王向東

“數(shù)與式”貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是同學(xué)們后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，也是中考的考查基礎(chǔ)，更是考查同學(xué)們的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的一個(gè)重要內(nèi)容載體。

考點(diǎn)一：數(shù)式基本運(yùn)算

例1（2018·貴州黔西南州）下列運(yùn)算正確的是（ ）。

A.3a2-2a2=a2

B.-（2a）2=-2a2

C.（a+b）2=a2+b2

D.-2（a-1）=-2a+1

【分析】本題涉及考點(diǎn)：整式的加、減、乘、除；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式。A利用合并同類項(xiàng)得：原式=a2；B利用積的乘方得：原式=-4a2；C利用完全平方公式得：原式=a2+2ab+b2；D利用去括號(hào)法則得：原式=-2a+2。

【答案】A。

【方法指導(dǎo)】本題考查了數(shù)與式基本運(yùn)算法則的正確使用，所以掌握整式運(yùn)算法則公式的基本形式是解題關(guān)鍵。

例2（2018·貴州安順）計(jì)算：-12018+ ||-2

【分析】本題先計(jì)算乘方、絕對(duì)值、三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計(jì)算加、減即可。

【答案】原式=-1+2-+-1+4=4。

【方法指導(dǎo)】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：①掌握乘方、絕對(duì)值性質(zhì)、三角函數(shù)值、零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；②掌握算理，有序運(yùn)算。

考點(diǎn)二：數(shù)式基本性質(zhì)

【分析】本題考點(diǎn)是分式和二次根式有意義的條件：分式中分母不為0、二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即x-3＞0。

【答案】x＞3。

【方法指導(dǎo)】對(duì)此類題，關(guān)鍵是理清定義成立（或有意義）的各種條件：分式中分母不為0、二次根式中被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)、方程中系數(shù)條件等。

例4（2018·四川巴中）已知=0，那么∠A+∠B=______

__。

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和二次根式的非負(fù)性，由sinA=得∠A=30°，由tanB=3 得∠B=60°，即可求出答案。

【答案】90°。

【方法指導(dǎo)】此類題的解決需要觀察其等式的結(jié)構(gòu)特征：有絕對(duì)值和二次根式，且其和為0，然后熟練運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)與化簡進(jìn)行計(jì)算。

考點(diǎn)三：數(shù)式的估算

例5（2018·江蘇南通）如圖1，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，O，C，D分別表示數(shù)-2，-1，0，1，2，則表示數(shù)2-的點(diǎn)P應(yīng)落在（ ）。

圖1

A.線段AB上 B.線段BO上

C.線段OC上 D.線段CD上

【分析】本題考點(diǎn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸、估算無理數(shù)的大小。根據(jù)2＜＜3，得到-1＜2-＜0，根據(jù)數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系解答。

【答案】B。

【方法指導(dǎo)】正確估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵，先從估算開始，根據(jù)數(shù)式的運(yùn)算順序估算其值。

考點(diǎn)四：因式分解及應(yīng)用

例6（2018·湖南郴州）因式分解：a3-2a2b+ab2=_______。

【分析】原式先提取公因式a，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可。

即原式=a（a2-2ab+b2）=a（a-b）2。

【答案】a（a-b）2。

【方法指導(dǎo)】熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵，步驟是“一提二套”，若有公因式，先提取公因式，再考慮用公式法分解，同時(shí)注意公式選用與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，最后要分解到不能再分解為止。

考點(diǎn)五：分式的化簡與求值

例7（2018·山東煙臺(tái)）先化簡，再求值：，其中x滿足x2-2x-5=0。

【分析】先把原式括號(hào)中的兩項(xiàng)通分，再利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把已知等式變形后整體代入計(jì)算即可求值。

由x2-2x-5=0，得到x2-2x=5，則原式=5。

【方法指導(dǎo)】熟練掌握運(yùn)算法則和順序、算理、整體代入思想的運(yùn)用是對(duì)該分式化簡求值的關(guān)鍵，同時(shí)要注意因式分解。代入求值時(shí)，要注意字母的取值范圍，分母和除數(shù)都不能為0。

考點(diǎn)六：數(shù)式的應(yīng)用

例8（2018·安徽）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布，2017年我省有效發(fā)明專利數(shù)比2016年增長22.1%。假定2018年的年增長率保持不變，2016年和2018年我省有效發(fā)明專利分別為a萬件和b萬件，則（ ）。

A.b=（1+22.1%×2）a

B.b=（1+22.1%）2a

C.b=（1+22.1%）×2a

D.b=22.1%×2a

【分析】根據(jù)后一年的專利數(shù)是在前一年的基礎(chǔ)上增加的，且每一年的專利增長率是一樣的，所以得到：2016年的有效發(fā)明專利數(shù)×（1+年平均增長率）2=2018年的有效發(fā)明專利數(shù)。

【答案】B。

【方法指導(dǎo)】厘清數(shù)量關(guān)系，列代數(shù)式，掌握兩次增長或下降之類方程的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。

例9（2018·河北）用一根長為a（單位：cm）的鐵絲，首尾相接圍成一個(gè)正方形，要將它按圖2的方式向外等距擴(kuò)1（單位：cm），得到新的正方形，則這根鐵絲需增加（ ）。

圖2

A.4cm B.8cm

C（.a+4）cmD（.a+8）cm

【分析】根據(jù)題意得出原正方形的邊長為cm，再得出新正方形的邊長為（+2）cm，繼而得出答案:需要增加的長度為4（+2）-a=a+8-a=8cm。

【答案】B。

【方法指導(dǎo)】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出新正方形的邊長。

例10（2018·浙江紹興）利用二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別。某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖3是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a、b、c、d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為a×23+b×22+c×21+d×20，如圖3第一行數(shù)字從左到右依次為0、1、0、1，序號(hào)為0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示該生為5班學(xué)生。

表示6班學(xué)生的識(shí)別圖案是（ ）。

圖3

【分析】面對(duì)圖形的變化規(guī)律類型題，只要根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算法則：a×23+b×22+c×21+d×20，分別計(jì)算出每個(gè)選項(xiàng)第一行的數(shù)即可。

【答案】B。

【方法指導(dǎo)】圖形的變化類問題的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意弄清題干規(guī)定的運(yùn)算規(guī)則，并將圖形的變化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字問題。