☉黔南民族師范學(xué)院 覃 創(chuàng) 嚴(yán)忠權(quán)

一、引言

數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)教育學(xué)科，它承載著黨的教育方針和教育思想，規(guī)定了教育目標(biāo)和教育內(nèi)容，是國(guó)家意志在教育領(lǐng)域的直接體現(xiàn)，在立德樹(shù)人中發(fā)揮著關(guān)鍵作用.從2012年10月黨的十八大提出：“立德樹(shù)人”是教育的根本任務(wù)，到2014年教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》：“教育部將組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”，再到2017年12月，普通高中各學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)布.由此可見(jiàn)要培養(yǎng)全面發(fā)展的人才，需要具體落實(shí)到各學(xué)科的核心素養(yǎng)上來(lái).針對(duì)于高中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要體現(xiàn)就是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，該能力在高中教學(xué)中主要體現(xiàn)在平時(shí)的練習(xí)中.練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)必不可少的環(huán)節(jié)，是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展智力、挖掘創(chuàng)新潛力的重要手段，有效的數(shù)學(xué)練習(xí)不能只是單純地依靠模仿與記憶，實(shí)踐、合作與探究學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式方法.俗話說(shuō)“熟能生巧”，多做題肯定對(duì)數(shù)學(xué)思路，尤其是成績(jī)的提高有一定作用，但眾所周知，數(shù)學(xué)題是做不完的且高中生課程多、時(shí)間緊、任務(wù)重，當(dāng)前高中生在數(shù)學(xué)解題練習(xí)上花費(fèi)了大量的時(shí)間與精力，但效果卻不理想，追究其主要原因，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生是為了解題而解題，只注重解對(duì)或證出題目，不注重對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，不善于運(yùn)用已學(xué)知識(shí)從多個(gè)角度去分析和解決問(wèn)題，未能體會(huì)到高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精髓，從而降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.因此，在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中注重學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生多角度解決問(wèn)題的能力則變得尤為重要.下面就從一個(gè)函數(shù)問(wèn)題出發(fā)來(lái)探討多角度解決問(wèn)題的重要性.

二、題目呈現(xiàn)與問(wèn)題發(fā)掘

1.題目的呈現(xiàn)

2.問(wèn)題的發(fā)掘

這是一道高三復(fù)習(xí)資料中的練習(xí)題，難度適中.筆者利用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從不同思維角度分析，來(lái)挖掘這道題在解答過(guò)程中所蘊(yùn)含的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、問(wèn)題的分析與解答

1.解法1（換元法+判別式法）

多數(shù)學(xué)生都會(huì)想到這種方法，求出函數(shù)的值域，函數(shù)的最大值自然就出來(lái)了，而換元法與判別式法在求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常會(huì)用到，可以說(shuō)在學(xué)生的頭腦里面已經(jīng)形成了一種慣例，只是這道題的解答過(guò)程有點(diǎn)復(fù)雜，正因?yàn)榻忸}思路與解題過(guò)程的復(fù)雜程度，直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才得到了體現(xiàn).

解：由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，2］.

2.解法2（導(dǎo)函數(shù)法）

這種方法學(xué)生也容易想到，因?yàn)樗枷敕椒ê?jiǎn)單，通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值.此方法邏輯清晰，條理分明，這恰好突出了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)里的邏輯推理.

解：由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，2］，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得

令（fx）′=0，解得，從而可得函數(shù)（fx）在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).

由函數(shù)單調(diào)性及最值定理可知，（fx）在處取到最大值.

所以函數(shù)（fx）的最大值為

3.解法3（向量法）

從一道函數(shù)題目一下子過(guò)渡到向量知識(shí)，跨度有點(diǎn)大，學(xué)生一時(shí)有點(diǎn)難以想象，但只要能想到向量的坐標(biāo)表示、向量的乘積以及向量不等式，把向量的這些基本知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)解決此題難度就不是很大了.此方法將函數(shù)分解成兩個(gè)向量的乘積，再利用向量乘積的取值范圍，從而確定函數(shù)的最大值，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)模型的重構(gòu)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解：把函數(shù)看成兩個(gè)向量的乘積，這兩個(gè)向量分別是a=（1，1）與，則函數(shù)

由向量不等式a·b≤|a|·|b|可得

4.解法4（極坐標(biāo)法）

運(yùn)用極坐標(biāo)來(lái)解決此題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度比較大，因?yàn)闃O坐標(biāo)在高中數(shù)學(xué)中是以選修課的形式出現(xiàn)的，比較抽象，極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的意義較難理解.此解法是先把函數(shù)看成兩個(gè)向量的形式，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式，最后確定函數(shù)的最大值，在這一過(guò)程中貫徹和體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

解：把函數(shù)看成兩個(gè)向量，分別是，把這兩個(gè)向量用極坐標(biāo)表示為和，其中，在這兩個(gè)極坐標(biāo)中只有一個(gè)極角θ是變量，因此只需討論極角θ就可以確定最大值.當(dāng)時(shí)可以解得滿足定義域，即當(dāng)時(shí)，兩極坐標(biāo)的極角相等，從而最大值就為兩極徑的乘積，

5.解法5（概率統(tǒng)計(jì)法）

此方法學(xué)生可能想不到，知識(shí)點(diǎn)跨度大，且概率統(tǒng)計(jì)在高中數(shù)學(xué)中講解的也不是很多，介紹此方法意在說(shuō)明高中數(shù)學(xué)中很多知識(shí)點(diǎn)看似沒(méi)有關(guān)系，其實(shí)可以通過(guò)不同角度的分析將其聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)出了高中知識(shí)的連貫性.此解法先將函數(shù)拆分成兩個(gè)部分，把這兩個(gè)部分看成兩個(gè)數(shù)據(jù)，算出這兩個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望，觀察得出的數(shù)學(xué)期望與函數(shù)的關(guān)系式，再利用期望與方差的關(guān)系式以及方差的性質(zhì)特征構(gòu)造函數(shù)不等式，從而得出函數(shù)的最大值.這種解題思路也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解：函數(shù)（fx）是由與兩部分組成，這兩部分對(duì)于函數(shù)（fx）來(lái)說(shuō)權(quán)重都是則數(shù)學(xué)期望為令E（δ）=t，則2t=（fx），

由此易得t的最大值為

所以函數(shù)（fx）的最大值為，即

四、問(wèn)題的擴(kuò)展探究

五、結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，選題應(yīng)多關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)以及高中數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，而解題的目的是為了更好地掌握知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的重構(gòu).在高中應(yīng)用知識(shí)也就體現(xiàn)在解題能力上，上面這道函數(shù)題在本文中運(yùn)用了五種思路從不同知識(shí)角度分析滲透出高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，解法1采用換元法與判別式法求函數(shù)最大值，換元法與判別式法都是求函數(shù)值域中最基本的思想方法；解法2采用導(dǎo)函數(shù)法，學(xué)生在高中才初次接觸到導(dǎo)函數(shù)，此種解法可以使學(xué)生進(jìn)一步掌握導(dǎo)函數(shù)以及應(yīng)用知識(shí)的能力；解法3到解法5分別采用向量方法、極坐標(biāo)方法與概率統(tǒng)計(jì)法來(lái)解決這道函數(shù)問(wèn)題，這三種方法由函數(shù)知識(shí)跨度到向量、概率統(tǒng)計(jì)等方面的知識(shí)，將高中看似不相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)都聯(lián)系在一起，這需要學(xué)生具有一定的知識(shí)遷移能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維以及多角度解決問(wèn)題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成具有有效的促進(jìn)作用.總體來(lái)看這五種解法的難度還具有一定的層次性，由易到難，由淺到深，有助于學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的基本思想，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).筆者認(rèn)為一道具有代表性的數(shù)學(xué)題目，既要促使學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)間的溝通，還要具有一定的推廣潛力，上面這道函數(shù)題就把多方面的知識(shí)聯(lián)系在一起，從多個(gè)角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，具有一定的推廣潛力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該多提供一些具有應(yīng)用性、開(kāi)放性、探究性的問(wèn)題，這樣可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生多角度應(yīng)用知識(shí)的能力，既有利于學(xué)生學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有利于培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需求，更能展現(xiàn)出培養(yǎng)學(xué)生多角度解決問(wèn)題對(duì)核心素養(yǎng)形成的重要性.