洪海蓮，馬 豪, 顏慧賢，林俊武，王宗篪

(三明學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 三明 365004)

單擺是一種重要的物理模型，但是在大學(xué)物理教學(xué)中，只考慮理想的單擺模型，即擺動(dòng)角，這是因?yàn)楫?dāng)單擺做小角度擺動(dòng)時(shí)，存在的近似，此時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)的微分方程可以認(rèn)為是線性方程，單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可求得單擺的精確解。在實(shí)際應(yīng)用中，擺動(dòng)角在很多情況下，如果仍然套用線性方程的公式進(jìn)行計(jì)算，誤差很大，同時(shí)也不利于學(xué)生對(duì)大角度擺角問(wèn)題的理解。

目前，研究大角度擺角問(wèn)題的方法主要有相平面法、線性內(nèi)插法、疊代法等，上述方法基本都是將大角度時(shí)的非線性方程轉(zhuǎn)化為易于處理的新變量非線性方程，再用較為復(fù)雜的貝塞爾函數(shù)或者橢圓函數(shù)來(lái)構(gòu)成方程的逼近解，這些方法確定的解析解的逼近精度不高，同時(shí)，對(duì)這些復(fù)雜解的理解仍然存在很大困難。

本文首先應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，用微擾法分析非線性方程，求出周期、圓頻率和振動(dòng)的表達(dá)式，結(jié)果表明大角度擺角的振動(dòng)為基波與三次諧波的疊加。再用數(shù)據(jù)可視化極高的Matlab軟件，模擬非線性方程的微擾解，同時(shí)與理想單擺模型的精確解進(jìn)行比較，得出誤差，從而用更加簡(jiǎn)化、直觀的方式滿足學(xué)生對(duì)大角度單擺理論的理解。

1 大角度單擺微擾解的確定

設(shè)擺球的質(zhì)量為m，擺線的質(zhì)量忽略，其長(zhǎng)度為l，由牛頓第二定律可以計(jì)算出單擺的微分方程為：

(1)

一般認(rèn)為在擺動(dòng)角很小的情況下，θ≤5°，存在θ≈sinθ，此時(shí)公式(1)簡(jiǎn)化為：

(2)

但是超過(guò)這個(gè)擺動(dòng)角的范圍，即θ>5，θ≈sinθ近似不成立，兩者之間存在較大誤差，非線性方程(1)的解很難求出。采用微擾法可以給出該方程的形式解，首先將做級(jí)數(shù)展開(kāi)，如下：

同時(shí)，再畫出公式(12)、(13)在擺動(dòng)角振幅不同情況下的三次諧波和五次諧波系數(shù)ξ，ξ'如圖2

圖2 單擺三次諧波和五次諧波微擾

由圖可以看出，三次諧波的系數(shù)為負(fù)值，這與正弦泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)前為負(fù)號(hào)一致，其取值范圍在10-2～10-3之間，而五次諧波的系數(shù)為正值，這與正弦泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)前為正號(hào)一致，其取值范圍在10-4數(shù)量級(jí)，可見(jiàn)，高次諧波貢獻(xiàn)較小，在大角度擺角范圍，三次諧波是基波強(qiáng)度的1/100倍，五次諧波是三次諧波的1/100倍，并且在范圍內(nèi)ξ'幾乎為零，這意味著擺動(dòng)角在區(qū)間，形式解展開(kāi)到三次諧波范圍精確度已經(jīng)很高，并且在內(nèi)，ξ幾乎為零，這表明在小角度范圍內(nèi)，，單擺可以看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，單擺運(yùn)動(dòng)方程的解只包括基波余弦項(xiàng)，不存在高次諧波項(xiàng)。

3 結(jié)論

本文引入微擾方法，推導(dǎo)了單擺的微擾形式解，目的在于將單擺非線性方程簡(jiǎn)化，得到簡(jiǎn)單易于理解的結(jié)果，避免了對(duì)橢圓積分復(fù)雜解的解析，利于對(duì)單擺問(wèn)題的理解。本文同時(shí)利用計(jì)算功能Matlab軟件，對(duì)單擺振動(dòng)周期的精確解和各級(jí)微擾解用曲線形式進(jìn)行比較，并用最小二乘法對(duì)各級(jí)微擾進(jìn)行誤差分析，起到更為直觀、簡(jiǎn)便理解單擺周期變化的效果，同時(shí)，也用Matlab軟件畫出任意擺角情況下的微擾系數(shù)曲線，并根據(jù)作圖結(jié)果逐一分析五次諧波、三次諧波基于擺角大小的選取情況，加深對(duì)各級(jí)微擾系數(shù)的理解。本文在精度極高的前提下給出的微擾單擺公式簡(jiǎn)潔、物理意義明確，進(jìn)一步充實(shí)了對(duì)大角度單擺的理解。