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        有關(guān)拋物線弓形面積的結(jié)論及其應(yīng)用

        2019-04-18 13:12:12鄭金
        理科考試研究·高中 2019年2期
        關(guān)鍵詞:弓形拋物線面積

        鄭金

        摘要:利用數(shù)學(xué)和物理知識推導(dǎo)有關(guān)拋物線任意弓形的內(nèi)接最大三角形的中線數(shù)學(xué)性質(zhì);利用拋物線的對稱弓形面積的結(jié)論推導(dǎo)任意弓形面積的結(jié)論,以巧妙解答文中物理競賽題.

        關(guān)鍵詞:拋物線;弓形;面積

        利用拋物線對稱弓形面積的結(jié)論和拋物線任意弓形的內(nèi)接最大三角形的中線結(jié)論可以巧妙證明拋物線任意弓形面積的結(jié)論;反之,利用拋物線任意弓形面積的結(jié)論很容易得出對稱弓形面積的結(jié)論,如圖1所示,拋物線的對稱弓形AOB,外切矩形ABCD,在直角坐標(biāo)系中寫出拋物線方程y=ax2,設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),可知曲邊直角三角形10CB的面積為S[=S*ax2dx=一ax3|o*0=3axn=-Yoxo,即等于象限矩形OCBE面積的三分之一,那么對稱弓形面積等于外切矩形面積的三分之二.若作線段AO、BO,可知內(nèi)接最大三角形AOB的面積等于外切矩形面積的一半.

        結(jié)論1拋物線上的對稱弓形面積等于外切矩形面積的2/3,等于內(nèi)接最大三角形面積的4/3

        如果拋物線弓形不是對稱弓形,而是任意弓形,那么其面積是否等于外切矩形面積的三分之二呢?

        首先利用物理知識證明拋物線的一個(gè)性質(zhì):對于拋物線.上的任意弓形,內(nèi)接最大三角形的一條中線平行于對稱軸.

        對于質(zhì)點(diǎn)的豎直上拋運(yùn)動(dòng),整個(gè)過程為勻減速直線運(yùn)動(dòng),位移公式為y=Upt一gt2,其圖象如圖2所示.作傾斜的弦AB,其斜率的絕對值表示這段時(shí)間內(nèi)的平均速度大小;作切線平行于弦,切線斜率的絕對值表示瞬時(shí)速度的大小,而且等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度大小,因此切點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示瞬時(shí)速度與這段時(shí)間內(nèi)的平均速度相等的時(shí)刻.根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)在一段時(shí)間中點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度可知,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是這段時(shí)間的中間時(shí)刻,那么過切點(diǎn)與弦的中點(diǎn)的直線恰好在梯形的中位線上,必然平行于拋物線的對稱軸.

        結(jié)論2對于拋物線上的任意弓形,若切線平行于弦,則過切點(diǎn)與弦的中點(diǎn)的直線平行于對稱軸,或者說,拋物線弓形的內(nèi)接最大三角形的一條中線平行于對稱軸.

        利用_上述結(jié)論和解析幾何知識可推導(dǎo)拋物線上的任意弓形面積與內(nèi)接最大三角形面積的數(shù)量關(guān)系,2

        設(shè)拋物線方程為y=ax2(a>0),圖象如圖3所示,可知弦AB與橫軸圍成梯形的面積為:

        S[=t(cax[+ax2)(x1-x2)2322=一axi-x2)+ia(x2x1-x122)22

        拋物線與橫軸圍成的兩個(gè)曲邊三角形的面積為:

        S2=2133**axi+lx1ax=a(-4)3

        可知拋物線弓形的面積為:

        S=S,-S,=一ax26l-x2)

        線段AB即內(nèi)接三角形一條邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為:

        22、xC二一(x[+x2),Yc=Ta(x[+x2)22

        由于拋物線的弓形內(nèi)接最大三角形的中線CD平行于對稱軸,則對應(yīng)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:

        y=(3x1x7++}x)p=r((

        三角形中線的長度為.d=2)(x1-x2)232

        由于中線垂直于x軸,則內(nèi)接最大三角形面積為:

        S=2)(x1-x2)2322=一axi-x2)+i

        所以弓形面積與最大三角形面積之比為

        由于弓形的外切矩形面積等于內(nèi)接最大三角形面積的2倍,因此弓形面積等于外切矩形面積的2/3.

        結(jié)論3拋物線上的任意弓形面積等于以弦為一條邊的外切矩形面積的2/3,等于以弦為底邊的內(nèi)接最

        大三角形面積的4/3.

        這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論簡單易記,而且推導(dǎo)方法很巧妙,關(guān)鍵是利用物理知識推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論2,從而由特殊結(jié)論得出—般結(jié)論,更有助于對特殊結(jié)論的深化理解和強(qiáng)化記憶至此,特殊結(jié)論與一般結(jié)論可合二為一,即拋物線弓形面積等于外切矩形面積的三分之二。下面利用拋物線弓形面積的結(jié)論來解答以下物理競賽題.

        例1如圖4所示,一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的滑塊處于場強(qiáng)按E=E,-ht(E.、h均為大于零的常數(shù),取水平向左為正方向)變化的電場中,滑塊與豎直絕緣墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,當(dāng)t=0時(shí),滑塊處于靜止?fàn)顟B(tài).若滑塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,且電場空間和墻面均足夠大,不計(jì)滑塊與墻壁摩擦過程中損失的電量,試求:(1)滑塊何時(shí)開始下滑?何時(shí)開始離開墻壁?(2)滑塊運(yùn)動(dòng)的最大速度是多少?(3)滑塊沿墻壁運(yùn)動(dòng)的最大位移是多少?

        解析(1)當(dāng)t=0時(shí),滑塊處于靜止?fàn)顟B(tài),在開始一段時(shí)間內(nèi)滑塊與墻壁之間的彈力較大,不會(huì)下滑;當(dāng)場強(qiáng)減小到某一值時(shí),在tn時(shí)刻開始下滑;當(dāng)場強(qiáng)繼續(xù)減小到零時(shí),在tr時(shí)刻滑塊將離開墻壁.

        ty時(shí)刻滑塊受到墻壁的彈力為Fv=F。=qE=q(E,-ht)

        當(dāng)摩擦力跟重力平衡時(shí),滑塊開始下滑,利用mg.=uFv可得么_MLEn-m,,此時(shí)滑塊的速度為零.

        (2)由于滑塊加速下滑,則在時(shí)刻t2的速度最大.設(shè)某時(shí)刻t,物塊的加速度為a,此時(shí)彈力為N=qE=q(E,-kht),由牛頓第二定律有mg-μN(yùn)=ma,可知瞬時(shí)加速度為a_thqt+mg-μqE

        加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Ot=t-t,初速度為零,由勻加速運(yùn)動(dòng)的速度公式可得在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度為:

        (3)速度與時(shí)間的關(guān)系式為v=At2+Bt+C,這是關(guān)于時(shí)刻t的一元二次函數(shù),可知速度圖象為開口向上的拋物線.由于物塊在加速運(yùn)動(dòng)過程中的速度大于零,而且初速度和開始時(shí)的加速度都為零,因此拋物線的頂點(diǎn)必與橫軸相切,或者根據(jù)判別式△=B2-4AC=0來判斷拋物線的頂點(diǎn)與橫軸相切,則對稱軸的坐標(biāo)為t=t,或t=25_-B2A_μqE,-mgμkq=ti.速度圖象如圖5所示.

        在時(shí)刻t,到tr這段時(shí)間內(nèi),滑塊的位移在數(shù)值上等于圖象與橫軸圍成圖形的面積,即為曲邊三角形Pt2z的面積,其底邊長為Ot=tz-tp=mgμkq,可知圖形的面積即滑塊的位移為:

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