張芳

[摘? ?要]解析幾何是高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，解析幾何問題的本質(zhì)是直線與圓錐曲線聯(lián)立后方程組的根，而求解時(shí)往往伴隨參數(shù)，不易直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)，且運(yùn)算量大.利用方程同解，不僅將點(diǎn)的坐標(biāo)完美避開，還繞開韋達(dá)定理，大大減少了運(yùn)算量，提升了解題效率.研究解析幾何典型問題解法，可以開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]解析幾何;典型問題;解答;拓展

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0033-02

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中幾何部分的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，其核心本質(zhì)就是通過坐標(biāo)將幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而運(yùn)算求解相應(yīng)的結(jié)論.高考常會(huì)考查曲線與直線交點(diǎn)的問題，而該問題的本質(zhì)其實(shí)就是直線與圓錐曲線聯(lián)立后方程組的根.而求解方程組的根往往會(huì)伴隨參數(shù)，不易直接求出點(diǎn)的坐標(biāo).多數(shù)學(xué)生（特別是文科生）在遇到解析幾何問題時(shí)頭腦中的第一感覺就是運(yùn)算量大，常常會(huì)出現(xiàn)“方法思路都懂，可算算就錯(cuò)”的現(xiàn)象.其實(shí)在具體運(yùn)算中有時(shí)也會(huì)有些小“技巧”，可以避開煩瑣的運(yùn)算，減少“無效運(yùn)算”.下面筆者對(duì)一類解析幾何問題進(jìn)行深入探討.

一、典型例題解答分析

[例1]已知橢圓O的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，右頂點(diǎn)A（2，0）到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為[32].不過A點(diǎn)的動(dòng)直線[y=12x+m]交橢圓O于P、Q兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)A、P、Q 的動(dòng)圓記為圓C，動(dòng)圓C過不同于A的定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：本題的困惑之處主要是在第（2）問中如何求出圓方程，從而解決圓過定點(diǎn)問題.三個(gè)點(diǎn)的圓方程，往往是設(shè)一般式，通過待定系數(shù)將圓方程表示出來.可本題的P、Q兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，如若要求出此兩點(diǎn)坐標(biāo)則必須要利用求根公式來處理，這樣會(huì)使運(yùn)算非常復(fù)雜，在有限時(shí)間內(nèi)學(xué)生往往是不能完成的.

搜尋記憶，思路再探索.其實(shí)本題與2008年江蘇高考卷18題如出一轍.

2008年江蘇高考卷18題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)[f（x）=x2+2x+b（x∈R）]的圖像與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的圓記為C.（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍;（2）求圓C的方程;（3）問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

該題的第（2）問同樣需要求出圓方程，由于本題x軸上的兩交點(diǎn)易于算出，且結(jié)構(gòu)相似，所以直接利用求根公式即可求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，通過待定系數(shù)也能輕松求解.

上述解題方式，雖然在求解D、E、F時(shí)運(yùn)算較為復(fù)雜，但由于等式結(jié)構(gòu)類似，所以通過兩式相減，就可求出D，運(yùn)算并沒有想象中那樣復(fù)雜.但是通過仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)同圓C與x軸的交點(diǎn)完全一致，即x2+2x+b=0與x2+Dx+F= 0方程同解，這樣就可以得到D=2，F(xiàn)=b，所以圓C的方程為x2+y2+2x+Ey+b = 0，再代入D（0，b），可知E = -（b+1）.同樣也可得圓C的方程為x2+y2+2x-（b+1）y+b = 0.但這樣運(yùn)算量就大大降低了.那么能否通過這樣的方程同解法來解決之前的問題呢？

二、類似問題的拓展運(yùn)用

三、對(duì)問題的再思考

由于在解題過程中其運(yùn)算量相對(duì)較大，所以每年高考所涉及的解析幾何問題，學(xué)生想拿滿分變得很困難.而且現(xiàn)階段教師的課堂教學(xué)也往往較為功利化，解題方式也變得機(jī)械化、固定化.教師在解題教學(xué)中常常會(huì)給學(xué)生灌輸這樣的思想：解析幾何的解答題實(shí)在不會(huì)做就將直線與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理寫一下，基本上該有的分就到手了.殊不知，這樣的教學(xué)使得學(xué)生思維能力不斷弱化，導(dǎo)致學(xué)生遇到解析幾何問題也不會(huì)動(dòng)腦思考了.

解析幾何中所謂的“韋達(dá)定理”可以解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，往往運(yùn)算量較大.其實(shí)這樣的固定模式并不能解決所有的問題，上面設(shè)計(jì)的解題方案就可以避開韋達(dá)定理，巧妙運(yùn)用方程同解來處理相應(yīng)交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而提高運(yùn)算效率，達(dá)到事半功倍的效果，讓解題不再成為“煎熬”.

解題時(shí)不能“慌不擇路”，教師要讓學(xué)生明白，需要“先謀而后定”，急急忙忙制訂解題計(jì)劃，往往并不是好的思路，需要通過仔細(xì)地分析觀察，要做到“不發(fā)則已，一發(fā)必中”.解題的模式也不能固定，需要根據(jù)實(shí)際情況靈活改變，不能拘泥，通過問題的表面信息，抓住核心內(nèi)容，深挖問題的本質(zhì)，這樣才能逐步提升學(xué)生解題的能力.在學(xué)生遇到困難，束手無策時(shí)，教師也可以給予適當(dāng)?shù)奶崾?，然后讓學(xué)生繼續(xù)按照提示步驟繼續(xù)思考.當(dāng)然，教師的提示也不可過度，過細(xì)、過多的提示也會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生依賴性.

四、反思總結(jié)

解題有四重境界：會(huì)解（有思路，有方法）、解對(duì)（遵循思路方法將問題解決）、最優(yōu)法（在若干思路中尋找最簡(jiǎn)潔的解題方式）、學(xué)會(huì)反思?xì)w類（總結(jié)經(jīng)驗(yàn)將問題進(jìn)行歸類）.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要追求最高的境界——學(xué)會(huì)反思?xì)w類.上面所涉及的方程同解的方法，如果學(xué)生平時(shí)能夠做好積累的工作，對(duì)經(jīng)典的題型能夠做到歸類總結(jié)的話，那么遇到這類難題就能夠快速地找到解題的突破口了.

面對(duì)生疏而又復(fù)雜的問題，首先要把問題的實(shí)質(zhì)弄清楚，將一個(gè)復(fù)雜生疏的題目弄清楚，往往比做十多個(gè)普通的、熟悉的問題更有意義.數(shù)學(xué)教育的目的就是教會(huì)學(xué)生會(huì)思維，經(jīng)常解題、思考，頭腦會(huì)越來越靈活;反之，若解題不思考，頭腦容易固化、僵化.當(dāng)然所謂的難題往往是將若干個(gè)小題“混搭”而成的，學(xué)生如果要能夠處理這類問題，則需要基本功訓(xùn)練扎實(shí)到位，于平時(shí)的學(xué)習(xí)中注重細(xì)節(jié).如果忽視了這些細(xì)節(jié)，學(xué)生要提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力自然就有困難.

解析幾何需要運(yùn)算，但是如果能夠通過一些小的“技巧”，繞開煩瑣的運(yùn)算，從而提高解題效率，減少運(yùn)算過程中的錯(cuò)誤環(huán)節(jié)，這不正是教師所期盼的么？

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）