胡良平

(1.軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029

1 變量變換的必要性及變換方法

1.1 多值名義變量的變量變換

1.1.1 選擇合適變量變換方法的必要性

在進(jìn)行回歸分析時(shí)，若自變量中有“多值名義變量”(如職業(yè)、血型、儀器品牌等)，其具體的“表現(xiàn)或水平”不能用“文字”或“字母”表示，也不能簡單地賦值“1、2、3……”前者無法參與統(tǒng)計(jì)計(jì)算，而后者將會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。那么，究竟應(yīng)該對“多值名義變量”進(jìn)行什么樣的變量變換呢？本文將介紹常規(guī)做法，即進(jìn)行“啞變量變換”。

在回歸分析中應(yīng)如何處置“多值有序變量”？在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，人們認(rèn)為：直接采用多值有序變量各水平的數(shù)值為其取值，例如：假定x代表“腫瘤分級”，依據(jù)臨床專業(yè)知識，已知它可以分為五級，于是，認(rèn)為 x的取值就是“1、2、3、4、5”。依據(jù)基本常識可知，這樣的做法是不妥的。因?yàn)楫?dāng)腫瘤處于不同等級，其對結(jié)果的影響可能不是“線性關(guān)系”，很可能是較復(fù)雜的“非線性關(guān)系”。因此，應(yīng)將“多值有序自變量”視為“多值名義自變量”，采用合適的變量變換方法。

1.1.2 對多值名義變量進(jìn)行“啞變量變換”

所謂啞變量變換，就是將一個(gè)具有k個(gè)水平的多值名義變量轉(zhuǎn)換成(k-1)個(gè)新變量，每個(gè)新變量都是一個(gè)“二值變量(即僅有兩個(gè)不同取值的變量)”。這些新變量像“啞巴”一樣，其中的每一個(gè)都攜帶著原變量的一部分信息，在計(jì)算中發(fā)揮一定的作用，但又不能完全取代原變量，故它們都被形象地稱為“啞變量”。

實(shí)施啞變量變換的方法是：選擇一個(gè)頻率高的水平作為“基準(zhǔn)水平”，其他水平都與該基準(zhǔn)水平作比較而產(chǎn)生一個(gè)“比較變量”(即啞變量)。例如：在ABO血型系統(tǒng)中，假定在樣本資料中屬于O型血的人數(shù)最多，就可以以“O型血的人”為“基準(zhǔn)水平”，其他三種血型的人相對于O型血的人分別產(chǎn)生一個(gè)“啞變量”。簡化形式呈現(xiàn)如下：

個(gè)體編號血型XA|OXB|OXAB|O1A1002B0103AB0014O000

在上面的簡化形式中，“XA|O、XB|O、XAB|O”這三個(gè)變量都是與“血型”這個(gè)4值名義變量對應(yīng)的“啞變量”，它們分別代表“是否為A型血”“是否為B型血”和“是否為AB型血”。

1.1.3 對多值名義變量進(jìn)行“其他變量變換”

在進(jìn)行回歸分析中，上面的“啞變量變換”已經(jīng)成為統(tǒng)計(jì)學(xué)界處置“多值名義自變量”的“金標(biāo)準(zhǔn)”。是否還有更合理的“變量變換”方法可以取代“啞變量變換”呢？此問題將在本期“科研方法專題”的另三篇文章中深入討論。

1.2 定量變量的變量變換

1.2.1 選擇合適變量變換方法的必要性

通常情況下，人們在進(jìn)行回歸分析時(shí)，對于定量的自變量和/或因變量不作任何變換。然而，由基本常識可知，前述做法是不切實(shí)際的，通常情況下，效果是不夠好的。因?yàn)樽兞恐g的關(guān)系往往是錯(cuò)綜復(fù)雜的，它們之間永遠(yuǎn)以“一次方”形式存在聯(lián)系的可能性是非常罕見的。因變量Y可能與某個(gè)自變量之間是拋物線關(guān)系、指數(shù)曲線關(guān)系或?qū)?shù)曲線關(guān)系；因變量Y本身可能偏離正態(tài)分布很遠(yuǎn)，而很多統(tǒng)計(jì)模型要求因變量必須服從正態(tài)分布。因此，需要對定量因變量作合適的變量變換，以使其符合特定統(tǒng)計(jì)模型的基本要求；需要對某些定量自變量作合適的變量變換，以更真實(shí)地呈現(xiàn)其與定量因變量之間的變化趨勢。

1.2.2 對定量自變量進(jìn)行兩方面的變量變換

第一方面的變量變換就是對某定量自變量作了某種變量變換后，丟棄原先的那個(gè)自變量，而僅采用變換后的變量。例如：建模時(shí)，只用“l(fā)og(x1)”，而丟棄“x1”。第二方面的變量變換就是不僅用變換后的變量，還保留未變換的原變量。這樣做的結(jié)果會使自變量的數(shù)目大大增加，常稱為產(chǎn)生“派生變量”。例如：假定有10個(gè)定量變量，可以給它們都取對數(shù)變換，就會增加10個(gè)新變量；也可以對10個(gè)變量進(jìn)行平方變換或平方根變換；還可以基于10個(gè)定量變量產(chǎn)生交叉乘積項(xiàng)等。

1.2.3 對定量因變量進(jìn)行變量變換

在通常情況下，人們進(jìn)行的是“一元多重回歸分析”，因此，若對定量因變量進(jìn)行變量變換，在回歸建模時(shí)，只使用變換后的因變量，而不會同時(shí)使用原先的“因變量”與變換后的因變量(因?yàn)檫@樣做已經(jīng)把“一元”問題轉(zhuǎn)變成“二元”問題了)。

何時(shí)需要對定量因變量進(jìn)行變換呢？通常在以下兩種情況之一：其一，已知因變量與自變量之間呈某種函數(shù)關(guān)系，就選擇相應(yīng)的變量變換方法。例如：當(dāng)因變量與自變量之間呈“指數(shù)函數(shù)”變化關(guān)系時(shí)，就可以對因變量取對數(shù)變換；其二，當(dāng)定量因變量(嚴(yán)格地說，應(yīng)該是模型的誤差項(xiàng))偏離正態(tài)分布很遠(yuǎn)時(shí)，需要選擇一種合適的變量變換方法，目的是使變換后的因變量服從模型所要求的某種概率分布，如正態(tài)分布、指數(shù)分布或威布爾分布等。

2 實(shí)際問題與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

2.1 實(shí)際問題

研究者關(guān)心的定量結(jié)果變量為“氧化氮釋放量(nox)”，該定量指標(biāo)的數(shù)值測自單缸發(fā)動機(jī)。已知影響因素有：燃油種類(fuel)、壓縮比(cpratio)和等值比(eqratio)。其中，燃油種類(fuel)是多值名義變量，而氧化氮釋放量(nox)、壓縮比(cpratio)和等值比(eqratio)都是計(jì)量變量。該資料來自SAS軟件中的“幫助”數(shù)據(jù)庫，數(shù)據(jù)集名為：sashelp.gas。

試以“氧化氮釋放量(nox)”為因變量，以“燃油種類(fuel)、壓縮比(cpratio)和等值比(eqratio)”為自變量，創(chuàng)建一元多重回歸模型。

【說明】該實(shí)際問題和對應(yīng)的數(shù)據(jù)來源于“SAS/STAT的TRANSREG過程中的樣例及SASHELP數(shù)據(jù)庫，其數(shù)據(jù)集名為sashelp.gas”[1]。

2.2 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

利用以下SAS程序可以顯示該例的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：

proc print data=sashelp.gas;

run;

【燃油資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)】

ObsFuelCpRatioEqRatioNOx1Ethanol120.9073.7412Ethanol120.7612.2953Ethanol121.1081.4984Ethanol121.0162.8815Ethanol121.1890.760

以上顯示出數(shù)據(jù)集的前5個(gè)觀測，全部資料共171個(gè)觀測。其中，在結(jié)果變量nox上有兩個(gè)缺失值。

利用如下SAS程序可以顯示三個(gè)自變量(一個(gè)為多值名義自變量、一個(gè)為多值有序自變量、一個(gè)為定量自變量)及定量結(jié)果變量(nox)的頻數(shù)分布情況：

proc freq data=sashelp.gas;

tables fuel eqratio cpratio nox;

run;

【燃油種類的頻數(shù)分布】

Fuel頻數(shù)百分比累積頻數(shù)累積百分比82rongas95.2695.2694%Eth2514.623419.88Ethanol9052.6312472.51Gasohol137.6013780.12Indolene2212.8715992.98Methanol127.02171100.00

以上結(jié)果表明：共有6種燃油，其中，頻數(shù)最多的是“Ethanol”，涉及此種燃油的觀測共有90個(gè)。

【壓縮比的頻數(shù)分布】

Compression RatioCpRatio頻數(shù)百分比累積頻數(shù)累積百分比7.59354.399354.399179.9411064.33122414.0413478.36152011.7015490.0618179.94171100.00

以上結(jié)果表明：壓縮比只有5種，屬于“多值有序”變量(注意：以下簡稱為“定量變量”)。其中，頻數(shù)最多的是“7.5”，涉及此種壓縮比的觀測共有93個(gè)。

等值比(eqratio)與氧化氮釋放量(nox)的取值都很多，其頻數(shù)分布表此處從略；但利用下面的SAS程序可以顯示這兩個(gè)變量的頻數(shù)分布直方圖，同時(shí)，還可以對它們進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)：

proc univariate data=sashelp.gas normal;

var eqratio nox;

histogram eqratio nox/normal;

run;

【等值比的正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果】

正態(tài)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量PShapiro-WilkW0.969774PrD0.0941Cramer-von MisesW-Sq0.196943Pr>W-Sq0.0058Anderson-DarlingA-Sq1.289752Pr>A-Sq<0.0050

以上結(jié)果表明：等值比不服從正態(tài)分布。

等值比的頻數(shù)分布直方圖見圖1。由圖1可知，等值比呈“負(fù)偏態(tài)分布”

【氧化氮釋放量的正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果】

正態(tài)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量PShapiro-WilkW0.945485PrD<0.0100Cramer-von MisesW-Sq0.336953Pr>W-Sq<0.0050Anderson-DarlingA-Sq2.431071Pr>A-Sq<0.0050

以上結(jié)果表明：氧化氮釋放量不服從正態(tài)分布。

氧化氮釋放量的頻數(shù)分布直方圖見圖2。由圖2可知：氧化氮釋放量呈“正偏態(tài)分布”。

圖1 等值比的頻數(shù)分布直方圖 圖2 氧化氮釋放量的頻數(shù)分布直方圖

3 變量變換，為回歸建模做準(zhǔn)備工作

3.1 對“燃油種類(fuel)”這個(gè)6值名義自變量進(jìn)行啞變量變換[2]

選擇出現(xiàn)頻數(shù)最多的水平“Ethanol”為“基準(zhǔn)”，產(chǎn)生5個(gè)啞變量：g1到g5。實(shí)現(xiàn)此任務(wù)的SAS程序如下：

data a1;

set sashelp.gas;

g1=0;g2=0;g3=0;g4=0;g5=0;

if fuel=' 82rongas' then g1=1;

else if fuel=' 94%Eth' then g2=1;

else if fuel=' Gasohol' then g3=1;

else if fuel=' Indolene' then g4=1;

else if fuel=' Methanol' then g5=1;

run;

g1到g5分別代表：“是否為82rongas燃油”“是否為94%Eth燃油”“是否為Gasohol燃油”“是否為Indolene燃油”和“是否為Methanol燃油”。

3.2 產(chǎn)生派生變量[3]

在數(shù)據(jù)集a1基礎(chǔ)上增加由定量自變量派生出來的13個(gè)新變量，產(chǎn)生數(shù)據(jù)集a2。SAS程序如下：

data a2;

set a1;

x1=eqratio**2;x2=eqratio*cpratio;

x3=cpratio**2;x4=x1*eqratio;

x5=x3*cpratio;x6=x1*cpratio;

x7=x3*eqratio;x8=sqrt(eqratio);

x9=sqrt(cpratio);x10=log(eqratio);

x11=log(cpratio);x12=exp(eqratio);

x13=exp(cpratio);

run;

【說明】cpratio和eqratio是資料中兩個(gè)原始的定量自變量；x1、x4、x8、x10、x12分別是“eqratio”的平方變換、立方變換、平方根變換、自然對數(shù)變換和指數(shù)變換的結(jié)果；x3、x5、x9、x11、x13分別是“cpratio”的平方變換、立方變換、平方根變換、自然對數(shù)變換和指數(shù)變換的結(jié)果；x2是“eqratio”與“cpratio”的交叉乘積項(xiàng)；x6是“eqratio”的平方項(xiàng)與“cpratio”的交叉乘積項(xiàng)；而x7是“cpratio”的平方項(xiàng)與“eqratio”的交叉乘積項(xiàng)。

3.3 對定量因變量進(jìn)行5種變量變換

在數(shù)據(jù)集a2基礎(chǔ)上同時(shí)增加定量因變量的對數(shù)變換y1、平方根變換y2、指數(shù)變換y3、倒數(shù)變換y4和Logistic變換y5，產(chǎn)生數(shù)據(jù)集a3。SAS程序如下：

data a3;

set a2;

y1=log(nox);y2=sqrt(nox);y3=exp(nox);

y4=1/nox;y5=exp(nox)/(1+exp(nox));

run;

4 以“啞變量變換”為基礎(chǔ)的回歸建模

4.1 回歸建模策略概述

對一個(gè)“多值名義自變量”采取“啞變量變換”，以其為基礎(chǔ)，再分別選取定量因變量(nox)的6種不同“表現(xiàn)”為每次建模的“因變量”，并對定量自變量在“不做變量變換”和“引入13個(gè)派生變量”且分別在回歸模型中假定“包含截距項(xiàng)”與“不含截距項(xiàng)”的條件下，采取“前進(jìn)法”“后退法”和“逐步法”篩選自變量。

4.2 定量因變量(nox)的6種不同“表現(xiàn)”

定量因變量(nox)的6種不同“表現(xiàn)”分別是：①定量因變量(nox)，即對“定量因變量(nox)”不做變量變換；②定量因變量[y1=log(nox)]，即對“定量因變量(nox)”做自然對數(shù)變換；③定量因變量[y2=SQRT(nox)]，即對“定量因變量(nox)”做平方根變換；④定量因變量[y3=exp(nox)]，即對“定量因變量(nox)”做指數(shù)變換；⑤定量因變量(y4=1/nox)，即對“定量因變量(nox)”做倒數(shù)變換；⑥定量因變量{y5=exp(nox)/[1+exp(nox)]}，即對“定量因變量(nox)”做Logistic變換。

4.3 在定量因變量(nox)每種“表現(xiàn)”下找出4個(gè)“最優(yōu)回歸模型”

在定量因變量(nox)每種“表現(xiàn)”且分別在定量自變量“不做變換”與“引入派生變量”的條件下，再在回歸模型中假定“包含截距項(xiàng)”與“不含截距項(xiàng)”時(shí)，分別采取“前進(jìn)法”“后退法”和“逐步法”篩選自變量。這實(shí)際上就有“2×2×3=12”個(gè)回歸模型，它們分屬于4種情形：①“定量自變量不做變換”且假定“包含截距項(xiàng)”；②“定量自變量不做變換”且假定“不含截距項(xiàng)”；③“定量自變量做變換”且假定“包含截距項(xiàng)”；④“定量自變量做變換”且假定“不含截距項(xiàng)”。每種情形都涉及3種篩選自變量的方法，最多有3種不同的回歸模型，從中選取一個(gè)擬合最好的回歸模型。

所以，在每種特定的因變量條件下，就對應(yīng)著4個(gè)“最優(yōu)回歸模型”；故在因變量的6種條件下，一共有24個(gè)“最優(yōu)回歸模型”。見表1。

表1 反映24個(gè)多重回歸模型擬合優(yōu)度的計(jì)算結(jié)果

續(xù)表1：

第5組模型:對定量因變量做倒數(shù)變換170.0891 0.0781 0.37187 2.5112 2 有180.58300.5780 0.37923 2.2523 2 無190.8285 0.8199 0.0726513.5416 8 有200.9243 0.9185 0.0732018.7606 12 無第6組模型:對定量因變量做Logistic變換210.0856 0.0746 0.01436 7.06592 2 有220.9545 0.9525 0.03543 7.00000 7 無230.9539 0.9504 0.0007715.4067 12 有240.9991 0.9990 0.0007616.1852 16 無

注：第1組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量(nox)”；第2組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的自然對數(shù)變換結(jié)果(y1)”；第3組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的平方根變換結(jié)果(y2)”；第4組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的指數(shù)變換結(jié)果(y3)”；第5組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的倒數(shù)變換結(jié)果(y4)”；第6組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的Logistic變換結(jié)果(y5)”

5 擬合優(yōu)度評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與評價(jià)結(jié)果

5.1 回歸模型擬合優(yōu)度高低的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

一般來說，當(dāng)模型中包含的自變量數(shù)目相等且都包含截距項(xiàng)或都不含截距項(xiàng)時(shí)，R2值越大越好；此時(shí)，Cp值越接近自變量個(gè)數(shù)越好；當(dāng)保留在模型中的自變量個(gè)數(shù)相差較多時(shí)，在前述判斷方法基礎(chǔ)上，再加上“均方誤差”(越小越好)和“調(diào)整R2”(越大越好)，則更好。

5.2 基于“啞變量變換與其他變量變換”回歸建模效果的評價(jià)

5.2.1 第1組模型的擬合效果評價(jià)

第1組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量”，模型1與模型2都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型1假定包含截距項(xiàng)，而模型2假定不含截距項(xiàng)；模型3與模型4都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量及其13個(gè)派生變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型3假定包含截距項(xiàng)，而模型4假定不含截距項(xiàng)。由表1中前4行結(jié)果可知：模型2優(yōu)于模型1、模型4優(yōu)于模型3，即在相同情況下，假定不含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果優(yōu)于假定包含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果；進(jìn)一步比較可知：模型4優(yōu)于模型2，即引入派生變量的擬合結(jié)果優(yōu)于不引入派生變量的擬合結(jié)果。

5.2.2 第2組模型的擬合效果評價(jià)

第2組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的自然對數(shù)變換結(jié)果(y1)”，模型5與模型6都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型5假定包含截距項(xiàng)，而模型6假定不包含截距項(xiàng)；模型7與模型8都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量及其13個(gè)派生變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型7假定包含截距項(xiàng)，而模型8假定不包含截距項(xiàng)。由表1中第5～8行結(jié)果可知：模型6優(yōu)于模型5、模型8優(yōu)于模型7，即在相同情況下，假定不含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果優(yōu)于假定包含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果；進(jìn)一步比較可知：模型8優(yōu)于模型6，即引入派生變量的擬合結(jié)果優(yōu)于不引入派生變量的擬合結(jié)果。

5.2.3 第3組模型的擬合效果評價(jià)

第3組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的平方根變換結(jié)果(y2)”，模型9與模型10都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型9假定包含截距項(xiàng)，而模型10假定不包含截距項(xiàng)；模型11與模型12都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量及其13個(gè)派生變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型11假定包含截距項(xiàng)，而模型12假定不包含截距項(xiàng)。由表1中第9～12行結(jié)果可知：模型10優(yōu)于模型9、模型12優(yōu)于模型11，即在相同情況下，假定不含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果優(yōu)于假定包含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果；進(jìn)一步比較可知：模型12優(yōu)于模型10，即引入派生變量的擬合結(jié)果優(yōu)于不引入派生變量的擬合結(jié)果。

5.2.4 第4組模型的擬合效果評價(jià)

第4組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的指數(shù)變換結(jié)果(y3)”，模型13與模型14都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型13假定包含截距項(xiàng)，而模型14假定不包含截距項(xiàng)；模型15與模型16都是基于“5個(gè)啞變量加上2個(gè)定量自變量及其13個(gè)派生變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型15假定包含截距項(xiàng)，而模型16假定不包含截距項(xiàng)。由表1中第13～16行結(jié)果可知：模型14優(yōu)于模型13、模型16優(yōu)于模型15，即在相同情況下，假定不含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果優(yōu)于假定包含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果；進(jìn)一步比較可知：模型16優(yōu)于模型14，即引入派生變量的擬合結(jié)果優(yōu)于不引入派生變量的擬合結(jié)果。

5.2.5 第5組模型的擬合效果評價(jià)

第5組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的倒數(shù)變換結(jié)果(y4)”，模型17與模型18都是僅基于“3個(gè)定量自變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型17假定包含截距項(xiàng)，而模型18假定不包含截距項(xiàng)；模型19與模型20都是基于“3個(gè)定量自變量及其18個(gè)派生變量”進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型19假定包含截距項(xiàng)，而模型20假定不包含截距項(xiàng)。由表1中第17～20行結(jié)果可知：模型18優(yōu)于模型17、模型20優(yōu)于模型19，即在相同情況下，假定不含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果優(yōu)于假定包含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果；進(jìn)一步比較可知：模型20優(yōu)于模型18，即引入派生變量的擬合結(jié)果優(yōu)于不引入派生變量的擬合結(jié)果。

5.2.6 第6組模型的擬合效果評價(jià)

第6組模型對應(yīng)的因變量為“氧化氮釋放量的Logistic變換結(jié)果(y5)”，模型21與模型22都是僅基于3個(gè)定量自變量進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型21假定包含截距項(xiàng)，而模型22假定不包含截距項(xiàng)；模型23與模型24都是基于3個(gè)定量自變量及其18個(gè)派生變量進(jìn)行變量篩選，其區(qū)別在于模型23假定包含截距項(xiàng)，而模型24假定不包含截距項(xiàng)。由表1中第21～24行結(jié)果可知：模型22優(yōu)于模型21、模型24優(yōu)于模型23，即在相同情況下，假定不含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果優(yōu)于假定包含截距項(xiàng)的擬合結(jié)果；進(jìn)一步比較可知：模型24優(yōu)于模型22，即引入派生變量的擬合結(jié)果優(yōu)于不引入派生變量的擬合結(jié)果。

5.2.7各組模型中最優(yōu)模型擬合優(yōu)度總評價(jià)

從以上的“評價(jià)結(jié)果”可知：模型4、模型8、模型12、模型16、模型20和模型24分別是從6組模型中挑選出來的“最優(yōu)模型”，現(xiàn)將它們從表1中摘錄出來，以便直觀比較和判斷。見表2。

表2 各組挑選出來的6個(gè)“最優(yōu)”多重回歸模型擬合優(yōu)度的計(jì)算結(jié)果

由表2可知：模型24是6個(gè)“最優(yōu)”模型中“最佳”的。該模型的因變量為“氧化氮釋放量(nox)的Logistic變換結(jié)果(y5)”，從全部(5+2+13=20個(gè))自變量中篩選出了16個(gè)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的自變量，模型中不含截距項(xiàng)。具體計(jì)算結(jié)果如下：

方差分析源自由度平方和均方FPr > F模型16126.039047.8774410431.6<0.0001誤差1530.115540.00075515未校正合計(jì)169126.15458

變量參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差I(lǐng)I 型 SSFPr > Fg10.053670.009990.0217928.86<0.0001g30.060210.008660.0365048.33<0.0001g40.059570.007130.0527569.85<0.0001EqRatio2915.10929665.612980.0144819.18<0.0001CpRatio-932.92081221.155370.0134417.79<0.0001x1-591.67642128.766190.0159421.11<0.0001x2-0.096580.043720.003694.880.0287x329.765427.057010.0134317.79<0.0001x493.2702919.619880.0170722.60<0.0001x5-0.558000.132320.0134317.78<0.0001x60.072000.019400.0104013.770.0003x7-0.002270.001120.003074.070.0454x8-5597.266531310.349450.0137818.25<0.0001x93191.32640756.404990.0134417.80<0.0001x10785.94985188.216330.0131717.44<0.0001x136.991368E-71.657578E-70.0134317.79<0.0001

輸出以上結(jié)果的“SAS過程步程序”如下：

/*模型24：R2=0.9991,調(diào)整R2=0.9990，MSE=0.00075515,Cp=16.1852,niv=16，無截距項(xiàng)*/

proc reg data=a3;

model y5=g1-g5 eqratio cpratio x1-x13/noint

selection=backward sls=0.05 r;

/*模型24*/

run;

應(yīng)注意：全部啞變量共有5個(gè)(它們之間不是互相對立的)，采用篩選自變量的方法，保留下來其中的3個(gè)。嚴(yán)格地說，由一個(gè)多值名義自變量產(chǎn)生的全部啞變量應(yīng)當(dāng)同時(shí)被保留在回歸模型中或同時(shí)被排除出回歸模型，但這兩種結(jié)局都存在局限性；而將有關(guān)聯(lián)性的5個(gè)啞變量視為“獨(dú)立”的，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果保留其中的3個(gè)，這個(gè)結(jié)果也存在弊端。如何更妥善地處置“多值名義自變量”，將在本期科研方法專題后續(xù)文章中繼續(xù)討論。