李宏宇,王旭剛,華思雨

(南京理工大學 能源與動力工程學院,江蘇 南京 210094)

制導炮彈的出現(xiàn)使“戰(zhàn)爭之神”的火炮具有縱深精確打擊高附加值點目標的能力,大大加強了火炮的壓制水平和毀傷能力。近年來,作戰(zhàn)領域越來越廣,制導要求越來越多,為達到“遠、準、狠”的要求,眾多國內(nèi)外學者對制導律展開了研究[1-2]。末制導炮彈制導最重要的作戰(zhàn)指標就是達到理想的落點與落角,但是在末制導過程中有許多其他因素限制,如末制導炮彈自身決定的最大可用過載、導引頭視線角限制、攻角約束等限制,使得制導效果難以實現(xiàn),所以為達到好的制導效果,多約束下末制導律的研究勢在必行。

文獻[3]在目標函數(shù)中用罰函數(shù)代替終點限制條件,推導出一種能命中目標并保證大落角的最優(yōu)制導律;文獻[4]在實現(xiàn)具有指定碰撞角和零終端脫靶量的最優(yōu)制導律的同時討論了初始航向角的影響,給出了初始航向角和末次迎角的捕獲區(qū)域;文獻[5]推導了一種特定沖擊角和零終端脫靶量的最優(yōu)制導律,提出了考慮路徑曲率的實用時間計算方法;文獻[6]提出了一種恒速導彈對靜止目標的脫靶量和沖擊角終端約束的最優(yōu)制導律,提出剩余時間加權函數(shù),通過改變權數(shù)來改變彈道軌跡;文獻[7]提出了一種關于剩余彈目相對距離加權函數(shù)的帶落角約束的末制導方法。

為增強制導律的精確性,本文根據(jù)文獻[7],將剩余相對距離的權函數(shù)加入到制導律推導中,改變權數(shù)可以改變制導炮彈的運動軌跡,隨著權數(shù)的增大,運動軌跡變彎曲,制導時間增長,增大制導空間及時間,有利于提高制導律的精確度,達到更精確的落角、落點等要求。但軌跡過于彎曲會帶來過載以及導引頭視線角等約束問題,對此本文提出在導引頭視線約束與過載約束下的最優(yōu)末制導律,在文獻[7]的基礎上通過變權法解決大權數(shù)帶來的過載及導引頭視線角約束問題。理論上最優(yōu)末制導律能實現(xiàn)很好的打擊效果,但在實際工程應用中,制導炮彈不可避免地會受到各種擾動的影響,飛行中受到風、溫度、氣流變化等外界因素的干擾和空氣動力變化的影響,同時導引頭/慣導的測量信息和估計信號存在偏差和噪聲,在這些干擾和攝動的作用下,彈目運動方程不可避免地存在著參數(shù)的不確定性[8],這種情況單純使用最優(yōu)制導律會發(fā)生較大且不可估計的誤差,所以為了增強最優(yōu)末制導律的魯棒性,在最優(yōu)末制導律的基礎上引入滑模變結構控制理論。

1 動力學模型

本文研究的制導炮彈的攻擊目標一般為靜止或運動速度不超過25 m/s,所以本文中假設目標靜止,以末制導階段開始時刻制導炮彈M在目標T所在水平面內(nèi)投影點為原點O,投影線為Oy軸,原點與目標的連線為Ox軸,彈目相對幾何關系如圖1所示[9],圖中,r為彈目相對視線距離;v,a分別為制導炮彈的速度和加速度;θ為俯仰角;σ為導引頭視線角;q為彈目視線連線角;θf為末端約束角。

根據(jù)圖1彈目基本關系,可得非線性運動學方程組[10]:

(1)

制導炮彈的狀態(tài)方程一般可用狀態(tài)空間方程組表示:

(2)

式中:x=(x1x2…xn)T,表示狀態(tài)矩陣;A,B為系數(shù)矩陣;u為控制矩陣。

圖1 彈目基本幾何關系

本文取狀態(tài)變量為:x1=σ,x2=θ;控制變量為:u=a,假設σ很小,且σ<π/2,(t∈[t0,tf]),其中,t0為末制導開始時刻,tf為末制導結束時刻,通常取t0=0,tf即為末制導時間。將狀態(tài)變量轉化為對彈目相對距離的函數(shù),可得到狀態(tài)方程:

(3)

假設初始時刻t=0的狀態(tài)量為r=r0，末端時刻t=tf時,r=0,則以r為變量,彈目相對距離的邊界條件為

x1(r0)=σ0,x2(r0)=θ0,x1(0)=σf,x2(0)=θf

(4)

式中:r0為狀態(tài)量,下標0表示初始時刻狀態(tài)值,f表示末端時刻狀態(tài)值。

2 剩余行程加權最優(yōu)制導法

制導炮彈末制導段炮彈法向過載與攻角之間近似滿足關系式[11]:

ny=(v/g)a4α

(5)

式中:α為攻角,a4為系數(shù)。

從式(5)中可看出過載與攻角成正比。本文在小攻角的情況下進行研究。一般帶落角約束的最優(yōu)末制導律的加速度指令基本呈線性變化,制導開始一瞬間或擊中目標瞬間加速度指令達到最大。將距離權數(shù)的倒數(shù)加入到性能指標方程中,可使制導在開始階段的加速度指令增大。所以最優(yōu)制導指令中加入權函數(shù)后加速度先增大后減小,最后慢慢收斂到0,隨之攻角也收斂到0。

將距離加權函數(shù)加入到最優(yōu)制導律推導過程中,通過改變權數(shù)改變制導炮彈的運動軌跡、運動時間,改變制導結果。

能量最優(yōu)的性能指標方程:

(6)

式中:M(r)表示正權函數(shù)。

M(r)=1/rN

(7)

式中:N≥0,表示制導增益,即權數(shù)。

用變分法求解[12]。構造哈密頓函數(shù):

(8)

式中:λ1,λ2表示共態(tài)變量。

協(xié)態(tài)方程:

(9)

極值條件:

-?H/?u=a/rN-λ1/v2-λ2/v2=0

(10)

末端約束方程:

ψ[x(tf),tf]=x2(tf)-θf=0

(11)

橫截條件:

(12)

式中:γ1,γ2為待定拉格朗日乘子,不變分。

結合式(9)和式(12)得:

λ1=γ3r,λ2=γ2

(13)

式中:γ3為關于r的待定函數(shù)。

將式(13)代入式(2)積分,得到σ,θ表達式,再分別代入式(4)的初態(tài)、末態(tài),可得到γ2,γ3表達式,將其代入式(10)整理得[7]:

(14)

tgo=r/(vcosσ)≈r/v

(15)

式中:tgo表示剩余制導時間。

將式(15)代入式(13)得:

(16)

3 分段制導

加權最優(yōu)制導律中,增大權數(shù)可以使制導炮彈的軌跡明顯變彎曲,制導時間加長,給制導更多的時間與運動范圍,使制導精度增大。但是由于制導炮彈與導引頭本身的特性限制,軌跡過于彎曲會引起過載超載以及導引頭視線丟失,導致制導失敗[13]。所以,為了既滿足過載與導引頭視線角的約束又增強制導效果,本文采用分段制導法,加入權函數(shù)之后,加速度以及導引頭視線角在初始階段達到最大再逐漸收斂到0。最大值在前期達到,所以先采用小的權數(shù)的制導律,滿足過載以及導引頭視線角約束,后期再轉換成大的權數(shù),提高制導精度:

(17)

式中:N1,N2分別代表制導過程中不同階段的不同權數(shù);rc為末制導律轉化點,即r=rc時轉換末制導律。

為了不同權數(shù)的制導律轉換的平滑性,設2個權數(shù)不同的制導律過載相等的點為轉換點,即aN1(rc)=aN2(rc)。

4 加權最優(yōu)滑模制導律

最優(yōu)制導律在理論上可以很好地滿足制導精度,但是在制導炮彈的實際工作中,由于制導環(huán)境的不確定性,制導過程中或多或少存在一定的干擾,所以為增強制導炮彈的魯棒性,在最優(yōu)控制理論基礎上加入滑?？刂撇呗运枷?構造適當?shù)幕Ｆ矫婧挖吔?得到一種既滿足脫靶量、落角等多約束條件又有較強魯棒性的最優(yōu)滑模制導律[14]。

(18)

式中:k1為常數(shù)。將式(14)代入式(2)得到:

(19)

根據(jù)文獻[15],構造最優(yōu)滑模趨近律的一般模式:

(20)

式中:ε為趨近律微分方程中的系數(shù)。

將式(14)、式(17)代入式(2)得:

(21)

下面根據(jù)Lyapunov理論證明所推導制導律的穩(wěn)定性[13]。要使s→0,設v=s2/2,

(22)

因為x1,x2有界,所以設|x1x2|≤Δ6,θ,|x2|≤Δθ,等式右邊第二項一定不小于0,所以有:

(23)

ε<-[(N+2)(N+3)Δ6,θ]/(vΔθ)

(24)

5 模擬仿真

5.1 不同權數(shù)的最優(yōu)制導律

取權數(shù)N為0～4進行對比仿真,初始條件下,制導炮彈速度為300 m/s,相對末制導初始時刻制導炮彈相對坐標為(0,3 000)(單位:m),目標相對坐標為(5 000,0)(單位:m),初始彈道角θ0=0°,末端落角約束θf=-75°,仿真結果如表1和圖2～圖4所示。

表1 不同權數(shù)最優(yōu)制導律的制導效果

圖2 不同權數(shù)制導炮彈運動軌跡

從表1可以看出,隨著權數(shù)的增大,制導時間增長,制導精度增加,脫靶量明顯減小。從圖2可以看出,隨著權數(shù)的增大,制導炮彈的運動軌跡越來越彎曲。由圖3、圖4可看出,隨著權數(shù)的增大,導引頭視線角與過載越來越大。在實際應用中,導引頭最大視線角與制導炮彈可用過載都是有限制的?？捎眠^載為加速度除以重力加速度,本文定義約束分別為σmax=π/2和ny,max=5。有了約束的限制,權數(shù)的選擇就有了限制。為了既加強制導精度又滿足約束限制,可采用分段制導律。

圖3 不同權數(shù)制導炮彈的導引頭視線角

圖4 不同權數(shù)制導炮彈的過載

5.2 分段制導律

由圖2、圖3可看出,視線角與過載均先增大,在前期達到最大值后逐漸遞減到0,所以為滿足過載以及導引頭視線角約束,采用分段制導,在前段采用過載與視線角均在約束范圍內(nèi)的權數(shù)較小的制導律,當過載與視線角減小足夠的小值后,轉換為權數(shù)較大的制導律。初始條件見5.1,仿真結果如表2及圖5～圖8所示。

表2 不同制導律在干擾下的制導效果

圖5 不同權數(shù)及分段制導律的軌跡對比

圖6 不同權數(shù)及分段制導律的過載對比

圖7 不同權數(shù)及分段制導律的導引頭視線角對比

圖8 不同權數(shù)及分段制導律的彈道傾角對比

從圖5可以看出,在制導律轉換點明顯存在彎曲,弧度變大。由圖6、圖7可以得出,在轉換點加速度與視線角均增大,但是由于基數(shù)小,變化后依然在允許范圍內(nèi)。由圖8可知,在轉換制導律后,依然可以很好地達到落角約束。

5.3 滑模最優(yōu)分段制導律

圖9 干擾下不同制導律過載對比

由圖9可以看出,在高斯白噪聲的干擾下,滑模最優(yōu)末制導律的過載曲線相對更圓滑,即制導更加穩(wěn)定;由表2可知,滑膜最優(yōu)末制導律的脫靶量與落角均優(yōu)于最優(yōu)末制導律,魯棒性增強。

6 結束語

本文為穩(wěn)定末制導律的制導效果,在末制導過程中考慮導引頭視線角約束與過載約束,在加權最優(yōu)末制導律上加入分段制導思想,實現(xiàn)約束。經(jīng)仿真可看出,本文推導的分段制導可以達到既滿足視線角與可用過載的約束又增加精確度的要求。針對最優(yōu)末制導律魯棒性較差的不足,結合滑模變結構控制理論,在設計推導過程中加入了滑模項,使制導律具有魯棒性,仿真結果也驗證了其良好的魯棒性。