馮莉莉 盛鐵軍

【摘要】 混沌與分形是20世紀(jì)一個新興的學(xué)科理論，分形和混沌在很多自然學(xué)科和人文學(xué)科被普遍發(fā)現(xiàn)，非線性科學(xué)有了相當(dāng)大的突破.本文主要介紹了分形與混沌的產(chǎn)生背景，以及分形與混沌的特征，分別對分形與混沌舉出例子，對分形與混沌的相關(guān)性進(jìn)行了簡單介紹.

【關(guān)鍵詞】 混沌;分形;相關(guān)性

一、

（一）分形的定義

分形的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家Mandelbrot首先提出的.分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何學(xué)，我們都知道線是一維的，面是二維的，立體圖形是三維的，分形理論更加趨近復(fù)雜系統(tǒng)的描述（也就是分?jǐn)?shù)維情況），更加符合客觀事物的多樣性與復(fù)雜性.1967年，Mandelbrot在論文中說道，海岸線是不規(guī)則的，并且具有極其復(fù)雜的變化，用一把直尺去測量海岸線的長度，只能用直線來得出近似值，當(dāng)用更小的直尺去測量細(xì)小之處，并且這些地方也是曲線.1975年，他創(chuàng)立了分形幾何學(xué)（Fractal Geometry）.在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱為分形理論.但到目前為止還沒有明確的定義.

（二）分形的特征

稱集F是分形，則F具有下列性質(zhì)：

1.F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，也就是說有人以小比例的細(xì)節(jié).

2.F是不規(guī)則的，以至于不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述.

3.局部和整體的自相似性，可能是近似的或是統(tǒng)計的.

4.維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)，并且大于它的拓?fù)渚S數(shù).

5.分形雖然具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，但是以簡單的方法定義，可能由迭代產(chǎn)生.

（三）分形的例子

Koch曲線：1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯赫構(gòu)造了“Koch曲線”幾何圖形.Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維.

Koch曲線的生成過程：三次Koch曲線的構(gòu)造過程主要分為三步：第一步，畫出一個初始圖形——一條線段;第二步，將這條線段的中間 1 3 處向外折起;第三步，按照第二步的方法依次把各段線段中間的 1 3 處向外折起.

其圖構(gòu)造過程如右圖所示（迭代了5次的圖形）.這樣無限的進(jìn)行下去，最終即可構(gòu)造出Koch曲線.

其實分形的例子還有很多，如三分康托基、康托塵、Sierpinski墊等.自然界中也存在著分形的例子，例如，天空中的云朵、植物葉子的形狀、巖石裂縫等.這些圖形或者例子都存在著自相似性，復(fù)雜的圖形是由一個非常簡單的方程通過初值選擇反復(fù)迭代得到的結(jié)果.

二、

（一）混沌的定義

簡單來說，在非線性科學(xué)中，混沌是一種確定的但不可預(yù)測的運動狀態(tài)，因為這些運動狀態(tài)都是相似的，比表面上似乎可以確定它的運動狀態(tài)及運動軌跡，又說它是不可預(yù)測的，是因為會受到外界條件的影響，造成了運動的不穩(wěn)定性.混沌理論認(rèn)為在混沌系統(tǒng)中，初始條件十分微小的變化，經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極其巨大的差別.

我們也可以用數(shù)學(xué)語言來定義混沌：

設(shè)V為一個集合，f：V→V稱為在V上是混沌的.如果

（1）f對初始條件的敏感依賴性.

（2）f是拓?fù)鋫鬟f的.

（3）周期點在V中是稠密的.

（二）奇異吸引子

奇異吸引子是反映混沌系統(tǒng)運動特征的產(chǎn)物，也是一種混沌系統(tǒng)中無序穩(wěn)態(tài)的運動形態(tài).目前奇異吸引子僅僅是一個抽象數(shù)學(xué)概念，還沒有完善的理論模型.

（三）混沌的特征

1.對初值條件的敏感依賴性.

2.極為有限的可預(yù)測性.

3.混沌內(nèi)部的有序性.

（四）混沌的例子

天氣問題：近半個世紀(jì)以來，研究者發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象即使可以化為單純的數(shù)學(xué)公式，但是其行徑卻無法預(yù)料.如氣象學(xué)家Edward Lorenz發(fā)現(xiàn)簡單的熱對流現(xiàn)象能引起非常大的氣象變化，產(chǎn)生了所謂的“蝴蝶效應(yīng)”.60年代，美國數(shù)學(xué)家Stephen Smale發(fā)現(xiàn)某些物體的行徑經(jīng)過一些規(guī)則性變化之后，并沒有規(guī)律可循，呈現(xiàn)失序的混沌狀態(tài).

軍事問題：馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應(yīng)卻是一個國的存與亡.這就是軍事中的所謂“蝴蝶效應(yīng)”.

三、分形理論和混沌理論的聯(lián)系

從總體上講，二者在產(chǎn)生時并無關(guān)系，兩者的關(guān)系先要從它們各自產(chǎn)生的背景來看，混沌的產(chǎn)生更多是從物理方面得來的，比如，自然界中的天氣變化，分形更多是從數(shù)學(xué)中幾何方面研究中總結(jié)出來的，例如，千變?nèi)f化的分形圖案.

混沌的主要特征初值敏感性（俗稱“蝴蝶效應(yīng)”）和奇異吸引子，簡單來說句是確定性的非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)性和確定性往往不能同時存在，混沌的奇妙之處在于把確定性和隨機(jī)性給統(tǒng)一了.分形的核心是自相似，對很多表面無規(guī)則的復(fù)雜現(xiàn)象，特別是在時間和空間上存在無窮迭代非線性系統(tǒng)，具有很強(qiáng)的描述能力，這其中包含了混沌現(xiàn)象.分形的奇妙之處在于表面好似無規(guī)則、碎片狀的東西，其實也是有規(guī)律的.

至于二者為什么緊密相關(guān)，因為它們研究的系統(tǒng)都是現(xiàn)實的非線性系統(tǒng)，它們有著共同的來源是動力系統(tǒng)，混沌吸引子就是分形，混沌是時間上的分形，分形是時間上的混沌.混沌主要討論非線性動力系統(tǒng)的不穩(wěn)定，發(fā)散的過程，但系統(tǒng)總是收斂一定的吸引子，這與分形的自相似性非常相像，可以說混沌系統(tǒng)與分形結(jié)構(gòu)都具有自相似性.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周作領(lǐng).符號動力系統(tǒng)[M].上海：上海科技教育出版社，1997.

[2]謝和平，張永平，宋曉秋，等.分形幾何：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1991.