☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學 印冬建

數(shù)學實驗是一種重要的數(shù)學學習方式.為了充分發(fā)揮數(shù)學實驗的教學價值，在人教版初中數(shù)學教材中，編者安排了很多與課時核心內(nèi)容相關的數(shù)學實驗.這些實驗一般以“文本+圖形+符號”的形式呈現(xiàn)，對學生獲取核心知識、形成關鍵能力是大有益處的.所以，一線教師一般都會十分重視教材所編排的數(shù)學實驗，并努力落實教者的編排意圖，實現(xiàn)教材的教學價值.然而，由于教材呈現(xiàn)數(shù)學實驗的方式是靜態(tài)的，對實驗細節(jié)的描述并不是十分到位，因而，給一線教師的教學實踐帶來了諸多不便和多種不同的可能.想要很好地貫徹編者的設計意圖，就需要教師在深入解讀教材的基礎上，明晰實驗的內(nèi)容、目標、流程，并完善實驗的每一個細節(jié)，從而提升實驗的成效.在近期執(zhí)教“11.2.1三角形的內(nèi)角”時，筆者通過實施精心預設的“三角形內(nèi)角拼合實驗”（下稱“拼角實驗”），取得了較好的教學效果.現(xiàn)呈現(xiàn)這個實驗的歷程，并談一些個人感悟，希望能引發(fā)大家的思考.

一、拼角實驗

1.梳理舊知，明晰實驗基礎

教師在黑板上作出△ABC，讓學生說出學過的三角形的相關知識.在學生給出“三角形的內(nèi)角和等于180°”后，教師立即追問：在小學里，我們是怎么發(fā)現(xiàn)這個結論的？以此引出“度量或剪拼”的探索方法.接下來，教師通過繼續(xù)追問讓學生明白“度量常常有誤差”，“形狀不同的三角形有無數(shù)個”，想要說明“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一結論是正確的，需要通過推理的方法，借助已經(jīng)獲得的“180°模型”——平角或互補的同旁內(nèi)角來證明這一結論.

2.合作探究，開展拼角實驗

學生活動1：在準備好的三角形紙片頂點處標上字母A、B、C，小組合作，分別撕下∠B和∠C，并將其與∠A拼合在一起.你有什么發(fā)現(xiàn)？找出能用前面所學知識證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的拼圖，并將其貼到黑板上.

學生按照要求進行活動，并將探索成果貼到黑板上，如圖1、2.

學生活動2：另取一張三角形紙片，與活動1一樣進行標注，撕下∠C，將其與∠A（或∠B）拼合在一起.你有什么發(fā)現(xiàn)？找出能用前面所學知識證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的拼圖，并將其貼到黑板上.

學生按照要求繼續(xù)探究，并將成果貼到黑板上，如圖3.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖6

圖5

根據(jù)拼圖，學生發(fā)現(xiàn)：圖1中，∠B和∠C在∠A的左右，三個角合起來是一個平角；圖2中，∠B和∠C在∠A的同側，三個角合起來也是一個平角；圖3中，∠C在∠A的右側，∠C與∠A的和與∠B是互補的同旁內(nèi)角.

3.抽象交流，歸納實驗成果

針對上面圖1至圖3，教師提出問題：這三幅圖中，是否都存在一條與BC平行的線？待學生認真觀察并反復分析后，教師引導學生進行了抽象，得到圖4、圖5、圖6.在反復交流了圖1中的輔助線的作法和推理過程后，教師安排學生利用圖5、圖6構造出的輔助線l證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”.在展示了學生給出的推理過程后，教師明確“三角形的內(nèi)角和等于180°”就是三角形內(nèi)角和定理，并將其板書.

二、教學分析

關于拼角實驗，學生是有過相關的經(jīng)歷的.在小學時，為了獲得“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一結論，教師曾讓學生撕下三個內(nèi)角進行拼合.簡單的操作，不僅幫助學生獲得了直觀的結論，還積累下了豐富的實驗與抽象經(jīng)驗，這對本節(jié)課的探索是十分有利的.為了引入拼角實驗，教者讓學生先回顧與三角形有關的結論，引出“三角形的內(nèi)角和等于180°”，在梳理了小學中獲得這一結論的方法后，通過簡要的追問讓學生體會到基于簡單操作生成的結論可能存在偏差，需要嚴格推理驗證后方可推廣應用.

接下來，便是對學生已獲得的“三角形的內(nèi)角和等于180°”的進一步探索與驗證.教者基于撕下角的個數(shù)的不同安排了兩個學生活動，活動1是撕下兩個角進行拼合，生成了兩個“能用前面所學知識證明的拼圖”——圖1和圖2；活動2是撕下一個角進行的拼合，經(jīng)學生主動篩選，給出了符合要求的圖3.在拼角過程中，學生既需要調(diào)取小學中積累的經(jīng)驗來拼圖，又需要應用初中階段獲得的知識來篩選，難度自然不小.為此，教者在安排自主實驗的同時，還借力于小組合作，學生的探索與小組的交流，與之相關的“四基”提前進入學生腦海，這給后續(xù)拼圖的數(shù)學化鋪平了道路.

為了歸納實驗成果，教師首先提出問題“這三幅圖中，是否都存在一條與BC平行的線”，先期的鋪墊在此時發(fā)揮了巨大的作用，學生不僅順利發(fā)現(xiàn)了平行線，還將拼圖迅速抽象，得到可以用來推證結論的圖4至圖6.為了發(fā)展學生的推理能力，教者考慮到學生推理論證的經(jīng)歷較少，在學生對圖4和圖5進行獨立推理前，結合圖3給出了推理范式以便學生“臨摹”與“仿寫”，而教者對學生推理過程的展示，矯正了學生的典型失誤，多樣的證明方法和與之匹配的不同推理歷程激活了學生的思維，也讓結論的一般性得到了全體學生的認同，結論的歸納成為了教學的自然產(chǎn)物，順利而有效.

三、幾點感悟

1.解讀學段教材，理清實驗基礎

作為學生獲得數(shù)學核心知識的一種重要手段，數(shù)學實驗一般鑲嵌于教學進程之中，與知識的生成和發(fā)展同步.因此，為了能最大限度地發(fā)揮數(shù)學實驗的教學價值，我們應詳細解讀學段教材，厘清知識的生長脈絡，確定數(shù)學實驗出現(xiàn)的最佳時點.一般地，數(shù)學實驗都應出現(xiàn)在承上啟下的關鍵節(jié)點上.“承上”，意指對學生已有知識的繼承.為了獲得較好的實驗效果，我們必須從學段教材的知識分布入手，對學生的已有知識進行系統(tǒng)梳理，以確定數(shù)學實驗的“生長點”和“延伸點”.以本文中的拼角實驗為例，它出現(xiàn)在八年級上冊“三角形”一章教材中.在人教版本學段教材中，已經(jīng)安排了幾何圖形初步、相交線與平行線等以幾何知識為主體的單元，這些單元所積累下的幾何知識和活動經(jīng)驗將成為本實驗開展的基礎.加之學生在小學中就已經(jīng)獲得了“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結論，因此，在教學中，教師對結論的提取和探究基礎的追問，很好地喚醒了學生的知識——“180°模型”——平角或互補的同旁內(nèi)角和相關的基本活動經(jīng)驗.這一切，本課時的教材并沒有明晰，完全依賴于教者對學段教材的整體解讀，也正是教師的提前介入和有效鋪墊，才保證了接下來的實驗探究能夠在理論與實踐的密切配合中順利展開.

2.關注配套用書，明確實驗定位

人教版初中數(shù)學教材每一冊教科書，都有與之配套的《教師教學用書》（下稱《教學用書》）.這些配套《教學用書》，全方位展示了教材編者的設計意圖.仔細閱讀，將會有利于教師給出課堂教學的準確定位.因此，很多教師進行教學設計時，都會將《教學用書》與教材對照閱讀.毋庸置疑，這種對照閱讀對數(shù)學實驗同樣是有用的，我們將會從教者的意圖陳述中確定實驗的定位，確保即將實施的數(shù)學實驗不被人為“放大”導致“無法收場”.對于本文中的拼角實驗，圖1是學生在實驗中極易給出的結果，移動后的∠B和∠C均有一條邊平行于邊BC，根據(jù)“經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”，這兩條與BC平行的邊在同一條直線上，這樣的推理過程所用到的都是學生學過的知識，如果給予學生足夠的時間，學生還是可能給出的.然而，一旦實驗定位在上述推理過程的獲得上，本節(jié)課的教學重心就已經(jīng)發(fā)生了明顯偏移.為了避免一線教師“誤解”教材，《教學用書》給出圖1的教學定位是“學生只需要通過觀察（圖1）發(fā)現(xiàn)直線l（如圖4），并且知道l∥BC就可以了”，這顯然也應該成為我們所開展的拼角實驗的定位.在筆者所設計與實施的拼角實驗中，問題“這三幅圖中，是否都存在一條與BC平行的線”的提出，引導學生從圖1至圖3中發(fā)現(xiàn)直線l，并從中抽象出圖4至圖6.這樣的教學歷程，讓教材編者的定位設想轉變?yōu)閷崒嵲谠诘膶嶒灦ㄎ唬屍唇菍嶒瀾械膬r值得以發(fā)揮，推動學生在現(xiàn)有“四基”基礎上獲得發(fā)展.

3.分析課時任務，梳理實驗流程

人教版教材所編排的數(shù)學實驗，一般與教學內(nèi)容是融合在一起的.因而，數(shù)學實驗的使用自然也就應與課時任務的落實同步.對融合在課時教材中的數(shù)學實驗，在解讀其所在的單節(jié)教材時，我們應梳理出實驗的具體流程，把實驗需要經(jīng)歷的基本環(huán)節(jié)和每一環(huán)節(jié)的基本任務從教材中提取出來，以簡明扼要的文本呈現(xiàn)在學生的學習過程中，以便學生能準確把握每個環(huán)節(jié)的探索任務.對實驗流程的梳理，筆者認為既可以與教材預設的流程同步，也可以根據(jù)教情或?qū)W情進行相應的調(diào)整.回到本文中的拼角實驗，教材用一頁半的版面陳述了與實驗相關的內(nèi)容，包含了實驗的起點、探究的任務、有用的生成和成果的抽象等，這些內(nèi)容雖然按照一定的順序呈現(xiàn)在教材中，但由于沒有明確的分界，學生是較難從中捕獲關鍵信息的.因而，筆者在教材分析時，將教材內(nèi)容進行了分割：教材第11頁文本的第一、二段，歸入到“梳理舊知，明晰實驗基礎”環(huán)節(jié)；“探究”及其成果（圖11.2-1，略），納入到“合作探究，開展拼角實驗”環(huán)節(jié)；教材第11頁最后兩段至第12頁定理，納入到“抽象交流，歸納實驗成果”環(huán)節(jié).由于教材的編排與學生認知規(guī)律基本吻合，因而，在設計這則數(shù)學實驗時，筆者完全遵循了教材安排的流程，并將教材呈現(xiàn)的教學任務全部作為本課時的教學任務.

4.打磨實驗細節(jié)，完善課堂教學

數(shù)學實驗的開展一般離不開學生的自主操作與合作交流，因而，學生理應成為實驗的主體.學生在認知水平和操作能力上存在一定的差異，這種差異不僅會體現(xiàn)在數(shù)學實驗的進程中，還會體現(xiàn)在數(shù)學實驗的成果上.為了盡最大可能減少因教師陳述或文本展示等客觀因素引發(fā)的實驗進程與結果的差異，教師在實驗前應對實驗的每一個細節(jié)精心打磨，給學生提供不易產(chǎn)生歧義的文本資料、實驗方案及教具和學具等.本文所述的拼角實驗，生成圖1前，教材給出的是“將它的內(nèi)角剪下來”，這里的“剪”得到的極有可能是一個含∠B或∠C的“三角形”，而非是圖1中的有“花邊”的∠B、∠C，將剪得的“三角形”拼到∠A的旁邊難免會放錯“角”，出現(xiàn)非教者預期的實驗結果，導致探索失敗.此外，為了讓實驗真正建立在學生的認知基礎之上，筆者在教材預設的實驗方案外，新增了“撕下∠C，將其與∠A（或∠B）拼合在一起”的探究活動，最終生成的圖3及由此抽象出的圖6，讓學生已有的“互補的同旁內(nèi)角”模型在驗證“三角形的內(nèi)角和等于180°”中發(fā)揮了巨大的作用.這些有別于原教材的調(diào)整，會讓教師教學和學生實驗的流程更嚴謹，內(nèi)容更豐富，對全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)無疑是錦上添花之舉.如此設計，也必將為一線提供很好的參考.