◆吳心培

(江蘇省華羅庚中學(xué))

一、引言

勾股定理也稱畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)定理，是數(shù)學(xué)中非常重要的定理之一。畢達(dá)哥拉斯是公元前6世紀(jì)希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，在西方，他被普遍認(rèn)為是該定理最早的證明者，因此勾股定理就以他的名字命名。然而早在公元前1700年，古巴比倫人就發(fā)現(xiàn)已這一定理，無(wú)獨(dú)有偶，最遲公元前1105年，我國(guó)的商高便能利用一般的“弦圖”來(lái)證明這一定理。時(shí)至今日，勾股定理的證明方法已經(jīng)有400多種了，其推論及應(yīng)用仍具有重要影響。本文將對(duì)幾種著名的勾股定理的證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

二、中國(guó)古代勾股定理的證明

1.《周髀算經(jīng)》中商高的證明

《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)著作，其內(nèi)容包括天文、數(shù)學(xué)知識(shí)，表現(xiàn)了我國(guó)古代人民的偉大智慧?！吨荀滤憬?jīng)》中記載了周公與大夫商高的一段話，商高當(dāng)時(shí)回答說(shuō)：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也”。

英國(guó)人Joseph Needham將這段文字解釋為：把一個(gè)矩形沿對(duì)角線剪開(kāi)(如下圖1所示)，寬等于3個(gè)單位，長(zhǎng)為4個(gè)單位。這樣兩對(duì)角之間的對(duì)角線長(zhǎng)為5個(gè)單位。我們?cè)儆眠@條對(duì)角線為邊畫(huà)一個(gè)大正方形，再用幾個(gè)同上文的半矩形把這個(gè)大正方形圍起來(lái)，從而形成一個(gè)方形盤。像這樣，外面四個(gè)半矩形便構(gòu)成了兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形總面積是24，然后我們?cè)購(gòu)姆叫伪P的總面積49中減去24，得到25。我們便稱這種方法為“積矩”。

雖然書(shū)中只以3，4，5為例，但這種方法也具有一般性，所以我們普遍認(rèn)為商高已經(jīng)證明了勾股定理。

2.《九章算術(shù)》中劉徽的證明

《九章算術(shù)》是《周髀算經(jīng)》之后最重要的數(shù)學(xué)典籍，這部學(xué)術(shù)著作是由先秦到西漢中期眾多的學(xué)者修改編纂而成的，其在代數(shù)、幾何方面均有巨大成就?？梢哉f(shuō)，它代表著中國(guó)古代的機(jī)械算法體系，它與古希臘的《幾何原理》相得益彰，對(duì)東方的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重要影響。

魏晉時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》做批注時(shí)便給出了自己的證明：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也。合成弦方之冪”，短短幾句便對(duì)勾股定理進(jìn)行了清晰的描述。但十分可惜的是，劉徽的證明的圖已經(jīng)失傳了。根據(jù)學(xué)者李迪的研究，劉徽的證明方法與歐幾里得在《幾何原本》中的證明描述相似，而根據(jù)學(xué)者曲安京先生的研究，劉徽的勾股定理證明方法如圖2所示，其他學(xué)者對(duì)劉徽的證明方法也有自己不同的理解和闡述。

3.《勾股舉隅》中梅文鼎的證明

梅文鼎是我國(guó)清代著名的學(xué)者，是民間數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，被譽(yù)為“國(guó)朝算學(xué)第一人”。對(duì)于勾股定理的證明，梅文鼎給出了兩種證明方法，其中一種方法與趙爽和劉徽的方法有異曲同工之妙。本文介紹梅文鼎另外一種獨(dú)具創(chuàng)造性的證明方法，具體步驟如下：

(1)以直角三角形ABC斜邊BC為邊作一個(gè)正方形BCDE，其面積為BC的平方，再過(guò)點(diǎn)A做BC的垂線KL，把正方形分割成面積為AC平方的四邊形DKLC與面積為AB平方的四邊形KEBL，如圖3所示。

(2)將三角形ALC，ALB移到FKD，F(xiàn)KE處，并做AI垂直于FD，做EN垂直于FE，如圖4所示。

(3)將三角形FLA，F(xiàn)EN移到DHC，EJM處，如圖5所示。

(4)將梯形ENAJ移到JMBG處，即可完成證明，如圖6所示。

三、國(guó)外勾股定理的證明

1.Plato的證明

畢達(dá)哥拉斯提出勾股定理之后，希臘哲學(xué)家Plato給出了關(guān)于該定理一種特殊情況的證明。他運(yùn)用的方法為“割補(bǔ)法”，通過(guò)幾何的變換來(lái)進(jìn)行證明，具體證明步驟如下：

Plato對(duì)等腰直角三角形的情況做出了證明，將其腰上的兩個(gè)正方形沿對(duì)角線分割成為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，再將這四個(gè)三角形拼到斜邊上，成為一個(gè)新大正方形。由于是平移操作，所以各部分面積不變，從而又可以用“面積法”得證。雖然說(shuō)這是一種特殊情況，但是這也為后世提供了“割補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想，如圖7所示。

2.Euclid的證明

Euclid的證明是歐洲有記載的最早的勾股定理的證明。在Euclid所著《幾何原本》卷一的命題47中，Euclid給出了自己的證明。在證明的過(guò)程中，Euclid運(yùn)用到了圖形割補(bǔ)、等邊三角形和面積的關(guān)系，其具體證明過(guò)程如下：

如圖8所示，在直角三角形ABC的各邊上做正方形，可以看到三角形ACD與GCB全等，三角形ADC的面積就等于四邊形CDKJ的一半，三角形GCB的面積是四邊形AFGC的一半，所以四邊形CDKJ的面積等于四邊形AFGC的面積。同理，四邊形JKEB的面積等于四邊形ABHI的面積。于是得到AB2+AC2=BC2，定理得證。

在思想方面，Euclid也繼承了Plato的割補(bǔ)思想，只是具體過(guò)程略有不同而已，他們兩人的思想方法都為后世對(duì)于勾股定理的證明提供了思路。

3.Leonardo Da Vinci的證明

達(dá)芬奇是眾所周知的文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家、解剖學(xué)家與畫(huà)家。他在《幾何原本》證明圖的基礎(chǔ)上，上下各添加了一個(gè)直角三角形，拼接而成兩個(gè)面積相等的連六邊形BCGFIH和JEBACD，再運(yùn)用面積相減法，于是就可以證明勾股定理了。這也是運(yùn)用的一種割補(bǔ)的思想，但他卻和Euclid的方法有著細(xì)微的差別，從幾何變化的角度上來(lái)看的話，達(dá)芬奇主要運(yùn)用的是旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱，而后者運(yùn)用的則是平移，如圖9所示。

四、勾股定理的推廣

1.勾股定理在三維空間里的推廣

由于勾股定理?xiàng)l件中有一組垂直的關(guān)系，結(jié)論中有一組“平方和”關(guān)系，我們由此聯(lián)想，在空間結(jié)構(gòu)中可以構(gòu)建一個(gè)三棱錐，使得組成這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面的三條線段兩兩垂直，從而使得二維的線段的平方關(guān)系成為三維的面的平方關(guān)系，如圖10所示。根據(jù)我們的猜想，三角形ABC面積的平方應(yīng)該等于三角形OAB，OAC，OBC各自面積的平方之和。證明過(guò)程如下：

我們作OH垂直于平面ABC，垂足為H，連接CH并延長(zhǎng)交AB于E，連接OE，我們可以得到H為△ABC的垂心，且AB垂直于OH。

由射影定理可以得到OE2=EH×CE。

∴S2△ABO=1/4×AB2×EH×CE=1/2×AB×EC×1/2AB×EH=S△ABC×S△ABH

同理，S2△OBC=S△ABC×S△CBH，S2△OAC=S△OAC×S△CAH.

聯(lián)系上式即可得證猜想成立，于是，我們就得到了空間勾股定理。

2.勾股定理在面三角形中的運(yùn)用

我們用類似直角三角形的做法，構(gòu)造出有兩個(gè)直角三角形面的“面直角三角形”，如圖11所示。沿襲上文思路，我們猜想：四邊形ADEF的面積的平方等于四邊形ADCB的面積的平方加上四邊形CBFE的面積的平方。

我們用S代表四邊形AFED的面積，S1代表四邊形ABCD的面積，S2為四邊形BFEC的面積。具體證明過(guò)程如下：

∵S=AD×AF，S1=AB×AD，S2=EF×BF.

∴S2=AD2×AF2，S12=EF2×AD2，S22=EF2×BF2.

又∵AD=EF=CB，CE=BF，

∴S2=BC2×(AB2+BF2)，S12+S22=AB2×AD2+EF2×BF2.

于是：S2=S12+s22.

五、小結(jié)

勾股定理是人類文明史上的一顆耀眼的明星，是“幾何學(xué)的基石”，它的誕生產(chǎn)生了許多與它相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而使得世界上幾個(gè)文明古國(guó)都對(duì)它進(jìn)行了深入的研究。時(shí)至今日，勾股定理的證明方法已多達(dá)400多種，本文對(duì)勾股定理證明中用到的面積法，拼接法等都給出了一些經(jīng)典的例子。隨著科技的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展，勾股定理將會(huì)推廣到更深更遠(yuǎn)的地方。例如，在三維空間中，在面三角形上，或是在n維空間中。勾股定理作用廣泛，博大精深，更深層次地研究還需進(jìn)一步探索。