鄭向陽,張領(lǐng)科,符少波

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京210094;2.西安北方惠安化學(xué)工業(yè)有限公司,陜西 西安710300)

火炮的內(nèi)彈道設(shè)計(jì)是整個(gè)武器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心,設(shè)計(jì)的目標(biāo)是確定滿足指標(biāo)的裝填條件和膛內(nèi)構(gòu)造參數(shù)等。為了提高發(fā)射藥裝填密度,通常將粒狀發(fā)射藥表面用石墨處理增加光滑度[1]。因此,摩擦系數(shù)的測定對研究發(fā)射藥顆粒間摩擦系數(shù)對裝填密度的影響具有重要的意義。滑動(dòng)摩擦的研究和理論較為成熟,對于滾動(dòng)摩擦的研究和測量相對較少,如何測定滾動(dòng)摩擦系數(shù)是核心和重點(diǎn)[2]。

在顆粒摩擦系數(shù)研究中,離散單元法發(fā)揮了越來越重要的作用。Zhao等[3]通過離散單元法探討了滑動(dòng)摩擦系數(shù)及滾動(dòng)摩擦系數(shù)對堆積形成的影響,發(fā)現(xiàn)顆粒堆的形態(tài)是由滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦共同決定的;Nakashima等[4]得出顆粒的滾動(dòng)摩擦系數(shù)對沙堆堆積角起決定作用,兩者近似呈線性關(guān)系,受重力和顆粒半徑影響很小;Ai等[5]對比了各種滾動(dòng)阻力模型下模擬的沙堆堆積模型,認(rèn)為傳統(tǒng)的離散單元法將法向和切向的顆粒接觸簡化為阻尼和彈簧組合模型,對沙堆測量具有適用性;Ann-Sofie等[6]通過點(diǎn)源法模擬顆粒的堆積過程,得出顆粒間的滑動(dòng)和滾動(dòng)摩擦系數(shù)會(huì)對顆粒的流動(dòng)性和堆積角產(chǎn)生較大影響;李貝等[7]提出一種滾動(dòng)摩擦系數(shù)工程化測量方法,并通過對比實(shí)際堆積角與模擬堆積角,驗(yàn)證了測量的準(zhǔn)確性。

本文以表面涂有石墨的發(fā)射藥顆粒為研究對象,采用傳統(tǒng)的斜面儀來測量發(fā)射藥間的靜摩擦系數(shù)。對于滾動(dòng)摩擦系數(shù)的測定,基于離散單元法,模擬了一種點(diǎn)源式的堆積過程,獲得模擬堆積角與滾動(dòng)摩擦系數(shù)間的線性擬合方程,并基于實(shí)驗(yàn)堆積角進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定來確定滾動(dòng)摩擦系數(shù),最后通過二次模擬來驗(yàn)證所測參數(shù)的準(zhǔn)確性。

1 靜摩擦系數(shù)的測定

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

靜摩擦系數(shù)測量原理如圖1所示,A為可調(diào)節(jié)角度的斜面儀,為了測量物體B與A接觸面間的靜摩擦系數(shù)μs,將物體B放置在A的斜面上,調(diào)節(jié)斜面的角度,當(dāng)B剛好處于將要滑動(dòng)的狀態(tài)時(shí),記斜面與水平面間的夾角為α,則

式中:W為物體B所受的重力。

圖1 靜摩擦系數(shù)測量原理圖

1.2 實(shí)驗(yàn)方法

本實(shí)驗(yàn)采用如圖2(a)所示的斜面儀測量發(fā)射藥顆粒間的靜摩擦系數(shù)。該裝置包括:可調(diào)節(jié)支架、平板、雙面貼和發(fā)射藥顆粒。首先,將雙面貼粘貼在平板上,再選取圓柱形發(fā)射藥緊湊排列地粘貼在雙面貼上,如圖2(b)所示,再將平板放置在可調(diào)節(jié)支架上,通過可調(diào)節(jié)支架來調(diào)整平板的傾斜角,最后隨機(jī)選取幾粒梅花形發(fā)射藥放置在排列的圓柱形發(fā)射藥上(圓柱形與梅花形發(fā)射藥表面均為石墨材料,實(shí)驗(yàn)表明它們的靜摩擦系數(shù)近似相等),改變可調(diào)節(jié)支架的傾角使發(fā)射藥剛好處于有滑動(dòng)趨勢的狀態(tài),再用量角儀測量此時(shí)斜面儀的夾角。

圖2 靜摩擦系數(shù)測量實(shí)驗(yàn)圖

進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)測量并取平均值,得出斜面傾斜角為9°～9.5°,從而可得發(fā)射藥顆粒間靜摩擦系數(shù)μs為0.158～0.167。

2 滾動(dòng)摩擦系數(shù)的測定

目前,對非圓顆粒滾動(dòng)摩擦系數(shù)的測定還沒有準(zhǔn)確成熟的測量方法,當(dāng)顆粒的某參數(shù)未知時(shí),參數(shù)標(biāo)定的方法是一種有效便捷的研究手段,當(dāng)模擬過程中調(diào)節(jié)或擬合出的顆粒參數(shù)值符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí),可認(rèn)為該值為顆粒參數(shù)值。

文獻(xiàn)[8-9]通過改變斜面傾角測量出橢球形糙米顆粒的靜摩擦系數(shù),基于離散單元法模擬顆粒堆積過程,得出模擬堆積角與動(dòng)摩擦系數(shù)的線性關(guān)系,再運(yùn)用實(shí)驗(yàn)所測堆積角進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定;王云霞等[10]通過設(shè)計(jì)2種不同的玉米顆粒堆積實(shí)驗(yàn),分別測出堆積角,再經(jīng)過離散元模擬后得出2種實(shí)驗(yàn)各自的模擬堆積角與靜摩擦系數(shù)和滾動(dòng)摩擦系數(shù)的二元回歸方程,將實(shí)驗(yàn)所測堆積角分別代入各自方程,聯(lián)立計(jì)算出靜摩擦系數(shù)與滾動(dòng)摩擦系數(shù)。

本文基于上述學(xué)者的研究,采用離散單元法[11]模擬發(fā)射藥顆粒的堆積過程,測定發(fā)射藥顆粒間的滾動(dòng)摩擦系數(shù)。步驟如下:進(jìn)行發(fā)射藥顆粒堆積實(shí)驗(yàn),建立發(fā)射藥顆粒離散元模型,確定顆粒接觸模型,進(jìn)行離散元模擬和參數(shù)標(biāo)定,二次模擬驗(yàn)證。

2.1 發(fā)射藥顆粒堆積實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)了一種點(diǎn)源式的顆粒堆積實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)原理如圖3所示。

圖3 顆粒堆積實(shí)驗(yàn)原理示意圖

在平臺(tái)上方固定一漏斗,漏斗下口離地面約9 cm,在漏斗上口處傾倒發(fā)射藥顆粒,發(fā)射藥選用14/19梅花發(fā)射藥,顆粒在重力的作用下做自由落體運(yùn)動(dòng),從漏斗下口處流出,逐漸在平臺(tái)上形成顆粒堆,然后測量顆粒堆的堆積角。為了排除發(fā)射藥顆粒與平臺(tái)之間的摩擦對顆粒堆形態(tài)產(chǎn)生的影響,事先在平臺(tái)上鋪滿了一層發(fā)射藥顆粒,這樣,顆粒的堆積可視為只有顆粒之間產(chǎn)生了堆積摩擦。形成的顆粒堆如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)顆粒堆

在測量顆粒堆堆積角時(shí)采用GetData圖像處理獲得邊界輪廓線,并獲取擬合方程,得到方程的斜率k,如圖5所示,圖中,x,y為圖像的像素點(diǎn)。

圖5 邊界輪廓圖像處理

令堆積角為θ,則

(1)

處理后得到的實(shí)驗(yàn)堆積角θ=23.46°。

2.2 發(fā)射藥顆粒離散元模型

本文以實(shí)驗(yàn)中的14/19梅花發(fā)射藥顆粒為研究對象,模擬所需的發(fā)射藥物性參數(shù)來自參考文獻(xiàn)[12],如表1所示,藥型參數(shù)數(shù)據(jù)由工廠提供,如表2所示,表中,ν為發(fā)射藥泊松比;ρ為發(fā)射藥密度;G為發(fā)射藥剪切模量;μs為發(fā)射藥間靜摩擦系數(shù);e為發(fā)射藥間恢復(fù)系數(shù);d0,e2,2c分別為發(fā)射藥孔徑、弧厚和長度。

表1 模擬所需材料物性參數(shù)

表2 14/19梅花發(fā)射藥藥型參數(shù)

EDEM為目前功能最強(qiáng)大、應(yīng)用最廣泛的離散元建模模擬軟件[13],可導(dǎo)入SolidWorks所建立的發(fā)射藥三維模型,以此為顆粒模板建立發(fā)射藥離散元模型。根據(jù)表2藥型參數(shù)建立的SolidWorks三維模型如圖6所示,離散元模型如圖7所示。

圖6 14/19梅花發(fā)射藥三維模型

圖7 14/19梅花發(fā)射藥離散元模型

目前EDEM通過選用多個(gè)球形顆粒填充顆粒模板的方式來建立顆粒離散元模型,因此所建立的離散元模型與顆粒模板存在一定的差異,但顆粒模板對離散元模型的建立起著重要的約束和規(guī)劃作用。

2.3 顆粒接觸模型與離散單元法

發(fā)射藥顆粒模型視為軟球模型[11],即模擬顆粒間的碰撞過程時(shí),視碰撞發(fā)生在一小段時(shí)間范圍內(nèi),半徑分別為R1和R2的顆粒發(fā)生了接觸碰撞,顆粒間碰撞面產(chǎn)生的法向重疊量為δn,接觸半徑為Ra,如圖8所示。再由接觸模型公式計(jì)算得到接觸力F和接觸力矩T,即力-位移關(guān)系。

圖8 軟球模型

發(fā)射藥顆粒視為非粘連顆粒,基于以上假設(shè),顆粒的接觸模型采用Hertz-Mindlin無滑動(dòng)接觸模型[14-15],如圖9所示。該模型將顆粒間在接觸點(diǎn)的碰撞分解到法向和切向2個(gè)方向,接觸力簡化為彈簧和阻尼器的并聯(lián),Kn和Kt分別為法向和切向彈性系數(shù),dn和dt分別為法向和切向的阻尼系數(shù)。

圖9 接觸力學(xué)模型

顆粒在堆積過程中主要受自身重力mig,顆粒間法向、切向碰撞接觸力Fn,Ft,法向、切向阻尼力Fn,d,Ft,d,還受切向力造成的力矩和滾動(dòng)摩擦力矩Tt和Tr,根據(jù)牛頓第二定律,得到顆粒的運(yùn)動(dòng)方程:

(2)

在上述力和力矩的作用下顆粒發(fā)生移動(dòng)和滾動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中顆粒所受到的力和力矩[13]如下。

法向接觸力:

式中:E*為等效彈性模量;Ei,Ej分別為顆粒i,j的彈性模量;νi,νj分別為顆粒i,j的泊松比;R*為等效顆粒半徑;Ri,Rj分別為顆粒i,j的半徑。

法向阻尼力:

式中:

式中:β為與恢復(fù)系數(shù)e相關(guān)的參數(shù),kn為法向彈性系數(shù),m*為等效質(zhì)量,vn,rel為法向相對速度。

切向接觸力:

Ft=-ktδt

式中:

式中:kt為切向彈性系數(shù),δt為切向重疊量,G*為等效剪切模量。

南水北調(diào)中線工程渠漳古段SG3標(biāo)道樁號74+660至75+095段屬于I型（輕微）—II（中等）級濕陷性黃土場地。該段渠道筑堤工程早已完成施工，后發(fā)現(xiàn)該段黃土地基具有濕陷性，不僅在南水北調(diào)工程中具有代表性，在其他水利工程中特別是處理舊有渠道地基問題上也具有廣泛的代表性。由于該段屬于筑堤完成后發(fā)現(xiàn)黃土的濕陷性，且該段筑堤高度在原地面以上均超過了6m，選擇方案時(shí)面臨著巨大的土方工程量增加的困難，加之南水北調(diào)中線工程工期和工地周邊土源緊張導(dǎo)致外購?fù)晾щy，給解決該地基問題帶來了諸多制約因素。

切向阻尼力:

式中:vt,rel為切向相對速度。

力矩:

Tt=Ri×(Ft+Ft,d)
Tr=-μrFnRiωi

式中:μr為滾動(dòng)摩擦系數(shù),Ri為顆粒半徑,ωi為顆粒在接觸點(diǎn)處的單位角速度向量。

利用中心差分對式(2)進(jìn)行數(shù)值積分得到顆粒的更新速度:

(3)

式中:Δt為時(shí)間步長。

對式(3)進(jìn)行積分得到時(shí)間步長結(jié)束時(shí)的位移:

(4)

由此得到顆粒新的位移值,將該位移值代入力-位移關(guān)系中便可計(jì)算顆粒所受新的作用力?；谂ｎD第二定律,新的作用力便用于求解下一時(shí)間步長顆粒新的位移值,如此進(jìn)行循環(huán)計(jì)算,便可實(shí)現(xiàn)對顆粒運(yùn)動(dòng)的跟蹤,這便是離散單元法的基本求解過程,如圖10所示。

圖10 離散單元法計(jì)算循環(huán)

2.4 離散元模擬與參數(shù)標(biāo)定

模擬方法和過程與實(shí)驗(yàn)應(yīng)盡量保證一致,如圖11所示,漏斗上口處為在EDEM中創(chuàng)建的顆粒工廠[13],用于生成發(fā)射藥顆粒的離散元模型。將顆粒工廠設(shè)置為生成位置隨機(jī)的14/19梅花發(fā)射藥顆粒,顆粒在重力的作用下做自由落體運(yùn)動(dòng),最終落在地面上,逐漸形成顆粒堆。在模擬中所建立的漏斗模型與圖3中實(shí)驗(yàn)所用的漏斗形狀尺寸完全相同。實(shí)驗(yàn)中所傾倒的發(fā)射藥總質(zhì)量為2 kg,14/19梅花發(fā)射藥單個(gè)顆粒質(zhì)量約為1.36 g,因此,顆粒工廠大約生成1 500個(gè)顆粒。

圖11 模擬過程

為了分析滾動(dòng)摩擦系數(shù)μr對模擬堆積角θ的影響,μr分別取0.04,0.06,0.08,0.10,其余參數(shù)取值均相同;靜摩擦系數(shù)μs取實(shí)驗(yàn)測量值0.16。通過模擬獲得不同μr對應(yīng)的模擬顆粒堆,如圖12所示。

圖12 不同μr的模擬顆粒堆

對圖12(a)～12(d)的顆粒堆進(jìn)行邊界輪廓圖像處理,獲取模擬堆積角。為了提高模擬堆積角測量的精度,對顆粒堆4個(gè)方向(x,y軸正、負(fù)方向)的邊界輪廓進(jìn)行圖像處理再取其斜率|k|的均值,結(jié)果如表3所示。

表3 斜率擬合結(jié)果

表3中μr對應(yīng)的模擬堆積角θ分別為21.8°,22.7°,23.8°,24.6°,可見隨著顆粒滾動(dòng)摩擦系數(shù)的增大,顆粒堆的堆積角近似呈線性增大趨勢,比較符合Nakashima的研究結(jié)果。將μr與θ的值進(jìn)行線性擬合得到擬合方程:

θ=47.5μr+19.9

(5)

實(shí)驗(yàn)中所測堆積角θ=23.46°,將其代入到式(5)中,得到滾動(dòng)摩擦系數(shù)μr=0.076。

2.5 二次擬合

為了對該標(biāo)定值進(jìn)行驗(yàn)證,取發(fā)射藥顆粒的滾動(dòng)摩擦系數(shù)μr=0.076,其他參數(shù)取值不變,進(jìn)行堆積過程的二次模擬,結(jié)果如圖13所示,由圖13可得模擬顆粒堆與圖4實(shí)驗(yàn)顆粒堆的形態(tài)十分相似。

圖13 二次模擬顆粒堆

為了對比結(jié)果的相似程度,對圖13顆粒堆的邊界輪廓進(jìn)行圖像處理,得到的模擬堆積角約為23.61°,接近實(shí)驗(yàn)值23.46°,說明參數(shù)標(biāo)定法測量滾動(dòng)摩擦系數(shù)可行,同時(shí)也是一種有效便捷的研究手段。

3 模塊裝填模擬

為了探究發(fā)射藥顆粒間摩擦系數(shù)對裝填密度的影響,將摩擦系數(shù)取不同值,對口徑為122 mm的模塊進(jìn)行發(fā)射藥裝填模擬。模塊裝藥為目前大口徑火炮裝藥技術(shù)的發(fā)展方向,裝填密度的計(jì)算主要基于每個(gè)模塊的裝藥量,而模塊的裝藥量主要取決于模塊形狀、發(fā)射藥的藥形、摩擦系數(shù)和裝填狀態(tài)等。因此,運(yùn)用EDEM進(jìn)行裝填過程的模擬,應(yīng)保證除摩擦系數(shù)外的其他因素相同,裝填狀態(tài)初步設(shè)為自然裝填,未發(fā)生振動(dòng)。此外,還需建立模塊的幾何模型,模塊為圓柱形容器,經(jīng)實(shí)驗(yàn)測量,口徑為122 mm,高度為150 mm,如圖14所示。

圖14 口徑為122 mm的模塊

建立的模塊幾何模型如圖15所示,模型上方的圓柱形區(qū)域?yàn)轭w粒工廠,用于生成發(fā)射藥顆粒的離散元模型。生成的顆粒模型在重力的作用下做自由落體運(yùn)動(dòng),最終落到模塊容器中,直至裝滿模塊,以此來模擬自然裝填過程。最后根據(jù)裝滿模塊所需生成發(fā)射藥顆粒的數(shù)量及單顆發(fā)射藥顆粒的質(zhì)量,來近似計(jì)算模塊的裝藥量和裝填密度。

顆粒工廠生成的是14/19梅花發(fā)射藥模型。模擬時(shí)將發(fā)射藥顆粒間靜摩擦系數(shù)μs取實(shí)驗(yàn)測量值0.16,滾動(dòng)摩擦系數(shù)μr取標(biāo)定值0.076。當(dāng)發(fā)射藥裝滿模塊時(shí),模擬結(jié)果如圖16所示,大約需要1 220個(gè)顆粒,經(jīng)實(shí)驗(yàn)測量得到的單顆平均質(zhì)量約為1.36 g,可得此時(shí)的裝藥量約為1.660 kg。

圖15 模塊幾何模型及模擬過程

圖16 裝滿發(fā)射藥的模塊

為了探究摩擦系數(shù)對裝填密度的影響,改變?chǔ)蘳與μr的值,其他模擬條件不變,模擬模塊裝滿發(fā)射藥所需的顆粒數(shù)(裝藥量)。實(shí)驗(yàn)中所選取的發(fā)射藥顆粒表面已涂有石墨材料,比較光滑,因此可將μs與μr的值調(diào)大,來模擬顆粒表面比較粗糙時(shí)(可視為未涂有石墨材料)的情況。

先將μs的值調(diào)大,取模擬值0.4,μr的值不變,重復(fù)模擬過程。考慮到若生成原有顆粒數(shù)1 220時(shí)可能產(chǎn)生較多的顆粒溢出,因此設(shè)置顆粒工廠先生成1 155個(gè)顆粒,觀察模擬結(jié)果,如圖17所示。

圖17 μs調(diào)大后的模擬結(jié)果

可見,當(dāng)μs的值調(diào)大后,雖然生成的顆粒數(shù)比之前少了,但發(fā)射藥依然裝滿了模塊,甚至略有溢出。

再將μr的值調(diào)大,取模擬值0.2,μs不變,取模擬值為0.4,當(dāng)同樣生成1 155個(gè)顆粒時(shí),觀察模擬結(jié)果,如圖18所示。

可見,當(dāng)μr的值調(diào)大后,同樣生成1 155個(gè)顆粒時(shí),模塊所裝發(fā)射藥的狀態(tài)較之前顯得更加飽滿,且有部分顆粒溢出。

圖18 μr調(diào)大后的模擬結(jié)果

在發(fā)射藥自然裝填模塊的模擬中,可以觀察到,通過改變?chǔ)蘳與μr的值,模塊裝滿發(fā)射藥的模擬結(jié)果產(chǎn)生了較大的差異。顆粒間的摩擦系數(shù)較小時(shí),模塊可以裝更多的發(fā)射藥顆粒,即裝藥量和裝填密度比較大;當(dāng)摩擦系數(shù)調(diào)大后,由于顆粒表面的粗糙程度加大,模塊的裝藥量也隨之產(chǎn)生了明顯的下降,這說明摩擦系數(shù)對裝填密度的影響是一個(gè)不可忽略的因素。

4 結(jié)論

①模擬結(jié)果與所設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果較接近,這說明了模擬中顆粒的物性參數(shù)、離散元模型和接觸模型等選擇的合理性。

②SolidWorks所建立的發(fā)射藥三維模型可導(dǎo)入到EDEM中,作為顆粒模板為顆粒離散元模型的建立起著重要的約束和規(guī)劃作用。

③發(fā)射藥顆粒堆積實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果說明,顆粒堆積角隨著顆粒間滾動(dòng)摩擦系數(shù)的增大而增大,二次擬合驗(yàn)證了參數(shù)標(biāo)定法測量滾動(dòng)摩擦系數(shù)的可行性。

④對模塊裝填的模擬初步揭示了發(fā)射藥顆粒間的摩擦系數(shù)對裝填密度的影響,結(jié)果表明,隨著摩擦系數(shù)的增大,模塊所裝發(fā)射藥的顆粒數(shù)越小,裝填密度越小,說明摩擦系數(shù)對裝填密度的影響是一個(gè)不可忽略的因素。