張麗琴

“倍”在小學數(shù)學里是一個重要概念，也是學生后續(xù)學習小數(shù)倍、分數(shù)（表示分率）、百分數(shù)、比等內(nèi)容的基礎。在學習“倍”之前，學生頭腦中建構的是“加法結構”，是數(shù)量的合并與多少的比較。對兩個量或多個量之間的比率關系問題的真正理解需要在學生頭腦中建構起“乘法結構”，而“倍”的學習正是建構乘法結構的伊始。從“加法結構”到“乘法結構”，學生認知結構需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化，“倍”的學習是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機會，而認知結構的轉(zhuǎn)變是學生學習的最大困難。那么，教學《倍的認識》如何有效突破難點？在探究與拓展環(huán)節(jié)，我們進行了嘗試。

一、探究體驗——理解“倍”

1.以“2倍”為本，建立“倍”的直觀模型。

師：除了○比△多以外，它們之間還有什么關系？（生：△是○的一半。）

師：如果把3 個△看成1 份，○有這樣的幾份？（將6個○每3個1份圈出）

師：○的個數(shù)有這樣的2 份，我們還可以說，○的個數(shù)是△的2倍。

課件出示：△的個數(shù)增加1個，○的個數(shù)增加2個。

師：現(xiàn)在○的個數(shù)是△的幾倍？怎么想的？

師：繼續(xù)增加△和○的個數(shù)，現(xiàn)在還能看出△的個數(shù)是○的幾倍嗎？

借助課件演示，組織學生交流發(fā)現(xiàn)：

生：每一組圖中，○的個數(shù)都是△的2倍。

師：不管△和○的個數(shù)怎么變化，以第一行為標準量看成1 份，找到另一個量里有幾個這樣的標準量，我們就說○的個數(shù)是△的幾倍。

課件演示：淡出實物，留下標準結構的模型。

標準量：

師：第一行有幾個，第二行擺出2 個這么多，就說第二行是第一行的2倍。

教師先由“幾個幾”引出“倍”的概念，從“份”過渡到“倍”，再通過不斷增加變換△和○的個數(shù)，組織學生觀察比較，在變中抓不變，而這個不變，就是“無論如何變化，都要把標準量看成1份，另一個量里有幾個這樣的幾份，就是幾倍。借助豐富“2 倍”的形來理解抽象的“倍”，化無形為有形，幫助學生建立了標準結構的直觀模型。

2.“變式結構”，解讀“倍”。

課件出示小鴨小雞情境圖。

師：小鴨和小雞可沒有排好隊，你能看出小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍嗎？

（結合學生作答,課件展示由實物→隱藏實物→只留下數(shù)據(jù):8是4的2倍。）

師：圖中還是2倍關系嗎？為什么？

師：看來倍數(shù)關系要關注標準量1份的個數(shù)。

師：怎樣改變，就會有2倍關系？

（結合學生的方法一一展示。）

師：又增加了幾個蘋果，你能找到幾倍關系？

生：以4 個梨為標準，蘋果的個數(shù)有這樣的3份，所以是梨的3倍。

師：如果把梨的個數(shù)用一條線段表示，那么蘋果的個數(shù)該怎么表示？

（教師結合學生的回答畫圖。）

師：如果第一排表示5本書，請問第二排表示什么？為什么？

師：你覺得第一排還可以表示什么？第二排又是多少呢？

由于學生初步認識“倍”，教學中運用清晰的直觀結構幫助學生第一次建立“倍”的概念。但標準結構不能促進學生真正深入思考，因此，借助“變式結構”（亂而無序的雞鴨圖）、“錯誤結構”促進學生真正地觀察發(fā)現(xiàn)、感知1 份作為標準量的重要性，在“變”中探尋2 倍關系，引出3 倍；再引導學生一步步把關注的對象從實物的比較過渡到數(shù)之間的比較，由于學生對2 倍的“形”有著較為充分的準備，很自然地過渡到“數(shù)”，對倍的認識也從感性上升到理性。

二、拓展應用——深化“倍”

1.猜測與發(fā)現(xiàn)。

課件出示：

梨：？個

師：猜一猜蘋果的個數(shù)可能是梨的幾倍？（學生回答2倍、3倍、6倍、1倍。）

（課件演示梨分別是1 個、2 個、3 個、6 個時，蘋果和梨的倍數(shù)關系。）

師：1 倍是什么意思？1 倍關系時兩種量有什么特點？（學生結合理解回答。）

（教師繼續(xù)演示梨4個、蘋果6個。）

師：現(xiàn)在還有倍的關系嗎？

（學生的發(fā)現(xiàn)：蘋果是梨的1 倍多2 個，1 倍多半倍，2倍少2個……）

師：今天我們研究的是整數(shù)倍關系，倍還可以是小數(shù)倍、分數(shù)倍，以后還會繼續(xù)研究。

師：回顧剛才的猜想活動，為什么蘋果的個數(shù)沒有變，倍數(shù)關系卻在變化呢？

生：標準量變了，總數(shù)與標準量的倍數(shù)關系也在變。

2.抽象與發(fā)展。

師：如果有60 個蘋果，2 個梨，想一想，蘋果的個數(shù)是梨的多少倍？（30 倍）我們還用圈一圈的方法圈出30份嗎？

師：45和5之間有倍數(shù)關系嗎？

生：45÷5=9，45是5的9倍。

通過開放的問題空間，在蘋果的數(shù)量不變的情況下，引導學生猜測“梨有幾個”，在猜測驗證中探究“倍數(shù)發(fā)生變化的原因”，感受比的標準的重要性，潛移默化地滲透反比例思想；再通過延伸非整數(shù)倍，完善倍的認知體系。最后，去掉圖形，只留下數(shù)字，問題素材無法使用圈、畫等找倍的方法，將學生的關注點聚焦到兩個數(shù)量的倍的關系上，在抽象與概括中深化理解了“倍是一個數(shù)除以另一數(shù)所得的商”，使學生在不斷地對比與抽象中實現(xiàn)一次次理性的飛躍。