張麗琴

“倍”在小學(xué)數(shù)學(xué)里是一個(gè)重要概念，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)（表示分率）、百分?jǐn)?shù)、比等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的是“加法結(jié)構(gòu)”，是數(shù)量的合并與多少的比較。對(duì)兩個(gè)量或多個(gè)量之間的比率關(guān)系問題的真正理解需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起“乘法結(jié)構(gòu)”，而“倍”的學(xué)習(xí)正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)的伊始。從“加法結(jié)構(gòu)”到“乘法結(jié)構(gòu)”，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化，“倍”的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機(jī)會(huì)，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難。那么，教學(xué)《倍的認(rèn)識(shí)》如何有效突破難點(diǎn)？在探究與拓展環(huán)節(jié)，我們進(jìn)行了嘗試。

一、探究體驗(yàn)——理解“倍”

1.以“2倍”為本，建立“倍”的直觀模型。

師：除了○比△多以外，它們之間還有什么關(guān)系？（生：△是○的一半。）

師：如果把3 個(gè)△看成1 份，○有這樣的幾份？（將6個(gè)○每3個(gè)1份圈出）

師：○的個(gè)數(shù)有這樣的2 份，我們還可以說，○的個(gè)數(shù)是△的2倍。

課件出示：△的個(gè)數(shù)增加1個(gè)，○的個(gè)數(shù)增加2個(gè)。

師：現(xiàn)在○的個(gè)數(shù)是△的幾倍？怎么想的？

師：繼續(xù)增加△和○的個(gè)數(shù)，現(xiàn)在還能看出△的個(gè)數(shù)是○的幾倍嗎？

借助課件演示，組織學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)：

生：每一組圖中，○的個(gè)數(shù)都是△的2倍。

師：不管△和○的個(gè)數(shù)怎么變化，以第一行為標(biāo)準(zhǔn)量看成1 份，找到另一個(gè)量里有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)量，我們就說○的個(gè)數(shù)是△的幾倍。

課件演示：淡出實(shí)物，留下標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的模型。

標(biāo)準(zhǔn)量：

師：第一行有幾個(gè)，第二行擺出2 個(gè)這么多，就說第二行是第一行的2倍。

教師先由“幾個(gè)幾”引出“倍”的概念，從“份”過渡到“倍”，再通過不斷增加變換△和○的個(gè)數(shù)，組織學(xué)生觀察比較，在變中抓不變，而這個(gè)不變，就是“無論如何變化，都要把標(biāo)準(zhǔn)量看成1份，另一個(gè)量里有幾個(gè)這樣的幾份，就是幾倍。借助豐富“2 倍”的形來理解抽象的“倍”，化無形為有形，幫助學(xué)生建立了標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的直觀模型。

2.“變式結(jié)構(gòu)”，解讀“倍”。

課件出示小鴨小雞情境圖。

師：小鴨和小雞可沒有排好隊(duì)，你能看出小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍嗎？

（結(jié)合學(xué)生作答,課件展示由實(shí)物→隱藏實(shí)物→只留下數(shù)據(jù):8是4的2倍。）

師：圖中還是2倍關(guān)系嗎？為什么？

師：看來倍數(shù)關(guān)系要關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)量1份的個(gè)數(shù)。

師：怎樣改變，就會(huì)有2倍關(guān)系？

（結(jié)合學(xué)生的方法一一展示。）

師：又增加了幾個(gè)蘋果，你能找到幾倍關(guān)系？

生：以4 個(gè)梨為標(biāo)準(zhǔn)，蘋果的個(gè)數(shù)有這樣的3份，所以是梨的3倍。

師：如果把梨的個(gè)數(shù)用一條線段表示，那么蘋果的個(gè)數(shù)該怎么表示？

（教師結(jié)合學(xué)生的回答畫圖。）

師：如果第一排表示5本書，請(qǐng)問第二排表示什么？為什么？

師：你覺得第一排還可以表示什么？第二排又是多少呢？

由于學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“倍”，教學(xué)中運(yùn)用清晰的直觀結(jié)構(gòu)幫助學(xué)生第一次建立“倍”的概念。但標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)不能促進(jìn)學(xué)生真正深入思考，因此，借助“變式結(jié)構(gòu)”（亂而無序的雞鴨圖）、“錯(cuò)誤結(jié)構(gòu)”促進(jìn)學(xué)生真正地觀察發(fā)現(xiàn)、感知1 份作為標(biāo)準(zhǔn)量的重要性，在“變”中探尋2 倍關(guān)系，引出3 倍；再引導(dǎo)學(xué)生一步步把關(guān)注的對(duì)象從實(shí)物的比較過渡到數(shù)之間的比較，由于學(xué)生對(duì)2 倍的“形”有著較為充分的準(zhǔn)備，很自然地過渡到“數(shù)”，對(duì)倍的認(rèn)識(shí)也從感性上升到理性。

二、拓展應(yīng)用——深化“倍”

1.猜測(cè)與發(fā)現(xiàn)。

課件出示：

梨：？個(gè)

師：猜一猜蘋果的個(gè)數(shù)可能是梨的幾倍？（學(xué)生回答2倍、3倍、6倍、1倍。）

（課件演示梨分別是1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)、6 個(gè)時(shí)，蘋果和梨的倍數(shù)關(guān)系。）

師：1 倍是什么意思？1 倍關(guān)系時(shí)兩種量有什么特點(diǎn)？（學(xué)生結(jié)合理解回答。）

（教師繼續(xù)演示梨4個(gè)、蘋果6個(gè)。）

師：現(xiàn)在還有倍的關(guān)系嗎？

（學(xué)生的發(fā)現(xiàn)：蘋果是梨的1 倍多2 個(gè)，1 倍多半倍，2倍少2個(gè)……）

師：今天我們研究的是整數(shù)倍關(guān)系，倍還可以是小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)倍，以后還會(huì)繼續(xù)研究。

師：回顧剛才的猜想活動(dòng)，為什么蘋果的個(gè)數(shù)沒有變，倍數(shù)關(guān)系卻在變化呢？

生：標(biāo)準(zhǔn)量變了，總數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)關(guān)系也在變。

2.抽象與發(fā)展。

師：如果有60 個(gè)蘋果，2 個(gè)梨，想一想，蘋果的個(gè)數(shù)是梨的多少倍？（30 倍）我們還用圈一圈的方法圈出30份嗎？

師：45和5之間有倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：45÷5=9，45是5的9倍。

通過開放的問題空間，在蘋果的數(shù)量不變的情況下，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)“梨有幾個(gè)”，在猜測(cè)驗(yàn)證中探究“倍數(shù)發(fā)生變化的原因”，感受比的標(biāo)準(zhǔn)的重要性，潛移默化地滲透反比例思想；再通過延伸非整數(shù)倍，完善倍的認(rèn)知體系。最后，去掉圖形，只留下數(shù)字，問題素材無法使用圈、畫等找倍的方法，將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)聚焦到兩個(gè)數(shù)量的倍的關(guān)系上，在抽象與概括中深化理解了“倍是一個(gè)數(shù)除以另一數(shù)所得的商”，使學(xué)生在不斷地對(duì)比與抽象中實(shí)現(xiàn)一次次理性的飛躍。