王慶祎 王超

[摘 要]在解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，單位“1”的價(jià)值無(wú)可取代。多數(shù)版本的教材都注重強(qiáng)調(diào)單位“1”在解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題中的作用。教學(xué)單位“1”就是教學(xué)正向思維，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有承前啟后的作用，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)；單位“1”；方程；算術(shù)方法

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）11-0052-02

教學(xué)中，有的教師認(rèn)為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)不需要教單位“1”，只要按照教材引導(dǎo)學(xué)生會(huì)列方程就行了；有的則認(rèn)為方程方法優(yōu)于算術(shù)方法，因此不必溝通二者的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題到底有沒(méi)有必要教學(xué)單位“1”？對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，認(rèn)識(shí)單位“1”到底有多大難度？單位“1”在學(xué)生解決問(wèn)題中到底扮演什么角色？有沒(méi)有教學(xué)的價(jià)值？下面，筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)剬?duì)單位“1”的幾點(diǎn)思考，與同行交流商榷。

一、單位“1”是什么

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題大致可分為兩類，一類是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少；另一類是已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”。但單位“1”的本質(zhì)是什么？通俗地說(shuō)，單位“1”就是題目中數(shù)量之間比較的“標(biāo)準(zhǔn)”，在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，一道題一般只有一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是單位“1”。有了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)量之間的比較才有了統(tǒng)一的尺度。

例如，有50千克蘋(píng)果，梨的質(zhì)量是蘋(píng)果的[45]，香蕉的質(zhì)量是梨的[14]，香蕉有多少千克？這道題中，數(shù)量比較的標(biāo)準(zhǔn)是50千克蘋(píng)果，即整體的單位“1”是50千克蘋(píng)果；至于香蕉的質(zhì)量是梨的[14]，則是把梨看作單位“1”，但這是在50千克蘋(píng)果這個(gè)單位“1”的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的“新標(biāo)準(zhǔn)”，它們本質(zhì)上是一致的。就像長(zhǎng)度單位一樣，先規(guī)定1米的長(zhǎng)度，把1米作為測(cè)量的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，而后把1米平均分成10份，每份是1分米，分米又是一個(gè)新的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。至于在分米的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的厘米，也是以米為基礎(chǔ)的。

教學(xué)的至高境界是能做到深入淺出，面對(duì)不同層次的學(xué)生，教師通過(guò)打比方把抽象的問(wèn)題通俗化、形象化，使教學(xué)內(nèi)容變得簡(jiǎn)單易懂。在教學(xué)單位“1”的概念時(shí)，如果能通過(guò)打比方通俗地告訴學(xué)生單位“1”就是題目中數(shù)量比較的標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解單位“1”，捅破了這層窗戶紙，單位“1”就不再抽象了。

二、為什么需要教學(xué)單位“1”

多數(shù)版本教材都以單位“1”作為解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的重要依托，這樣的安排有著深層次的原因。單位“1”是學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題思維的起點(diǎn)和支點(diǎn)。解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生讀題后首先要解決的就是找到題目中的單位“1”，即以哪個(gè)量作為比較的標(biāo)準(zhǔn)。找到了單位“1”， 解決問(wèn)題也就有了抓手。

例如，有一根繩子，第一次剪去[15]，第二次剪去余下的[15]，兩次相差2米，這根繩子原來(lái)長(zhǎng)多少米？讀題后，先找到單位“1”——這根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度。用方程解法的話，可設(shè)這根繩子原來(lái)長(zhǎng)x米，則第二次剪去余下的[15]，就是x的（1-[15]）的[15]。根據(jù)“兩次相差2米”，不難列出方程[15]x-[15]（1-[15]）x=2。如果用算術(shù)方法，考慮到第二次剪去的是這根繩子（單位“1”）的（1-[15]）的[15]，可求出第二次剪去這根繩子的幾分之幾，列式為（1- [15]）×[15]=[425]。相差的2米正好占這根繩子的[15] - [425]=[125]，那么這根繩子原來(lái)長(zhǎng)2÷[125]=50（米）。

從上面的分析過(guò)程可以看出，不管是算術(shù)方法還是方程方法，單位“1”在解題過(guò)程中的重要性不可忽視，它既是學(xué)生思維的起點(diǎn)又是支點(diǎn)。單位“1”是解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的“牛鼻子”，抓住單位“1”，問(wèn)題解決就會(huì)綱舉目張。

三、如何教學(xué)單位“1”

1.運(yùn)用幾何直觀促進(jìn)學(xué)生理解單位“1”

教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題離不開(kāi)線段圖，畫(huà)線段圖可以把抽象的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)明形象。教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生思考：題目中的單位“1”是誰(shuí)？題目中的數(shù)量都跟單位“1”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比，畫(huà)圖時(shí)肯定要先把標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)出來(lái)，也就是說(shuō)先畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)量單位“1”，再畫(huà)比較量。在多次畫(huà)圖分析問(wèn)題的基礎(chǔ)上，學(xué)生掌握了用線段圖或長(zhǎng)方形直條表征分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法，在解決問(wèn)題時(shí)，就會(huì)通過(guò)想象線段圖入手。不管是動(dòng)手畫(huà)圖，還是直接想象，單位“1”都是學(xué)生思維、圖形表征的抓手。

2.溝通方程與算術(shù)方法的聯(lián)系

對(duì)于求單位“1”的教學(xué)，可先用方程解決，培養(yǎng)學(xué)生用方程解決問(wèn)題的意識(shí)，為以后解決復(fù)雜問(wèn)題積累經(jīng)驗(yàn)，并與后續(xù)學(xué)習(xí)接軌并攏，接著，在方程思維的基礎(chǔ)上滲透算術(shù)方法。為降低思維難度，教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生先正向思考，再逆向思考。

例如，一個(gè)蘋(píng)果質(zhì)量的[58]是180克，這個(gè)蘋(píng)果重多少克？引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)題意正向思考，一個(gè)蘋(píng)果的質(zhì)量×[58]=180，再結(jié)合乘法各部分之間的關(guān)系逆向思考，求單位“1”（蘋(píng)果質(zhì)量）就用180÷[58]，即對(duì)應(yīng)數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率等于單位“1”。

方程思維給算術(shù)方法提供了很好的支撐，這樣的教學(xué)不至于把算術(shù)方法教學(xué)演變成機(jī)械記憶，順逆之間，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解具體而深刻，兩種方法相互貫通、相互融合，相得益彰。

3.方程和算術(shù)方法各有優(yōu)勢(shì)

面對(duì)求單位“1”的問(wèn)題，運(yùn)用正向思維找出等量關(guān)系再列出方程，在一定程度上降低了思維難度，尤其是面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，方程的優(yōu)越性尤為突出。但大多數(shù)學(xué)生不愿意用方程，他們覺(jué)得用方程要寫(xiě)解設(shè)，且解方程的過(guò)程比較麻煩。在充分理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)方程的思路倒推，舍去了方程中很多繁雜的東西，直接用算術(shù)方法解決問(wèn)題，充分體現(xiàn)了學(xué)生追求簡(jiǎn)潔、刪繁就簡(jiǎn)的認(rèn)知心理。

算術(shù)思維是逆向思維，如果把方程和算術(shù)方法比作走路，那么方程思維就是向前走，而算術(shù)思維就是倒著走。向前走難度小，倒著走難度大，毋庸置疑。既然這樣，學(xué)生為什么還偏好于算術(shù)方法呢？原因在于，小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單，這時(shí)逆向思維就相當(dāng)于只倒著走幾步，完全沒(méi)有問(wèn)題。但如果路程遠(yuǎn)了、道路坎坷了，倒著走就不那么容易了。在教學(xué)單位“1”時(shí)，很多教師會(huì)不自覺(jué)地總結(jié)一些方法。比如，“對(duì)應(yīng)數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率等于單位‘1”。如果這是建立在學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上的話完全可以，但如果是機(jī)械記憶，就會(huì)限制學(xué)生思維發(fā)展。其實(shí)，方程與算術(shù)方法各有千秋，并無(wú)優(yōu)劣之分。如“果園里有桃樹(shù)300棵，是蘋(píng)果樹(shù)的[34]，梨樹(shù)是蘋(píng)果樹(shù)的[35]。梨樹(shù)有多少棵”這道題就需要先求單位“1”，再求單位“1”的幾分之幾是多少，比較適合用算術(shù)方法。

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題到底用不用強(qiáng)調(diào)單位“1”，可能是仁者見(jiàn)仁智者見(jiàn)智。但筆者認(rèn)為，一切教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)服務(wù)于學(xué)生的學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生更簡(jiǎn)單、高效地學(xué)習(xí)為目標(biāo)，任何脫離學(xué)生實(shí)際的創(chuàng)新都將成為無(wú)本之木、無(wú)源之水。

（責(zé)編 李琪琦）