☉江蘇省蘇州市吳江平望中學(xué) 仲一萍
現(xiàn)代教育尤為重視能影響學(xué)生一生的思維能力的培養(yǎng),數(shù)學(xué)教育的價(jià)值在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上表現(xiàn)出其獨(dú)有的價(jià)值.從方向這一角度可以將思維分為定向思維和發(fā)散思維.這兩種不同形式的思維方式分別具有不同的意義.一般來講,人們在掌握固有知識的時(shí)候所進(jìn)行的固定的、循規(guī)蹈矩的思維稱作定向思維;在定向思維基礎(chǔ)上繼續(xù)深化和發(fā)展的思維則稱作發(fā)散思維.兩者之間既有聯(lián)系,又有區(qū)別.定向思維的形成到發(fā)散思維的開啟一般呈現(xiàn)出螺旋式上升的科學(xué)韻律.
思維這一人們對客觀事物的反應(yīng)一般呈現(xiàn)出表象、概念、判斷、推理等各種形式,這種對客觀事物的正確反應(yīng)正是客觀世界能動(dòng)過程的反映.
對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)尤為重要的任務(wù).概括來講,教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的積極思維和科學(xué)思維,引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生在形成定向思維的基礎(chǔ)上克服其消極性并促成其發(fā)散思維的形成與進(jìn)一步深化,使學(xué)生的思維能夠從定向思維螺旋上升發(fā)展成發(fā)散思維.
人腦對事物本質(zhì)以及事物之間關(guān)系進(jìn)行概括與反映并進(jìn)行固定方式的思考與解決的思維稱為定向思維.學(xué)生對問題做出快速反應(yīng)、形成認(rèn)知與理解往往需要借助思維定式的優(yōu)勢,不僅如此,學(xué)生還會(huì)因?yàn)樗季S定式的作用在解決問題時(shí)能夠按照某個(gè)程序快速實(shí)現(xiàn).
因此,教師在新課教授中一般都應(yīng)想辦法令學(xué)生形成思維定式.例如,教師在計(jì)數(shù)原理問題的教學(xué)中首先應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)常規(guī)的方法,在學(xué)生明了不相鄰問題用插空、相鄰問題用捆綁、定序問題用除法的一般方法之后,還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明了先選后坐位置這一解題中的經(jīng)驗(yàn).不過,在解題中因循守舊,則可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.
例1盒子中有3個(gè)黑球、1個(gè)白球、1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球,若從中取4個(gè)排成一列則有多少種不同排法?
解析:遇到此題一般都會(huì)先將黑球進(jìn)行分類,將黑球分別分成3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)并進(jìn)行選球后坐位置,得,錯(cuò)誤產(chǎn)生了.問題究竟出在哪里呢?問題的癥結(jié)就在于黑球根本不用選,而且黑球交換順序在坐位置時(shí)根本不會(huì)對解題結(jié)果產(chǎn)生影響.任意取2個(gè)黑球?qū)τ诮Y(jié)果不會(huì)產(chǎn)生任何影響,因?yàn)榍蚨际且粯拥?;?dāng)2黑1藍(lán)1白坐位置時(shí)又為何不是呢?這是兩個(gè)黑球交換順序都不會(huì)影響結(jié)果的原因,定向思維的消極性也正在于此.教師在學(xué)生對所學(xué)知識的掌握比較好時(shí)就應(yīng)適當(dāng)放松定向思維的強(qiáng)調(diào),否則學(xué)生往往會(huì)滿足于現(xiàn)狀并因此逐步形成因循守舊的思維方式,在具體解題中往往極易出錯(cuò)或無法突破.
存在一定局限性的定向思維卻也能夠?yàn)閷W(xué)生的思考與探索提供一定的方向、方法或解題程序.很多問題雖然不一定因此得解,但學(xué)生在初步具備思考方向與一般解題方法之后就能獲得敢于動(dòng)筆的勇氣,這對于學(xué)生來講不失為一個(gè)良好的開端.比如,解決相當(dāng)數(shù)量的概率題之后,學(xué)生往往會(huì)具備一定的解題章法與思路,很多學(xué)生看到問題就能獲悉問題所要考查的知識點(diǎn).以下是一道得分率較高的問題,學(xué)生之所以能較好地解決此問題,正是因?yàn)閷W(xué)生的思維已經(jīng)具備了一定的基礎(chǔ)與能力.
例2某車間的甲、乙兩個(gè)組各有工人10名,其中女工各有4名和6名.車間主任準(zhǔn)備在兩組工人中共簡單隨機(jī)抽樣4名工人進(jìn)行技術(shù)考核,分層抽樣時(shí)層內(nèi)不放回.
(1)甲、乙各組抽取的人數(shù)是多少?
(2)從甲組中恰巧抽到1名女工的概率是多少?
(3)抽到的4名工人中恰巧有2名男工的概率是多少?
解析:解決這一概率統(tǒng)計(jì)知識問題時(shí)要求學(xué)生具備正確理解分層抽樣的方法,不僅如此,利用分類原理處理事件概率的能力也是學(xué)生在解決此題時(shí)應(yīng)該具備的能力.要求第(1)問中甲、乙兩組各抽取的人數(shù)可以利用分層統(tǒng)計(jì)原理直接求得;要求第(2)問中恰巧抽到1名女工的概率則要用到組合公式;要求第(3)問中恰巧有2名男工的概率則要正確理解題意并進(jìn)行正確的分類才能求得.
解:(1)甲、乙兩組的工人各有10名,要從兩組人員中共抽取4名工人根據(jù)分層抽樣原理則應(yīng)考慮從每組中各抽取2名工人.
(2)記A表示事件:從甲組中恰巧抽到1名女工,其概率為
(3)記B表示事件:抽到的4名工人中恰巧有2名男工,Ai表示事件:從甲組抽出的2名工人中恰巧有男工人i名,i=0,1,2,Bj表示事件:從乙組抽出的2名工人中恰巧有男工人j名,j=0,1,2.
Ai和Bj獨(dú)立,i,j=0,1,2,且故P
培養(yǎng)學(xué)生的定向思維是益處與壞處同時(shí)并存的,因此,教師在培養(yǎng)學(xué)生的定向思維的時(shí)候一定要有所把握,令學(xué)生的定向思維發(fā)展到一定程度就獲得發(fā)散思維的培養(yǎng),否則學(xué)生在定向思維的一貫作用中必然會(huì)受到消極的影響.
發(fā)散思維這一高層次的思維形式不可能在一朝一夕之間形成,學(xué)生的發(fā)散思維由熟到巧的過程需要教師的不斷培養(yǎng)與指導(dǎo).因此,教師應(yīng)隨時(shí)關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的新奇感并盡量多地進(jìn)行假設(shè),使學(xué)生能夠在更多個(gè)為什么中獲得一題多解、一題多變的訓(xùn)練并最終達(dá)到舉一反三的效果.
教師在具體的教學(xué)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法對問題答案進(jìn)行探求,使學(xué)生能夠在不同角度與途徑的問題探尋中獲得發(fā)散思維的鍛煉與發(fā)展.
例3求證
證法1:(運(yùn)用二倍角公式)
證法2:(逆用半角公式)
證法3:(運(yùn)用萬能公式)
設(shè)tanθ=t,則
證法4:因?yàn)?/p>
證法5:(變更問題)證明下式(1-cos2θ+sin2θ)sin2θ=(1-cos2θ)(1+cos2θ+sin2θ)即可.
證法6:(利用比例性質(zhì))由正切半角公式tanθ=,利用合分比性質(zhì)即可令該命題得證.
學(xué)生在教師有意識的一題多解的引導(dǎo)與訓(xùn)練中進(jìn)行了多方面的思考,最終師生共同歸納概括并獲得三角恒等式的基本證明方法如下:(1)統(tǒng)一函數(shù)種類;(2)統(tǒng)一角度;(3)統(tǒng)一運(yùn)算.
有意義的一題多解能令學(xué)生更好地拓寬思路并獲得知識之間的廣泛聯(lián)系,使學(xué)生能夠在多角度思考解題方法的訓(xùn)練中不斷對問題進(jìn)行逐層深入的思考并獲得發(fā)散思維的鍛煉.
不過,值得教師注意的是,一題多解確實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一個(gè)良好途徑與手段.除此之外,教師還可以根據(jù)具體問題進(jìn)行結(jié)論或條件的改變并令學(xué)生在更具深度與廣泛性的訓(xùn)練中獲得發(fā)散思維的培養(yǎng)與提升.在培養(yǎng)學(xué)生定向思維基礎(chǔ)上的發(fā)散思維訓(xùn)練能令學(xué)生更好地發(fā)揮定向思維的優(yōu)勢并獲得解題能力的不斷提升,教師在具體教學(xué)中應(yīng)平衡好學(xué)生定向思維與發(fā)散思維的培養(yǎng)并促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展.W