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        導(dǎo)數(shù)中的幾個(gè)不等價(jià)關(guān)系

        2019-03-27 06:01:52田曉東
        數(shù)理化解題研究 2019年7期
        關(guān)鍵詞:增函數(shù)切點(diǎn)過點(diǎn)

        田曉東

        (黑龍江省哈爾濱市第二十四中學(xué) 150060)

        由于學(xué)生初學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí),對(duì)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)、方法理解得不深不透,在解題時(shí)常易發(fā)生偏差.本文就幾個(gè)不等價(jià)關(guān)系作以簡(jiǎn)要分析.

        一、“f ′(x)>0”不等價(jià)于“f(x)是增函數(shù)”

        人教版普通高中課標(biāo)教科書選修2-2第23頁寫到:“在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.”該法則為判定函數(shù)的單調(diào)性提供了依據(jù).但在運(yùn)用該法則時(shí),也常出現(xiàn)問題.

        例1 判定函數(shù)f(x)=x-sinx在R上的單調(diào)性.

        錯(cuò)解求得f′(x)=1-cosx.

        可見當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí),f′(x)=0,不滿足判定法則,所以f(x)不是單調(diào)函數(shù).

        剖析上述結(jié)論是錯(cuò)誤的.事實(shí)上,f(x)是增函數(shù),可用定義加以證明.

        造成錯(cuò)解的原因是對(duì)單調(diào)性判定法則的理解發(fā)生偏差.由判定法則可知,若f′(x)>0,則必有f(x)是增函數(shù),但書中并沒有說不滿足f′(x)>0,f(x)就一定不是增函數(shù).實(shí)際上,僅在個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)f′(x)=0,但其余點(diǎn)都使f′(x)>0,那么f(x)仍是增函數(shù).如函數(shù)f(x)=x3,f′(x)=3x2,雖然f′(0)=0,但x≠0時(shí)都有f′(x)>0,所以f(x)=x3仍然是R上的增函數(shù).其實(shí)f′(x)>0是f(x)遞增的充分不必要條件.

        二、“f ′(x)=0”不等價(jià)于“f(x0)是極值”

        我們知道,對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f(x),若存在x0∈(a,b),使f(x0)是極值,那么必有f′(x0)=0.反之,若f′(x0)=0,那么f(x0)是否是極值呢?請(qǐng)看:

        例2 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10,求f(x)的解析式.

        錯(cuò)解求得f′(x)=3x2+2ax+b.依據(jù)題意有

        (1)當(dāng)a=4,b=-11時(shí),f(x)=x3+4x2-11x+16;

        (2)當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f(x)=x3-3x2+3x+9.

        剖析f′(x0)=0僅是f(x)在x=x0處取得極值的必要條件.

        正確解答應(yīng)在解得a,b值后,再進(jìn)一步考察x=x0左右導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)是否相反.

        x(-∞,-113)-113(-113,1)1(1,+∞)f ′(x)+0-0+f(x)↗極大↘極小↗

        (2)當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,不合題意,應(yīng)舍去.

        綜上,所求解析式是f(x)=x3+4x2-11x+16.

        三、“點(diǎn)P處的切線”不等價(jià)于“過點(diǎn)P的切線”

        導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.由此易得在點(diǎn)x0處的切線方程.但由于對(duì)該幾何意義理解得過于強(qiáng)化,反而造成解題失誤.

        例3 求過曲線y=x3-2x上的點(diǎn)A(1,-1)的切線方程.

        剖析過點(diǎn)A的切線不一定以點(diǎn)A為切點(diǎn).本題求的是“過點(diǎn)A的切線”,而不是“點(diǎn)A處的切線”.因而過點(diǎn)A,但不以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程也是符合題意的.

        點(diǎn)評(píng)當(dāng)點(diǎn)P在曲線上時(shí),求過點(diǎn)P的切線時(shí),要分兩種情況考慮:一是點(diǎn)P就是切點(diǎn);二是以曲線上另一點(diǎn)為切點(diǎn),而該切線恰好過點(diǎn)P.解題時(shí)千萬不要混淆了“點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”.

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