決策依據(jù)。

（2）任務分派問題。如一次數(shù)學建模大賽中就提到有若干項任務分配給若干個人去完成，但是每個人有自己的專業(yè)優(yōu)勢，完成每項任務的成本也不一致，遇到這類抽象問題的時候，往往需要進行一定的假設，并按照一定的等級設定相應的數(shù)量，進行線性規(guī)劃建模與求解。

（3）經(jīng)濟最優(yōu)問題。這類問題是最為常見的線性規(guī)劃問題，如有食譜問題、企業(yè)原材料的采購與運輸問題、多種投資組合的決策問題、商店的入貨問題等，需要綜合考慮各種因素，通過對實際問題的分析，建立線性規(guī)劃模型進行求解分析，給出合理的解決方案，實現(xiàn)價值最優(yōu)化。

當然除此之外，還有很多其它問題，如環(huán)境治理等熱點問題均是近些年數(shù)學建模中出現(xiàn)的可以采用線性規(guī)劃方法進行解決的問題。

4結(jié)論

隨著高考的不斷改革，除了傳統(tǒng)的學科競賽項目之外，近些年中學生數(shù)學建模大賽也得到了各方的重視，也許若干年后將會與學科競賽具有一樣的價值。事實上高中生已經(jīng)具備一般的數(shù)學建模知識與技能，無非是潛在要求將知識與實際應用進行有效的結(jié)合，這在一定程度上可以考察發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。而數(shù)學模型的建立與高中所學的函數(shù)理論、線性規(guī)劃、幾何關系等具有十分密切的關系。本文所論述的線性規(guī)劃問題在數(shù)學建模大賽中應用十分廣泛，通過對數(shù)學建模和線性規(guī)劃理論的闡述，并重點闡述了實際的應用問題，需要參賽者賽前得到足夠的重視。在實際參加數(shù)學建模大賽前，需要借助大量的實際應用例子來拓展視野，掌握思路與方法才能對實際問題進行科學合理的建模、求解和分析。

參考文獻：

[1]姜瑋.高中數(shù)學建模中優(yōu)化問題的建模與實現(xiàn)研究[D].華中師范大學，2015.

[2]王云霞.數(shù)學建模方法在高中數(shù)學解題中的探究[D].西北大學，2014.

[3]朱光軍，譚潔群，王云.線性規(guī)劃在數(shù)學建模競賽中的應用[J].廣西大學學報，2008，（s1） ：226.

[4]李小娥.線性規(guī)劃在數(shù)學建模中的應用[J].牡丹江教育學院學報，2015，（5） ：66.

[5]熊楊生.數(shù)學建模在高中線性規(guī)劃問題上的應用[J].知識窗，2011，（9） ：30.