凌劍榮

【摘 要】本文從無(wú)限分割，引入極限思想和問(wèn)題轉(zhuǎn)變思想，論述運(yùn)用微元解題的基本方法，以提升學(xué)生對(duì)概念和公式的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中物理 極限思想 微元方法 解題策略

【中圖分類號(hào)】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）12B-0113-02

微元法是一種在高中物理學(xué)中比較常見(jiàn)的解題方法，其主要思想是將研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)“微元”，然后先著重分析每個(gè)微元的特征和遵循的規(guī)律，再將其合并在整體的研究對(duì)象之中，其研究過(guò)程遵循從局部到整體的思維順序。應(yīng)用微元法，教師能夠在最大限度上提升課堂教學(xué)實(shí)效，并且在某種程度上增強(qiáng)學(xué)生的思維嚴(yán)密性，促進(jìn)學(xué)生物理思維能力的發(fā)展。因此，本文將從分割和極限思想的引入，以及微元法的實(shí)際應(yīng)用方式這兩個(gè)方面詳細(xì)闡述微元法在教學(xué)中的具體應(yīng)用。

一、無(wú)限分割，引入極限思想

如果想徹底掌握并靈活運(yùn)用微元法，那么必須要先了解極限思想。因?yàn)樵谑褂梦⒃ǖ倪^(guò)程中，第一個(gè)步驟便是先將研究對(duì)象分成無(wú)限多個(gè)微元，“無(wú)限”二字說(shuō)明了分割后的研究對(duì)象應(yīng)當(dāng)是極其微小的。在掌握了這個(gè)思想后，現(xiàn)階段物理學(xué)中的很多問(wèn)題都能夠被有效解釋和深入理解。這樣學(xué)生就能夠更好地理解相關(guān)物理規(guī)律，在做題時(shí)候能夠更加靈活應(yīng)用。具體地說(shuō)，極限思想主要體現(xiàn)在用等效替代理解瞬時(shí)速度、用面積輔助以計(jì)算變速位移和用剖析本質(zhì)以助力公式推導(dǎo)這三個(gè)方面。

（一）等效替代，理解瞬時(shí)速度。在高中物理中，有很多與“瞬時(shí)”相關(guān)的概念，比如，瞬時(shí)速度、瞬時(shí)位移和瞬時(shí)加速度等，學(xué)生在剛接觸這些概念時(shí)可能會(huì)感到非常困難，不知道該從什么角度去理解這個(gè)“瞬時(shí)”的概念。在這種情況下，教師就可以通過(guò)極限思想的引入來(lái)加深學(xué)生對(duì)與“瞬時(shí)”這個(gè)概念相關(guān)的問(wèn)題的認(rèn)知。這不僅能夠加深學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的印象，而且能夠?yàn)閷W(xué)生日后運(yùn)用微元法解題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

比如，在教學(xué)人教版高中物理必修 1 的“運(yùn)動(dòng)快慢的描述—— 速度”這一部分的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生第一次接觸到“瞬時(shí)速度”這個(gè)概念。在此之前，學(xué)生所提到的速度應(yīng)該都是指的平均速度，即在一段時(shí)間內(nèi)的速度。平均速度只能夠代表研究對(duì)象在一定時(shí)間內(nèi)的粗略速度，用公式表示是? 或者 ，此時(shí)，如果將 ?t 變得無(wú)限小，那么與之相關(guān)的 ?s 也將無(wú)限小，這樣二者的比值即是瞬時(shí)速度。在這樣的極限思想下，學(xué)生能夠深刻理解并全面掌握“瞬時(shí)速度”這個(gè)概念。除此之外，教師在教學(xué)瞬時(shí)加速度和瞬時(shí)位移等概念時(shí)都可以按照這種思路進(jìn)行教學(xué)。在這種等效替代的概念下，學(xué)生能夠借助微元法更加高效地理解這些瞬時(shí)概念，并在做題時(shí)將其靈活應(yīng)用，切實(shí)提升解題實(shí)效，提升學(xué)科知識(shí)水平。

（二）面積輔助，計(jì)算變速位移。極限思想還能夠在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的輔助下幫助學(xué)生理解更多的有關(guān)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，比如，借助矩形面積，極限思想能夠在計(jì)算勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)發(fā)揮重要的作用。比如，在教學(xué)人教版高中物理必修 1 的“勻變速直線運(yùn)動(dòng)”這一部分的內(nèi)容時(shí)，在考慮勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)，學(xué)生不能夠用常規(guī)的方式對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)槠洳皇莿蛩龠\(yùn)動(dòng)，所以必須尋求其他方法。這時(shí)極限思想就發(fā)揮了它的作用。在“v—t”坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸圍成的面積即為位移。如果能夠?qū)M坐標(biāo)時(shí)間分為無(wú)限多份，那么其對(duì)應(yīng)的梯形便可近似看為直角梯形，這樣再將這無(wú)數(shù)多個(gè)微元結(jié)合起來(lái)便可得到勻加速直線位移公式 。在這種情況下，如果能夠?qū)r(shí)間分割到無(wú)限小，那么我們之前假設(shè)的理想運(yùn)動(dòng)就代表了研究對(duì)象實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況，其位移也能夠通過(guò)這種方法巧妙求出。

（三）剖析本質(zhì)，助力公式推導(dǎo)。在高中物理學(xué)中，學(xué)生不可避免地要接觸各種各樣的物理公式，這些公式往往都是相互關(guān)聯(lián)、一環(huán)套一環(huán)的，如果學(xué)生對(duì)其中某個(gè)公式掌握得不太徹底那么勢(shì)必將影響學(xué)生的整體認(rèn)知能力水平的提升。因此，教師在教學(xué)每一個(gè)公式的時(shí)候都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到相關(guān)本質(zhì)，使學(xué)生能夠知其然，更能夠知其所以然，這樣學(xué)生才能夠牢牢掌握知識(shí)鏈的每個(gè)環(huán)節(jié)。在這個(gè)過(guò)程中，極限思想能夠起到非常重要的作用。

比如，在教學(xué)人教版高中物理必修 1 的“功”這一部分的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道如果物體沿斜面下滑，那么當(dāng)斜面高度為 h 時(shí)，其重力做功為 mgh。但是如果將斜面換成彎曲路徑，那么公式 W=mgh 是否還能夠成立呢？帶著這一疑問(wèn)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將彎曲路徑分為無(wú)限多份，這樣其中的每一份都可被當(dāng)作一個(gè)斜面，都可應(yīng)用公式 ?W=mg?h。如果再將這無(wú)限多個(gè)微元對(duì)象結(jié)合起來(lái)，那么便可以得到在任意一個(gè)彎曲路徑的斜面上公式 W=mgh 都是成立的這個(gè)結(jié)論。同樣的，學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中也能夠?qū)⑦@個(gè)公式應(yīng)用于更多的恰當(dāng)?shù)那闆r。

借助極限思想，瞬時(shí)速度的概念能夠被等效替代，使學(xué)生能夠更好地理解“瞬時(shí)”二字的含義;借助極限思想，學(xué)生還能夠從全新的角度去計(jì)算變速位移，以此不斷深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu);借助極限思想，學(xué)生還能夠更加深刻地認(rèn)識(shí)到一些問(wèn)題的本質(zhì)，這樣其在進(jìn)行公式推導(dǎo)時(shí)也會(huì)更加順暢。極限思想對(duì)于學(xué)生運(yùn)用微元法進(jìn)行解題來(lái)說(shuō)，是非常必要的。

二、問(wèn)題轉(zhuǎn)變，運(yùn)用微元解題

在運(yùn)用微元法的時(shí)候，有一個(gè)關(guān)鍵的訣竅便是要“變”。這一個(gè)“變”字蘊(yùn)含的學(xué)問(wèn)很深，如何轉(zhuǎn)變，向怎樣的方向轉(zhuǎn)變是解題的一個(gè)非常重要，也是一個(gè)非常值得思考的問(wèn)題。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者總結(jié)出以下三個(gè)轉(zhuǎn)變方法，即模型轉(zhuǎn)變，高效求解;過(guò)程轉(zhuǎn)變，化變?yōu)楹?知識(shí)延伸，升華認(rèn)知。實(shí)踐證明，運(yùn)用這三種方式能夠解決絕大部分的相關(guān)問(wèn)題。

（一）模型轉(zhuǎn)變，高效求解。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。因?yàn)閷W(xué)生如果能夠靈活掌握某種模型那么就可以解決和這個(gè)模型相關(guān)的一類問(wèn)題。在運(yùn)用微元法解題時(shí)，教師可以通過(guò)模型轉(zhuǎn)變的方式讓學(xué)生靈活地將已學(xué)過(guò)的理論知識(shí)和模型結(jié)合起來(lái)，解決更多的物理問(wèn)題，將教學(xué)效益最大化，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中更加輕松愉悅。

比如，在教學(xué)人教版高中物理選修 1-1 的“電場(chǎng)”這一部分的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了點(diǎn)電荷的物理模型，明確了點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ，但是如果對(duì)其他模型，比如“半徑為 R 電量為 Q 的均勻分布的圓環(huán)模型的距離為 x 處的電場(chǎng)強(qiáng)度”時(shí)，那么這個(gè)問(wèn)題又該何解呢？這時(shí)教師就可以有效引導(dǎo)學(xué)生利用微元法將模型進(jìn)行轉(zhuǎn)變。我們可將帶電圓環(huán)看作無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)電荷的結(jié)合，在距離圓環(huán)中心 x 處的電場(chǎng)強(qiáng)度便是這無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度的合成。根據(jù)受力關(guān)系可知其在豎直方向的場(chǎng)強(qiáng)能夠相互抵消，其在水平方向的電場(chǎng)強(qiáng)度在疊加后應(yīng)該是 。

（二）過(guò)程轉(zhuǎn)變，化變?yōu)楹?。在高中物理學(xué)中，有些變化類的問(wèn)題處理起來(lái)相對(duì)較為困難，這時(shí)如果能夠借助微元法將其轉(zhuǎn)換為恒定問(wèn)題，那么處理起來(lái)相對(duì)會(huì)較為容易一些。學(xué)生如果能夠靈活掌握這類問(wèn)題模型，那么在處理變力做功等問(wèn)題上將會(huì)取得巨大的突破，其學(xué)科思維能力也會(huì)因此而得到飛速提升。

比如，在教學(xué)人教版高中物理必修 2 的“圓周運(yùn)動(dòng)”這一部分的內(nèi)容時(shí)，有這樣一道例題：“用一個(gè)大小恒為 F 方向始終沿運(yùn)動(dòng)的切線方向的力拉著一個(gè)物體做半徑為 R 的圓周運(yùn)動(dòng)，求這個(gè)力的做功情況?！痹谶@道題目中，由于力 F 的方向時(shí)刻變化，所以其是變力做功問(wèn)題，需要我們利用微元法來(lái)將其有效轉(zhuǎn)換為恒力做功問(wèn)題。首先，我們需要將其運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為無(wú)限多個(gè)微元，這樣每個(gè)微元的做功情況可視為恒力做功;其次，將這些恒力做的功匯總到一起，便可知題中的做功總和應(yīng)為 W=2πRF。在這道題目中，我們通過(guò)運(yùn)用微元法，巧妙地將一個(gè)變化的力的做功問(wèn)題轉(zhuǎn)換為恒力做功問(wèn)題，使學(xué)生更好地解決問(wèn)題，掌握方法。這樣學(xué)生在處理這類問(wèn)題時(shí)就能夠直接運(yùn)用相關(guān)結(jié)論，解題效率自然會(huì)得以提升。

（三）知識(shí)延伸，升華認(rèn)知。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)充分認(rèn)識(shí)到，開(kāi)闊學(xué)生的視野使其認(rèn)知能力不斷得到升華是非常重要的。因此，教師在教學(xué)時(shí)不應(yīng)當(dāng)局限于課本中的內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)盡可能地著眼于未來(lái)，為學(xué)生擴(kuò)充知識(shí)，使其能夠以一個(gè)科學(xué)家的思維和視野去看待相關(guān)物理問(wèn)題，這樣學(xué)生才能夠真正向著理論知識(shí)能力和科學(xué)實(shí)踐技能全面發(fā)展的方向不斷進(jìn)步，才能夠真正成長(zhǎng)為全面發(fā)展的綜合性人才。

比如，在教學(xué)人教版高中物理選修 1-1 的“交變電流”這一部分的內(nèi)容時(shí)，教材中很明確地給出了正弦電流和電壓的最大值和有效值之間的關(guān)系為 ，。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生只是知道這個(gè)結(jié)論，并不知道這個(gè)結(jié)論是如何得出的。如果想要深入探究這個(gè)結(jié)論的由來(lái)，需要教師結(jié)合微積分的相關(guān)知識(shí)為學(xué)生進(jìn)行科普。首先計(jì)算正弦電流在一個(gè)周期 T 時(shí)間內(nèi)的熱量，將時(shí)間分為無(wú)限多個(gè)微元，每段時(shí)間為 ?t，則 ;再將最大值和有效值的熱量情況進(jìn)行等效可得 ，這樣學(xué)生便可很容易地得出 ， 的結(jié)論了。

由此可見(jiàn)，應(yīng)用微元法能夠給學(xué)生的解題帶來(lái)極大的便利。更重要的是它還能夠讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變思想，使其能夠?qū)?fù)雜的難以解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的能夠用所學(xué)的學(xué)科理論知識(shí)解答的問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生的認(rèn)知能力水平和學(xué)科思維水平都能夠得到顯著的提升。在這種前提下，我們教學(xué)工作的開(kāi)展過(guò)程將會(huì)更加順利，學(xué)生的物理思維能力也會(huì)得到極大的增強(qiáng)。

總之，通過(guò)引入微元法的相關(guān)思想，教師能夠巧妙地將復(fù)雜的物理問(wèn)題簡(jiǎn)單化、將抽象的物理問(wèn)題具象化、將分散的物理問(wèn)題系統(tǒng)化，使學(xué)生能夠掌握解決這類問(wèn)題的通用思維模式。當(dāng)學(xué)生再遇到與此相關(guān)的問(wèn)題時(shí)就能夠快速采取合適的微元模型進(jìn)行求解，不僅節(jié)約了解題時(shí)間提升了解題效率，更是給予了學(xué)生更多的信心使其能夠以更加飽滿的熱情和姿態(tài)投入到物理學(xué)科的學(xué)習(xí)之中，使其整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程形成良性循環(huán)，提升學(xué)習(xí)成績(jī)。

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（責(zé)編 盧建龍）