☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 敏

一、教學(xué)背景

1.背景介紹

蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)江蘇省“十三五”規(guī)劃“教師發(fā)展專項(xiàng)”課題，聚焦課堂教學(xué)實(shí)踐，側(cè)重拓寬國家課程二次開發(fā)的課堂教學(xué)表現(xiàn)維度，加深、提高教師對(duì)國家課程及其教材的理解、把握、統(tǒng)整的能力，進(jìn)而促進(jìn)教師教學(xué)能力的提升.在此目標(biāo)下，以“根據(jù)校情，學(xué)情，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適切的變式、拓展、深化，探索有深度的課堂教學(xué)”為“二次開發(fā)”的基本角度，在2018年11月23日江蘇省教師發(fā)展基地教學(xué)展示活動(dòng)中擬定課題為“‘翻’‘轉(zhuǎn)’變換下的離散到集中——淺談圖形變換在勾股定理中的應(yīng)用”.本課例是筆者執(zhí)教該課的教學(xué)實(shí)錄.

2.學(xué)情分析

本節(jié)課之前學(xué)生探索和證明了三角形全等的判定定理，學(xué)習(xí)了勾股定理，對(duì)勾股定理的使用有了比較好的掌握，這些基礎(chǔ)知識(shí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

3.教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課在學(xué)生已經(jīng)掌握“勾股定理”這一基礎(chǔ)知識(shí)之上，通過旋轉(zhuǎn)和翻折兩種圖形變換，完成輔助元素的添設(shè)，變離散為集中，化難為易，達(dá)到解決問題的目的.在教學(xué)過程中，自然滲透轉(zhuǎn)化與類比的思想，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的重要性.教師通過變式，引導(dǎo)學(xué)生感悟圖形變化過程中不變的本質(zhì)與內(nèi)涵.

二、教學(xué)過程

章建躍指出：“教好數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵應(yīng)該是“為學(xué)生建構(gòu)前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考”.基于上述觀點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過程.

1.復(fù)習(xí)引入

師：前面我們學(xué)過勾股定理，請(qǐng)同學(xué)們一起來回憶一下勾股定理的內(nèi)容.

生眾：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC2+BC2=AB2.

師：大家之前也學(xué)過全等三角形和圖形的變換，今天老師將兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形結(jié)合旋轉(zhuǎn)和翻折一起來研究，看看能得到哪些美妙的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：通過提問復(fù)習(xí)舊知，交代背景，明確新知生長(zhǎng)點(diǎn)，建構(gòu)知識(shí)體系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索與研究的欲望.

2.小試牛刀——初露鋒芒

師：課前大家完成了小試牛刀，下面請(qǐng)一位同學(xué)來說說自己的證明方法.

小試牛刀1：如圖1，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，求證：AE2+AD2=AB2.

圖1

圖2

生1：連接BE.證明△ACD △BCE.因此 AD=BE，∠D=∠BEC.因?yàn)椤螪CE=90°，所以∠D+∠CED=90°.故∠BEC+∠CED=90°，即∠AEB=90°.所以AE2+BE2=AB2，因此AE2+AD2=AB2.

師：很好！這位同學(xué)對(duì)圖形的觀察能力很棒，能夠通過三角形全等轉(zhuǎn)移線段，實(shí)現(xiàn)變離散為集中的目的，從而得到要求證的結(jié)論.

師：小試牛刀1中點(diǎn)A在線段DE上，現(xiàn)在老師讓點(diǎn)A動(dòng)起來，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)右側(cè)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？

小試牛刀2：如圖3，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，△ABC的頂點(diǎn)A在直線DE上（E點(diǎn)右側(cè)），求證：AE2+AD2=AB2.

圖3

圖4

師：哪位同學(xué)能解決一下這個(gè)問題？

生2：結(jié)論依然成立.連接BE.證明△ACD △BCE，因此AD=BE，∠D=∠BEC，所以∠AEB=90°，則AE2+BE2=AB2，因此AE2+AD2=AB2.

師：該同學(xué)思路清晰，點(diǎn)贊哦！

設(shè)計(jì)意圖：小試牛刀1和2立足學(xué)生已有水平，通過三角形全等，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移，變離散為集中，從而證得結(jié)論.這兩種情況，為后續(xù)的探究奠定基礎(chǔ)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生潛能，為學(xué)生的能力發(fā)展提供可能.

3.例題講解——嶄露頭角

師：剛才的證明都運(yùn)用了三角形全等，其實(shí)我們可以把其中一個(gè)三角形繞著頂角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，就可以得到另一個(gè)三角形（見等腰想旋轉(zhuǎn)）.下面我們用旋轉(zhuǎn)變化的方式研究例題.

例題：如圖5，在同一個(gè)平面內(nèi)，將兩個(gè)等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°.若△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）.求證：BD2+CE2=DE2.

圖5

圖6

師：待證明的結(jié)論與線段BC以下的部分沒有關(guān)系，我們可以把線段BC下面的部分刪掉，在相對(duì)簡(jiǎn)單的圖6中完成證明.下面請(qǐng)大家用旋轉(zhuǎn)變換的方式嘗試一下.

生3：將△ABD繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連接D′E，則BD=CD′，AD=AD′，∠BAD=∠CAD′.因?yàn)椤螧AC=90°，∠DAE=45°，所以∠BAD+∠EAC=45°，故∠CAD′+∠EAC=45°，即∠D′AE=∠DAE=45°.又因?yàn)锳D=AD′，AE=AE，從而得到△DAE △D′AE（SAS），所以DE=D′E. 因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠B+∠ACE=90°，故∠ACD′+∠ACE=90°，即∠ECD′=90°，所以CD′2+CE2=D′E2，從而BD2+CE2=DE2.

師：很好！大家能活學(xué)活用.除了旋轉(zhuǎn)變換，我們還學(xué)過翻折變換，大家思考一下，這個(gè)問題能否用翻折變換解決？

生4：剛才生3證明了△D′AE △DAE，我們可以考慮將△ADE沿著AE翻折得到△AD′E，再證明△D′AC△DAB，繼而證明BD2+CE2=DE2.

師：太棒了！這位同學(xué)觀察仔細(xì)，能夠看到問題的本質(zhì)，此處應(yīng)有掌聲（學(xué)生鼓掌）.這個(gè)問題的具體證明留給大家課后完成.

設(shè)計(jì)意圖：例題與小試牛刀相互聯(lián)系，又有一定的梯度，螺旋上升，這種立足于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和最近發(fā)展區(qū)的、能以“不變”應(yīng)“萬變”的通法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

4.例題變式1——乘勝追擊

師：將例題中的△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到圖7，關(guān)系式BD2+CE2=DE2是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖7

圖8

師：請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手在學(xué)習(xí)任務(wù)單上試試看.

生5：將△ACE繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接DE′，證明△ADE △ADE′，繼而可以證明BD2+CE2=DE2.

生6：將△ADE沿著AD翻折，得到△ADE′，證明△ABE′△ACE，也可以證得BD2+CE2=DE2.

師：看來大家都掌握得不錯(cuò)，下面老師繼續(xù)將例題中的△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

5.例題變式2——攻堅(jiān)克難

圖9

圖10

師：將例題中的△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到圖9，AG、AF所在直線與BC所在直線分別交于E、D兩點(diǎn)，關(guān)系式BD2+CE2=DE2是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

學(xué)生思考了兩分鐘，仍然沉默不語，教師啟發(fā).

師：這里有等腰三角形，可以考慮旋轉(zhuǎn)變換.AB與待證結(jié)論中的BD在一個(gè)三角形中，可以考慮旋轉(zhuǎn)△ABD，實(shí)現(xiàn)線段BD的轉(zhuǎn)移.下面請(qǐng)一個(gè)同學(xué)來完成證明.

生7：將△ABD繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連接D′E，則BD=CD′，AD=AD′，∠ABD=∠ACD′.因?yàn)椤螱AF=45°，所以∠EAD=135°.又因?yàn)椤螪AD′=90°，所以∠EAD′=135°，故∠EAD=∠EAD′. 又因?yàn)锳D=AD′，AE=AE，從而得到△DAE≌△D′AE，所以DE=D′E.因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，故∠ECD′=90°，所以BD2+CE2=DE2.

師：該同學(xué)思路非常清晰，證明過程很有條理，老師希望同學(xué)們課后再用翻折變換的方式完成此題的證明.本節(jié)課同學(xué)們的表現(xiàn)非常棒.你們有哪些收獲？

學(xué)生思考、討論后紛紛舉手.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在解決問題時(shí)，需經(jīng)歷操作、觀察、思考、歸納、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程.當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，教師需進(jìn)行點(diǎn)撥和引導(dǎo)，促使學(xué)生進(jìn)一步思考，在層層遞進(jìn)中把學(xué)生的思維引入“深水區(qū)”.

三、教后反思

通過這節(jié)課的嘗試，我的體會(huì)有以下幾點(diǎn)：

首先，如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望？我在設(shè)計(jì)時(shí)，從學(xué)生熟悉的等腰直角三角尺入手，著眼于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，挖掘出有價(jià)值的素材，對(duì)教材中的內(nèi)容進(jìn)行加工、處理、拓展和深化，探索有深度的課堂教學(xué).

其次，感受圖形變換對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)漸進(jìn)的認(rèn)知過程.為了幫助學(xué)生合理選擇變換的方式，我設(shè)計(jì)了題組，同時(shí)通過題組讓學(xué)生掌握“變中不變”的數(shù)學(xué)思想.以例題為引導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生方法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解決問題.隨后以例題的兩個(gè)變式為拓展，將課堂的探究式學(xué)習(xí)推向高潮.

最后，現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)存在誤區(qū)，企圖通過提前學(xué)，不斷刷題來提高分?jǐn)?shù)，使得有趣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得越來越機(jī)械.本節(jié)課試圖通過對(duì)以等腰直角三角形為載體的圖形變換問題的探討，以期達(dá)到幫助學(xué)生理清其中的變化規(guī)律，明確解決問題的方法.在探討過程中培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，幫助學(xué)生提高解決問題的能力.

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，既有教師的有效組織與合理引導(dǎo)，又有學(xué)生的獨(dú)立思考與合作交流；既有基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練，又有基本數(shù)學(xué)思想方法的感悟，還有數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透.通過精心確定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)，例題的選擇、內(nèi)容的深化、教學(xué)流程的構(gòu)思都旨在知識(shí)的形成過程中突出數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過程，體驗(yàn)解決問題的成就感.F