☉江蘇省海安市立發(fā)中學 吉訓玫

異面直線所成的角一直是自主招生和高考的重要考點之一，其是通過平面幾何與平面解析幾何中兩條相交直線的夾角來進行刻畫的，實現了立體空間問題的平面化，使得平面幾何與立體幾何之間構造起有效的聯系.而異面直線所成的角的概念教學一直是重點與難點，下面結合一道高考真題，通過對異面直線所成的角的求解，來具體剖析數學概念教學的一些重要環(huán)節(jié).

【高考真題】（2018·全國卷Ⅱ理·9）在長方體ABCD—中，則異面直線AD與DB11所成角的余弦值為（ ）.

一、引入概念

要求解異面直線AD1與DB1所成角的余弦值，首先要有異面直線所成的角的概念.而引入概念就需要根據實際問題來確定.利用兩條異面直線間的位置關系，可以通過確定一條直線位置不變，另一條直線旋轉變化來說明兩者之間存在某種角度關系.再借助立交橋的現實模型來設置合理的教學情景，通過角的變化來明確學習異面直線所成的角的意義與作用.

其實，引入數學概念，需要根據具體數學概念的不同情況，有時可以從數學概念體系的發(fā)展過程來引入，有時也可以從解決實際問題的必要來引入，方式各樣，場景多變.

二、形成概念

引入概念之后，就是兩條異面直線之間存在某種角度關系，借助兩條相交直線的夾角，自然就形成了有關異面直線所成的角的概念.又由于平面上兩條相交直線的夾角是已知的概念，那么異面直線所成的角的概念就必須在平面上兩相交直線的夾角的基礎上加以形成.

實際上，數學概念的形成階段，往往可以借助相關典型、豐富的實例，通過相互之間的分析、比較、綜合等有意識的活動，進而揭示出相關的數學概念的本質屬性.

三、概括概念

有了前面的引入與形成概念的基礎，簡明扼要且正確的概括就是核心內容.而正確的概括就是從某類個別事物中抽象出相應的有效的本質屬性，進而推廣延伸到該類所有事物的本質屬性中，進而形成關于這類事物的普遍性、一致性的認知與規(guī)律，這就是相關概念的概括.正確的概括概念，要充分把握好相關數學概念的本質屬性，這也真正有利于學生語言概括能力的培養(yǎng)與提升.

借助前面對異面直線所成的角的部分所進行的分析與比較，把這類異面直線所成的角的共同特征通過語言并結合數學形式描述出來，進而推廣到一般情況，這就是給異面直線所成的角的概念下了個定義：

異面直線所成的角的概念：已知a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點O作直線a1∥a，b1∥b，我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a、b所成的角.

其實，通過教學設計，讓學生關注異面直線所成的角的特征，并進一步完善相關概念，如此操作，不僅可以真正有效地進行異面直線所成的角的概念教學，而且能夠提升學生正確理解數學概念的能力，還能夠培養(yǎng)學生的語言思維能力.

四、明確概念

明確異面直線所成的角的概念，即明確異面直線所成的角的注意點與求解步驟.實質上，就是要明確相關概念的內涵部分與外延部分.

根據上面異面直線所成的角的概念，通過總結分析，可以進一步來明確概念：

1.異面直線所成的角的注意點

（1）由等角定理可知，異面直線a、b所成的角與點O的位置無關.

（2）若兩條異面直線所成的角是直角，則說明這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b.

2.求解異面直線所成的角的步驟

（1）一作：恰當選點，通過平移構造出一個相交角.

（2）二證：證明平行關系成立.

（3）三求：把角放入三角形或其他平面圖形中來求解.

（4）四結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是所求的異面直線所成的角.

有了對異面直線所成的角的注意點與求解步驟的進一步明確，才能為概念的應用奠定基礎.

五、應用概念

在掌握異面直線所成的角的概念的過程中，需要進一步從概念出發(fā)，通過概念來有效地解決相關問題，充分認識同類事物，解決相關問題，有效求解異面直線所成的角.而如何正確求解異面直線所成的角，這是應用概念與理解概念齊頭并進、充分理解與掌握的過程.

其實，抓住異面直線所成的角的概念，可以通過平移兩條異面直線中的一條或兩條，形成相交直線，把空間問題平面化，轉化為相應的三角形問題，再通過求解三角形最終達到求解的目的.在通過實際平移構造異面直線所成的角的過程中，往往要抓住幾何體中的一些關鍵特殊點，進而構造異面直線所成的角，再結合相關的知識來分析與求解.

解法1：如圖1，連接BD1交DB1于點O，取AB的中點E，連接OE，DE.由長方體的性質知，點O為BD1的中點，則有AD1∥OE，根據異面直線所成的角的定義可知，∠DOE即為異面直線AD1與DB1所成的角.由題可得D1B=DB1=

所以在△DOE中，由余弦定理可得cos∠DOE=所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.故選C.

其實，數學概念的應用也可以與其他原有的數學概念相結合，從而進行邏輯思維水平上的延展與應用.比如，在求解異面直線所成的角時，還可以通過補全幾何體，平移相關直線使之相交，從而作出相應的異面直線所成的交角.補形法往往是通過補形，轉化為熟悉的空間幾何體中的相交直線問題來求解.

解法2：把兩個相同的長方體組合成一個新的長方體，如圖2所示，則知AD1∥EB1，異面直線AD1與DB1所成的角就轉化為直線EB1與DB1所成的角，即∠DB1E.

圖2

所以在△DB1E中，由余弦定理可得cos∠DB1E=，所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.故選C.

只有充分理解與掌握異面直線所成的角的概念，才能加以正確應用.其實，求解此類異面直線所成的角的問題時，經常通過補形法，可以借助特殊的空間幾何體為問題的背景場所，如正方體、長方形、平行六面體等，進而利用相關的特殊空間幾何體的圖形特征、結構、線與線、線與面的關系等，達到合理轉化與構造異面直線所成的角的目的.

六、形成認知

在學習了一個全新的數學概念之后，一定要把此新概念與相關的已知的數學概念構造起有效的關聯，明確相關概念之間的從屬、平行、包含或延伸等關系，從而把新的數學概念納入到相應的數學概念體系中，然后進行有效的概念教學，形成認識.我們知道，異面直線所成的角的概念是空間圖形的平面化思維表達，其也是平面上兩條相交直線的夾角的空間拓展與體現.由此形成了兩條直線的夾角的系統(tǒng)概念，為平面幾何與立體幾何的轉化構造平臺.

數學概念具有高度的抽象性、概括的精簡性以及廣泛的聯系性等特點，在具體概念教學過程中應該充分體現基本概念的實際需要、產生背景與來龍去脈，并通過相關的實例分析引入基本概念，然后形成相關概念并加以概括，同時明確相關概念的本質屬性，進而概括概念、明確概念、完善概念、不斷鞏固和應用概念，真正達到初步掌握概念，進而形成認識，從而達到有效地用數學概念教學的目的.H