摘要：筆者認(rèn)真研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，根據(jù)自己的理解提出了若干商榷意見.

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn);數(shù)學(xué)史;復(fù)數(shù)的產(chǎn)生;商榷

筆者研讀了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《2017版課標(biāo)》），現(xiàn)對(duì)該書提出若干商榷，不當(dāng)之處，敬請讀者批評(píng)指正.

1《2017版課標(biāo)》第5頁對(duì)核心素養(yǎng)“邏輯推理”的論述值得商榷

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（以下簡稱《選修2-3》）第78頁的腳注是“演繹推理又稱為邏輯推理.

《選修2-3》第81頁寫到：

至此，我們學(xué)習(xí)了兩種推理方式——合情推理與演繹推理.

思考：合情推理與演繹推理的主要區(qū)別是什么？

歸納和類比是常用的合情推理.從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理;而濱繹推理是由一般到特殊的推理.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.

人們在認(rèn)識(shí)世界的過程中，需要通過觀察、實(shí)驗(yàn)等獲取經(jīng)驗(yàn);也需要辨別它們的真?zhèn)?，或?qū)⒎e累的知識(shí)加工、整理，使之條理化、系統(tǒng)化.合情推理和演繹推理分別在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中扮演著重要角色.

就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理.因此，我們不僅要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想.

《2017版課標(biāo)》第5頁對(duì)核心素養(yǎng)“邏輯推理”的論述是：

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).

邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流.

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問題;能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò);形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力.

因而，筆者對(duì)《2017版課標(biāo)》第5頁的以上論述有以下商榷：

因?yàn)椤?017版課標(biāo)》第5頁的以上論述中的“邏輯推理”的內(nèi)容既包含了演繹推理（即邏輯推理），又包含了合情推理，所以建議把《2017版課標(biāo)》第5頁的以上論述中的“邏輯推理”（共5處）均改為“數(shù)學(xué)推理”，還應(yīng)去掉“是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證”這句話（因?yàn)楹锨橥评聿荒鼙ＷC得到的數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性）.

2《2017版課標(biāo)》第19頁第9行中的“實(shí)數(shù)集合”應(yīng)作改動(dòng)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·必修1·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）第2頁寫到“一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）”，第3頁又寫到“全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R”.

由此論述，可知“實(shí)數(shù)集合”就是實(shí)數(shù)集，也就是R.

《2017版課標(biāo)》第19頁第8，9行寫到“也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”.

既然“實(shí)數(shù)集合”就是R，所以應(yīng)把“也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”這句話中的“實(shí)數(shù)集合”改為“數(shù)集（這里的數(shù)是實(shí)數(shù)）”.

3《2017版課標(biāo)》第22頁對(duì)核心素養(yǎng)“適輯推理”的論述值得商榷

《2017版課標(biāo)》第22頁第一段話是：

③結(jié)合具體實(shí)例，了解7的實(shí)際意義;能借助圖象理解參數(shù)的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·必修4·A版》（人民教育出版社，2007年第2版））第54頁寫到：

現(xiàn)在，我們再次回到本章開頭提到的“簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象”.可以證明，這個(gè)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式有如下形式：

4建議把《2017版課標(biāo)》第22頁倒數(shù)第1行中的“并會(huì)畫程序框圖”刪去

《2017版課標(biāo)》第22頁倒數(shù)第1行寫到“探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖”.

程序框圖是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·必修3·A版》（人民教育出版社，2007年第3版））第一章第一節(jié)“1.1算法與程序框圖”中的內(nèi)容，但這部分內(nèi)容在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中已刪除，所以建議把《2017版課標(biāo)》第22頁倒數(shù)第1行中的“并會(huì)畫程序框圖”刪去.

5建議指出《2017版課標(biāo)》第28頁的基本事實(shí)4是可以證明的

《2017版課標(biāo)》第28頁寫到：

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.（該頁的腳注還寫到“基本事實(shí)1～4也稱公理”.）

公理應(yīng)盡可能的少，但為了教學(xué)的需要，也可適當(dāng)增加公理（這樣就減少了對(duì)該“公理”的證明）.可能很多高中師生并不知曉以上基本事實(shí)4是可以證明的，詳見甘志國著《初等數(shù)學(xué)研究（I）》（哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008）第506頁，因而建議指出《2017版課標(biāo)》第28頁的基本事實(shí)4是可以證明的.

6建議把《2017版課標(biāo)》第28，29頁的若干結(jié)論改述

《2017版課標(biāo)》第28，29頁給出了下面的若干結(jié)論：

?一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

?兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

?兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

?如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

?如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

建議把這5個(gè)結(jié)論作以下改述（改述后更順暢）：

?如果一條直線與一個(gè)平面平行，且過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

?如果兩個(gè)平面互相平行，且第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面均相交，那么得到的兩條交線平行.

?如果兩個(gè)平面互相垂直，且其中的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

?如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行.

?如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.

7建議把《2017版課標(biāo)》第38頁第16，23行中的“數(shù)列”均改為“數(shù)列的項(xiàng)”

《2017版課標(biāo)》第38頁第16行寫到“③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系”，第23行寫到“③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系”，建議把這里的“數(shù)列”均改為“數(shù)列的項(xiàng)”.

8建議把《2017版課標(biāo)》第45頁第7行中的“兩點(diǎn)決定一條直線”改為“兩點(diǎn)確定一條直線”

9建議把《2017版課標(biāo)》第46頁第1行中的第二個(gè)“建立”改為"求出”

《2017版課標(biāo)》第46頁頭兩行寫到“能夠根據(jù)不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”，建議把第二個(gè)“建立”改為“求出”，因?yàn)椤敖⒎匠獭辈煌?

10對(duì)《2017版課標(biāo)》第122頁第5行敘述的疑問

《2017版課標(biāo)》第122頁“案例10復(fù)數(shù)的引入”中寫到（見該頁第5～7行）：

在古希臘學(xué)者丟番圖時(shí)代，人們已經(jīng)知道一元二次方程式有兩個(gè)根，但其中有一個(gè)根為虛數(shù)時(shí)，寧可認(rèn)為方程不可解.直到16世紀(jì)，人們普遍認(rèn)同丟番圖的辦法.

關(guān)于這段話，筆者有以下疑問：

（1）筆者查閱了搜狗百科“一元二次方程”（https：//baike.sogou.com/v2785371.htm），其中有以下敘述：

古希臘的丟番圖（Diophantus，246～330）在解一元二次方程的過程中，卻只取二次方程的一個(gè)正根，即使遇到兩個(gè)都是正根的情況，他亦只取其中之一.

公元820年，阿拉伯的阿爾·花剌子模（al-Khwarizmi，780?810）出版了《代數(shù)學(xué)》.書中討論了方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認(rèn)一元二次方程有兩個(gè)根，并有無理根存在，但卻沒有虛根的認(rèn)識(shí).

汪曉勤、韓祥臨編著《中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史》（北京：科學(xué)出版社，2002）第67-69頁的內(nèi)容也與以上搜狗百科“一元二次方程”中的以上論述一致，這說明丟番圖時(shí)代是不會(huì)認(rèn)識(shí)到“一元二次方程有一個(gè)根為虛數(shù)”的.

另外，“直到16世紀(jì)，人們（才）普遍認(rèn)同丟番圖的辦法”這句話中的“丟番圖的辦法”是什么辦法，在案例10中也至始至終沒有介紹.

2018年14月3日晚上10：34，筆者把此想法詢問了李尚志教授（1947～，原中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)系主任，北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院院長），先生于次日早上7：52回復(fù)如下：

你的意見是對(duì)的.丟番圖時(shí)代不可能認(rèn)識(shí)到一元二次方程有虛根.不是“寧可認(rèn)為方程不可解”，而是確實(shí)認(rèn)為方程不可解，沒想到方程還有解.正如課標(biāo)這一段所說，首次認(rèn)識(shí)到應(yīng)該有虛數(shù)的是卡丹.如果不承認(rèn)-1有平方根，三次方程本來有三個(gè)實(shí)根的情況都變成沒有根了，而通過虛數(shù)可以求出這三個(gè)實(shí)根.就好比你旁邊有條河，認(rèn)為河就是世界邊界，河那邊的風(fēng)景都是虛幻的.但自己這岸有一個(gè)懸崖，無路可下去，但可以看見懸崖下面的人的生活，也可以與他們說話.結(jié)果有人過河從河對(duì)岸回到自己這岸到了懸崖下，就足夠說明河對(duì)岸不是虛幻.

不過，課標(biāo)也是人編出來的，考慮不周說了錯(cuò)話也很正常.寫這段話的人自己知道二次方程可以有虛根，潛意識(shí)就認(rèn)為古人也應(yīng)該知道.

由“在古希臘學(xué)者丟番圖時(shí)代，人們已經(jīng)知道一元二次方程式有兩個(gè)根，但其中有一個(gè)根為虛數(shù)時(shí)，寧可認(rèn)為方程不可解”可知，在丟番圖時(shí)代，人們還沒有承認(rèn)虛數(shù)，所以這時(shí)的一元二次方程的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，因而其有虛根時(shí)，兩個(gè)根都是虛根.

因而，建議把這段話中的“一元二次方程式”“其中有一個(gè)根為虛數(shù)”分別改為“一元二次方程”“根為虛數(shù)”.

應(yīng)如何修訂《2017版課標(biāo)》第122頁第5行這段話，我們期待著有關(guān)專家盡早發(fā)表意見.

11建議把《2017版課標(biāo)》第122頁正文倒數(shù)第5，4行中的“歐拉第一個(gè)使用符號(hào)〖表示虛數(shù)”中的“虛數(shù)”改為“虛數(shù)單位”

12建議把《2017版課標(biāo)》第160頁第7，8行作改動(dòng)

建議把《2017版課標(biāo)》第160頁第7，8行中的“位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上），夏至那天正午立桿無影”改為“夏至那天，在塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上，這里有位于尼羅河的第一瀑布）正午立桿無影”.