鄧天舒 易為

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國科學(xué)院量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230026）

本文對近兩年來有關(guān)淬火動力學(xué)過程中拓?fù)洮F(xiàn)象的研究做簡要綜述.這些動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象被動力學(xué)過程中的衍生拓?fù)洳蛔兞勘Ｗo(hù),與淬火前后體系的拓?fù)湫再|(zhì)有密切關(guān)系.基于人工量子模擬平臺的高度可控性,已在諸如超冷原子、超導(dǎo)量子比特、核磁共振、線性光學(xué)等眾多物理體系中,通過對人工拓?fù)潴w系動力學(xué)過程的調(diào)控,觀測到如動力學(xué)渦旋、動量-時(shí)間域的Hopf映射及環(huán)繞數(shù)、拓?fù)浔Ｗo(hù)的自旋環(huán)結(jié)構(gòu)、動力學(xué)量子相變、動量-時(shí)間斯格明子等諸多動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象.其中某些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)還可以在非幺正動力學(xué)淬火過程中穩(wěn)定存在.這些研究將人們對拓?fù)湮锵嗟恼J(rèn)識和研究從平衡態(tài)推廣到非平衡動力學(xué)領(lǐng)域,具有重要的科學(xué)價(jià)值.

1 引 言

對拓?fù)湎嗯c相變的研究是現(xiàn)代物理的重要方向之一.在傳統(tǒng)的金斯堡-朗道相變中,量子相與體系的對稱性有深刻的關(guān)系,量子相變由局域序參量刻畫,同時(shí)伴隨著對稱性的破缺.拓?fù)湎嗪拖嘧兣c此截然不同:拓?fù)湎嘧円话悴话殡S對稱性的破缺,拓?fù)湎鄤t與體系基態(tài)波函數(shù)在希爾伯特空間的幾何性質(zhì)相關(guān)并由拓?fù)洳蛔兞靠坍媅1,2].從人們發(fā)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)至今已有三十余年了,此間人們對無相互作用體系中拓?fù)湎嗟睦斫夂头诸惾遮呁晟?對有相互作用體系中拓?fù)湎嗟恼J(rèn)識也有了長足進(jìn)展.近年來拓?fù)湮飸B(tài)研究領(lǐng)域的一個(gè)新興方向是在凝聚態(tài)物質(zhì)之外的體系中尋找、刻畫拓?fù)湎嗉芭c拓?fù)湎嚓P(guān)的現(xiàn)象.隨著超冷原子、線性光學(xué)等量子模擬平臺的蓬勃發(fā)展,具有拓?fù)淠軒Ъ巴負(fù)涮匦缘娜斯ね負(fù)潴w系相繼在這些平臺上得以實(shí)現(xiàn)[3?11].此外,人工拓?fù)潴w系的高度可控性使對動力學(xué)過程及非厄米體系中拓?fù)洮F(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)研究成為可能[7?11],而這也驅(qū)動了相關(guān)領(lǐng)域的理論研究[12?16].值得強(qiáng)調(diào)的是,動力學(xué)過程及非厄米體系中的拓?fù)洮F(xiàn)象在傳統(tǒng)凝聚態(tài)體系中一般很難被實(shí)現(xiàn).因此各量子模擬平臺上的人工拓?fù)潴w系具有重要的價(jià)值.

在這一背景下,本文簡要綜述近年來人們對淬火動力學(xué)過程中拓?fù)洮F(xiàn)象的理論和實(shí)驗(yàn)研究.所謂淬火,即體系由初始哈密頓量的本征態(tài)出發(fā),在末態(tài)哈密頓量作用下演化的動力學(xué)過程.對于拓?fù)潴w系,一個(gè)重要的問題是該體系的淬火動力學(xué)過程中是否也會出現(xiàn)受拓?fù)浔Ｗo(hù)的拓?fù)洮F(xiàn)象?更進(jìn)一步,如果初態(tài)和末態(tài)哈密頓量具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的能帶,體系淬火過程中的拓?fù)洮F(xiàn)象是由初態(tài)還是末態(tài)哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)決定?對這些問題,一個(gè)最直接的回答來自于對體系瞬時(shí)波函數(shù)幾何性質(zhì)的刻畫.文獻(xiàn)[17,18]研究了幾種簡單拓?fù)潴w系在淬火過程中瞬時(shí)波函數(shù)的拓?fù)洳蛔兞?結(jié)果表明瞬時(shí)波函數(shù)的拓?fù)洳蛔兞坎浑S時(shí)間變化,即淬火過程的拓?fù)湫再|(zhì)完全由初始哈密頓量決定.由于這些工作中考慮的體系都是無相互作用(或者平均場意義下無相互作用)的厄米體系,淬火動力學(xué)時(shí)間演化相當(dāng)于對初始態(tài)做局域幺正變換.此時(shí),由于局域幺正變換不破壞保護(hù)拓?fù)湫再|(zhì)的對稱性,瞬時(shí)態(tài)的拓?fù)洳蛔兞勘厝徊蛔?然而,人們發(fā)現(xiàn)在淬火過程中會出現(xiàn)衍生的動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象,這些拓?fù)洮F(xiàn)象或與初態(tài)和末態(tài)哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān),或由衍生的動力學(xué)拓?fù)鋽?shù)保護(hù),并在動力學(xué)過程中表現(xiàn)出可觀測效應(yīng)[19?31].有趣的是,即使基于同一淬火過程中觀測到的拓?fù)洮F(xiàn)象,也可以構(gòu)造不同的衍生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)加以解釋.這一方面說明了淬火動力學(xué)過程中豐富的物理內(nèi)涵,另一方面也會引發(fā)關(guān)于動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象普適描述的思考.

冷原子體系的高度可控性使其成為研究淬火動力學(xué)過程中拓?fù)湫再|(zhì)的理想平臺之一.2017年初，德國漢堡大學(xué)的研究組通過周期驅(qū)動光晶格,在冷原子中實(shí)現(xiàn)了基于Floquet Haldane模型的淬火過程,并利用動力學(xué)量子相變理論對淬火過程中的動力學(xué)渦旋進(jìn)行了刻畫[24].此后,清華大學(xué)的研究組從理論上研究了淬火動力學(xué)過程中的衍生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),利用Hopf映射和環(huán)繞數(shù)重新解釋了漢堡實(shí)驗(yàn),并把環(huán)繞數(shù)與淬火前后哈密頓量的靜態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)聯(lián)系了起來[19].這一理論隨后被漢堡大學(xué)研究組的另一實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[25].與此同時(shí),來自中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)和北京大學(xué)的研究組在對拉曼晶格上的冷原子氣體進(jìn)行淬火時(shí)發(fā)現(xiàn)了動力學(xué)過程中原子自旋分布中的環(huán)形結(jié)構(gòu),并通過能帶反轉(zhuǎn)面的理論把環(huán)的出現(xiàn)與靜態(tài)哈密頓量的陳數(shù)聯(lián)系了起來[22,23,26].這些實(shí)驗(yàn)充分反映了淬火動力學(xué)中衍生拓?fù)洮F(xiàn)象的普遍性和豐富性.除冷原子氣體之外,淬火過程中的動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象也在超導(dǎo)量子比特、單光子量子行走等量子模擬平臺上被實(shí)驗(yàn)觀測.目前這些模擬平臺都還是通過操控單量子比特模擬費(fèi)米體系拓?fù)淠Ｐ偷拇慊疬^程,其優(yōu)勢是更易于進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操控和態(tài)重構(gòu),以及可以方便的實(shí)現(xiàn)耗散以研究非幺正動力學(xué)淬火過程.

我們將從幾個(gè)不同的方面介紹這一領(lǐng)域的一些最新進(jìn)展,著重描述與拓?fù)浔Ｗo(hù)的動力學(xué)不動點(diǎn)相關(guān)的衍生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).所謂動力學(xué)不動點(diǎn),即在這些參數(shù)點(diǎn)上體系不隨時(shí)間演化.而拓?fù)浔Ｗo(hù)的動力學(xué)不動點(diǎn)的存在性與淬火前后靜態(tài)哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)直接相關(guān).由此,拓?fù)浔Ｗo(hù)的動力學(xué)不動點(diǎn)為這些動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象提供了一個(gè)普適的基礎(chǔ),并成為連接動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象和體系靜態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)的橋梁.

2 動力學(xué)量子相變及動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘?/h2>

我們首先介紹動力學(xué)量子相變及其與拓?fù)浔Ｗo(hù)不動點(diǎn)的關(guān)系.先回顧動力學(xué)過程中Loschmidt回波的定義.Loschmidt回波是量子體系動力學(xué)演化中的一個(gè)重要可觀測量,它描述體系初態(tài)在演化過程中的重現(xiàn)行為.如體系的時(shí)間演化由決定,則Loschmidt回波可表示為

從上述定義可知,動力學(xué)相變發(fā)生在瞬時(shí)態(tài)和初態(tài)正交的時(shí)刻,此時(shí)動力學(xué)自由能非解析.與熱力學(xué)相變不同,動力學(xué)量子相變的臨界點(diǎn)可以在體系演化時(shí)周期性地出現(xiàn),而不是通過調(diào)節(jié)體系哈密頓量參數(shù)達(dá)到.動力學(xué)量子相變在多大程度上可以定義為相變?nèi)匀皇怯袪幾h的話題.比如動力學(xué)量子相變是否繼承了傳統(tǒng)熱力學(xué)相變中重要的性質(zhì),如在臨界點(diǎn)附近的標(biāo)度行為,相變普適類等.

與此同時(shí),人們發(fā)現(xiàn)動力學(xué)量子相變有深刻的幾何溯源,它的出現(xiàn)可以由動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘柯?lián)系起來[35].在這個(gè)意義上,動力學(xué)量子相變可以看作是動力學(xué)過程中的衍生拓?fù)洮F(xiàn)象.動力學(xué)序參量的定義與所謂的Pancharatnam幾何相位有密切聯(lián)系.Pancharatnam 相位是 Loschmidt振幅的輻角中與動力學(xué)相位無關(guān)的部分,源于體系動力學(xué)演化過程中的幾何性質(zhì).以無相互作用的半滿晶格模型為例,由于晶格平移對稱性,不同晶格動量子空間的動力學(xué)演化解耦.此時(shí),Pancharatnam 幾何而為的 輻 角 .體 系 的 動 力 學(xué) 相 位 為的Bloch哈密頓量(假設(shè)不含時(shí)).

在拓?fù)洳粍狱c(diǎn)的基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步定義動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘?對于一維體系,動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘靠梢詫懽?/p>

從上述討論可以看出,動力學(xué)量子相變及動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘颗c拓?fù)浔Ｗo(hù)的不動點(diǎn)有深刻聯(lián)系.基于這一認(rèn)識,下面我們將進(jìn)一步揭示動力學(xué)量子相變與其他衍生動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞康年P(guān)系.

3 動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?/h2>

我們在第2節(jié)討論了拓?fù)潴w系淬火過程中的拓?fù)洳粍狱c(diǎn).在拓?fù)洳粍狱c(diǎn)上,Pancharatnam相位在時(shí)間演化過程中恒為零.相位在拓?fù)洳粍狱c(diǎn)消失的本質(zhì)原因在于這些不動點(diǎn)同時(shí)也是動力學(xué)不動點(diǎn),即在這些參數(shù)點(diǎn)上體系的態(tài)不隨時(shí)間演化.基于這一認(rèn)識,人們發(fā)現(xiàn)可以基于不動點(diǎn)在動量-時(shí)間的二維參數(shù)空間里定義衍生動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞縖20,21,27,28,31].這些動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞扛瑯踊诓粍狱c(diǎn)的動力學(xué)量子相變、動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘恳约按慊鹎昂蠊茴D量的拓?fù)湫再|(zhì)等緊密關(guān)聯(lián).目前文獻(xiàn)里這方面的工作主要集中在一維兩能帶拓?fù)潴w系的淬火過程,我們也將具體介紹這類體系中的不動點(diǎn)結(jié)構(gòu)和動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?高維多帶體系的動力學(xué)淬火過程中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會更加豐富,但仍有待進(jìn)一步研究.

對于無相互作用且具有晶格平移對稱性的體系,不同動量部分的動力學(xué)解耦.因此,一維兩能帶拓?fù)潴w系的普適Bloch哈密頓量可表示為

如圖1所示,淬火動力學(xué)過程可以形象的表示為瞬時(shí)態(tài)矢量從初態(tài)出發(fā),在Bloch球面上繞軸的轉(zhuǎn)動.這里有兩種值得注意的特殊情況.

圖1 Bloch 球上的動力學(xué)演化 (a)態(tài)矢量在 Bloch 球上繞 運(yùn)動;(b)動力學(xué)不動點(diǎn)對應(yīng)于 ;(c)臨界點(diǎn)對應(yīng)于.實(shí)線代表 (綠色) 與 (紅色),虛線代表態(tài)矢量;假設(shè)初態(tài)處于 基態(tài)上,即 時(shí)態(tài)矢量與 方向相反Fig.1.Visualizing dynamics on the Bloch sphere:(a)State vector revolving around the axis;(b)illustration of fixed points when ;(c)illustration of critical points with .

由此可見,拓?fù)洳粍狱c(diǎn)的存在與動力學(xué)量子相變臨界點(diǎn)的存在有直接關(guān)系.同時(shí),基于這些動力學(xué)不動點(diǎn),我們可以在衍生的動量-時(shí)間空間內(nèi)定義動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?由于每個(gè)動量上的態(tài)演化都是周期性的,態(tài)矢量的演化在動量-時(shí)間參數(shù)空間內(nèi)的軌跡是垂直于動量軸的圓.而在動力學(xué)不動點(diǎn),態(tài)的軌跡是動量軸上的一個(gè)點(diǎn).這樣,任意兩個(gè)動力學(xué)不動點(diǎn)間的態(tài)演化都可以映射到一個(gè)Bloch球上.我們由此可以定義衍生的動力學(xué)拓?fù)潢悢?shù)

圖2 淬火前后哈密頓量具有不同拓?fù)鋽?shù)時(shí)的典型斯格明子結(jié)構(gòu).黑色箭頭為自旋在平面內(nèi)方向,背景顏色對應(yīng)自旋在與平面垂直方向上的分量大小,藍(lán)色對應(yīng)向內(nèi),黃色對應(yīng)向外.豎直虛線為不動點(diǎn)位置,紅色實(shí)線表示不同動量 點(diǎn)的周期Fig.2.Momentum-time skyrmions when pre- and postquench Hamiltonians possess different winding numbers.

4 非厄米體系中的非幺正淬火過程

前述的動力學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也存在于非厄米體系的非幺正淬火過程中,前提是體系的動力學(xué)演化仍然是相干的[41].這一前提滿足的條件體系具有宇稱-時(shí)間對稱性.一般而言,非厄米哈密頓量的本征值不是實(shí)數(shù).但如果該哈密頓量有宇稱-時(shí)間對稱性,即,且本征態(tài)也為算符的本征態(tài)時(shí),該本征態(tài)對應(yīng)的哈密頓量本征值為實(shí)數(shù)[42?44].這里為宇稱算符,為時(shí)間反演算符.如果宇稱-時(shí)間守恒的哈密頓量所有本征值均為實(shí)數(shù),則體系處于宇稱-時(shí)間對稱守恒相;反之,如哈密頓量某些本征值非實(shí)數(shù),體系處于宇稱-時(shí)間對稱自發(fā)破缺相.

這里我們考慮最簡單的宇稱-時(shí)間守恒的拓?fù)潴w系,一維宇稱-時(shí)間守恒的Su-Schieffer-Heeger(SSH)模型[45,46].

如圖3(a)所示,該模型與標(biāo)準(zhǔn)SSH模型的區(qū)別在每個(gè)格點(diǎn)上均存在增益或損耗項(xiàng).體系的Bloch哈密頓量仍然可記為,其中撲數(shù)可由全局貝里相對應(yīng)的繞數(shù)刻畫

圖3 非厄米 SSH 模型及其拓?fù)湎鄨D (a)非厄米 SSH 模型.在厄米SSH模型的基礎(chǔ)上,每個(gè)格點(diǎn)上均有增益或損耗;(b)體系拓?fù)湎鄨D.實(shí)線為拓?fù)溥吔?虛線為宇稱-時(shí)間對稱與對稱破缺區(qū)域的邊界. , 為SSH模型的躍遷系數(shù), 為增益損耗系數(shù), 為繞數(shù)Fig.3.Non-Hermitian SSH model and its topological phase diagram:(a) Non-Hermitian SSH model;(b) topological phase diagram.

當(dāng)末態(tài)哈密頓量處在宇稱-時(shí)間守恒區(qū)域時(shí),瞬時(shí)態(tài)矢量在Bloch球上繞著南北極旋轉(zhuǎn).此時(shí),Bloch球南北極對應(yīng)的動量就是動力學(xué)不動點(diǎn).當(dāng)末態(tài)哈密頓量處在宇稱-時(shí)間對稱自發(fā)破缺區(qū)域時(shí),瞬時(shí)態(tài)矢量在Bloch球上會沿著大圓漸近趨近北極.此時(shí)不存在動力學(xué)不動點(diǎn).基于這一圖像,我們可以在動力學(xué)不動點(diǎn)存在的時(shí)候構(gòu)造動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?事實(shí)上,可以證明當(dāng)體系在宇稱-時(shí)間守恒的不同拓?fù)湎嚅g淬火時(shí),不同種類的不動點(diǎn)(即分別對應(yīng)于南北極的不動點(diǎn))會成對出現(xiàn).此時(shí),所有幺正淬火演化過程中的動力學(xué)拓?fù)錁?gòu)造和相關(guān)可觀測量也會存在.而只要淬火前后的哈密頓量之一處于宇稱-時(shí)間對稱自發(fā)破缺區(qū)域,不動點(diǎn)以及動力學(xué)拓?fù)錁?gòu)造就不一定存在了.需要強(qiáng)調(diào)的是,在非幺正動力學(xué)淬火過程中,不動點(diǎn)和動力學(xué)量子相變的臨界點(diǎn)不再出現(xiàn)在布里淵區(qū)的高對稱點(diǎn).這會導(dǎo)致多個(gè)臨界時(shí)間尺度的出現(xiàn).如圖4所示,此時(shí)動力學(xué)量子相變的發(fā)生會存在多個(gè)周期,同時(shí)也會存在多個(gè)對應(yīng)的動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘?

圖4 非厄密SSH模型淬火中的典型動力學(xué)自由能與動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘?(a)動力學(xué)自由能 ;(b)動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘?.在非厄米淬火過程中存在兩個(gè)臨界時(shí)間尺度及兩個(gè)動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘縁ig.4.Dynamic free energy and dynamic topological order parameter in the quench dynamics of non-Hermitian SSH model: (a) Dynamic free energy ;(b)dynamic topological order parameter .

實(shí)驗(yàn)上,具有損耗-增益的宇稱-時(shí)間守恒非厄米體系在光波導(dǎo),微波腔陣列,線性光學(xué)等多中物理體系中實(shí)現(xiàn).在一些難以實(shí)現(xiàn)增益的物理體系如冷原子氣體、單光子量子行走中,可以實(shí)現(xiàn)基于純損耗的被動宇稱-時(shí)間守恒非厄米體系[49,50].被動宇稱-時(shí)間守恒非厄米體系雖然不會有純實(shí)數(shù)的本征譜,但體系的能譜及動力學(xué)性質(zhì)可以方便地映射到基于損耗-增益的主動宇稱-時(shí)間守恒非厄米體系上.最近,動力學(xué)量子相變、動力學(xué)拓?fù)湫騾⒘?、動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞康妊苌鷦恿W(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象已經(jīng)在具有被動宇稱-時(shí)間守恒性質(zhì)的單光子非幺正量子行走實(shí)驗(yàn)里被探測到[31].

5 總結(jié)與展望

本文集中討論了幾種基于拓?fù)浔Ｗo(hù)動力學(xué)不動點(diǎn)的動力學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的構(gòu)造和關(guān)聯(lián).由于相關(guān)動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞康亩x都基于不同類拓?fù)洳粍狱c(diǎn)的存在,而后者又與靜態(tài)哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)密切相關(guān),拓?fù)浔Ｗo(hù)的動力學(xué)不動點(diǎn)成為有機(jī)聯(lián)系各種動力學(xué)衍生拓?fù)洮F(xiàn)象及平衡態(tài)拓?fù)湎嗟暮诵囊?目前對于動力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象的討論多數(shù)集中在低維(一維或者二維)兩能帶五相互作用體系的突變淬火過程.高維多能帶拓?fù)湎到y(tǒng)淬火過程中會出現(xiàn)更豐富的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),如何系統(tǒng)的刻畫它們是今后研究的一個(gè)方向.除本文討論的衍生拓?fù)洮F(xiàn)象以外,其他已知的動力學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如Hopf映射、環(huán)繞數(shù)、基于能帶反轉(zhuǎn)面的拓?fù)洵h(huán)等與動力學(xué)不動點(diǎn)及動力學(xué)量子相變臨界點(diǎn)的關(guān)系則需要進(jìn)一步研究討論.因此,關(guān)于動力學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的更普適的描述是個(gè)亟待解決的問題.