劉文雅

（1.四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué) 國(guó)際商學(xué)院，重慶 400031；2.重慶大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030）

0 引言

拍賣（auction），長(zhǎng)期以來(lái)都被人們當(dāng)成一種有效的商品分配機(jī)制，而采購(gòu)（procurement）可以將其視為一種逆向拍賣（或采購(gòu)拍賣即投標(biāo)者為賣方，采購(gòu)者為買方）。采購(gòu)和拍賣的一個(gè)明顯區(qū)別在于：拍賣一般來(lái)說(shuō)價(jià)格是決定獲勝與否的唯一因素；采購(gòu)獲勝極少由價(jià)格唯一決定，實(shí)際采購(gòu)過(guò)程中還需考慮商品的質(zhì)量、售后服務(wù)及交貨時(shí)間等因素，因此采購(gòu)拍賣（或招投標(biāo)）通常是多維的（multidimensional）。

多屬性采購(gòu)拍賣理論研究起源于20世紀(jì)90年代，Che[1]較早系統(tǒng)地研究多屬性采購(gòu)拍賣理論，是以美國(guó)國(guó)防部（DoD）的武器采購(gòu)系統(tǒng)為研究對(duì)象，證明了在一定條件下第一得分（first-score）和第二得分（second-score）采購(gòu)機(jī)制產(chǎn)生的預(yù)期效用是相同的。Branco[2]延伸了Che[1]的工作，假設(shè)投標(biāo)者的成本函數(shù)中信息因子是隨機(jī)且相關(guān)的。Asker和Cantillon（2008）[3]討論了一個(gè)采購(gòu)者和N個(gè)投標(biāo)者的招投標(biāo)模型，投標(biāo)由價(jià)格p和M個(gè)非價(jià)格因素屬性構(gòu)成，證明了通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞綄⒐┴浬痰亩嗑S私有信息轉(zhuǎn)變?yōu)橐痪S信息不會(huì)影響采購(gòu)拍賣均衡分析結(jié)果的充分條件。另一方面，對(duì)投標(biāo)者來(lái)說(shuō)，通過(guò)拍賣贏取投標(biāo)會(huì)產(chǎn)生一定的風(fēng)險(xiǎn)，如果投標(biāo)者不喜歡風(fēng)險(xiǎn)或?qū)︼L(fēng)險(xiǎn)厭惡程度不同，則在不同的采購(gòu)拍賣規(guī)則下的競(jìng)價(jià)策略也會(huì)不同[4-6]，從而導(dǎo)致采購(gòu)者的預(yù)期收益會(huì)隨采購(gòu)規(guī)則發(fā)生變化。因此，有必要對(duì)帶有風(fēng)險(xiǎn)厭惡投標(biāo)者的多屬性采購(gòu)拍賣的投標(biāo)策略進(jìn)行研究。近期Liu等[7]在真實(shí)評(píng)分（naive scoring rule）的條件下討論了帶有風(fēng)險(xiǎn)厭惡投標(biāo)者的多屬性采購(gòu)拍賣模型，所謂“真實(shí)評(píng)分”意味著投標(biāo)者在知道采購(gòu)者的真實(shí)偏好情況下進(jìn)行投標(biāo)，但實(shí)際采購(gòu)拍賣中采購(gòu)者一般不愿意公開(kāi)自己的真實(shí)偏好，除非投標(biāo)者和采購(gòu)者出現(xiàn)共謀（Collusion）的現(xiàn)象。此外，在多屬性采購(gòu)拍賣中采購(gòu)者往往不能準(zhǔn)確評(píng)估投標(biāo)者的投標(biāo)。因此為了更客觀地評(píng)估投標(biāo)，有必要在充分反映采購(gòu)者偏好的條件下，引入第三方評(píng)分（the third-party scoring）。

本文主要在文獻(xiàn)[1，7]的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)系統(tǒng)（Arrow-Pratt coefficient of risk-aversion）和第三方評(píng)分，研究帶有風(fēng)險(xiǎn)厭惡投標(biāo)者的多屬性采購(gòu)拍賣模型。在投標(biāo)者知道自己效用函數(shù)的情況下，給出均衡投標(biāo)策略的解析表達(dá)式，并分析了投標(biāo)者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度對(duì)投標(biāo)策略的影響。

1 模型假設(shè)與理論分析

本文將給出關(guān)于多屬性采購(gòu)拍賣模型基本的定義和假設(shè)。首先假設(shè)市場(chǎng)中有某個(gè)采購(gòu)者將購(gòu)買某一種不可分割的物品(或服務(wù))。該采購(gòu)者將面對(duì)n個(gè)投標(biāo)者，令N代表所有參與投標(biāo)的投標(biāo)者集合，則有：

那么i，j∈N將代表不同的投標(biāo)者。本文假設(shè)需要采購(gòu)的物品包含了一個(gè)二維屬性:價(jià)格屬性（用p表示）和質(zhì)量屬性（用q表示），其中q不僅表示采購(gòu)物品的質(zhì)量，本文假設(shè)它還包含了采購(gòu)物品其他所有非貨幣屬性。本文主要考慮兩個(gè)多屬性采購(gòu)拍賣模型，即“第一評(píng)分拍賣”和“第二評(píng)分拍賣”，首先投標(biāo)者通過(guò)密封投標(biāo)的方式投一個(gè)包含(p，q)的標(biāo)，采購(gòu)者通過(guò)第三方評(píng)分的方式對(duì)所有投標(biāo)進(jìn)行評(píng)判。所謂“第一評(píng)分拍賣”是指得分最高的投標(biāo)所產(chǎn)生的(p，q)為獲勝投標(biāo)；而“第二評(píng)分拍賣 "是指得分最高的投標(biāo)者執(zhí)行得分第二所產(chǎn)生的(p，q)。顯然第一評(píng)分拍賣和第二評(píng)分拍賣分別類似于通常意義密封投標(biāo)拍賣中的第一價(jià)格拍賣和第二價(jià)格拍賣。

為了更精確地說(shuō)明q對(duì)于采購(gòu)決策的影響，本文定義V(q)為質(zhì)量屬性q的量化函數(shù)V∶R→R。對(duì)于V(q)作下述假設(shè):

假設(shè)1①假設(shè)1是為保證質(zhì)量排序的單調(diào)性。：量化函數(shù)V(q)是一個(gè)單調(diào)遞增的凹函數(shù)且V(0)=0。

本文將獲勝投標(biāo)者i從合同(q，p)中獲得的效用定義為:

這里Ub是投標(biāo)者的效用函數(shù)，c(q，θi)是投標(biāo)者i的成本函數(shù)。本文假設(shè)c(q，θi)關(guān)于質(zhì)量q和成本參數(shù)θi是遞增的，而效用函數(shù)Ub也是一個(gè)單調(diào)遞增的凹函數(shù)且V(0)=0。

本文假設(shè)投標(biāo)者選擇參與投標(biāo)時(shí)不需要額外支付進(jìn)場(chǎng)費(fèi)(entry cost)。投標(biāo)前每個(gè)投標(biāo)者i都知道自己的成本參數(shù)θi，采購(gòu)者只知道成本參數(shù)的分布函數(shù)。本文假設(shè)投標(biāo)者的成本參數(shù)θi在上獨(dú)立且服從同一分布函數(shù)F(θ),其中且F(θ)存在連續(xù)可微的概率密度函數(shù)f(θ)。由于本文假設(shè)投標(biāo)者之間是完全對(duì)稱的(complete symmetry),因此在下文的分析中將省略角標(biāo)i。為了建立更為精確和便于分析計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，本文做如下假設(shè):

假設(shè)2②假設(shè)2保證合同會(huì)給所有成本類型的投標(biāo)者。是關(guān)于θ的一個(gè)遞增函數(shù)。

假設(shè)3：采購(gòu)者一定是通過(guò)采購(gòu)拍賣來(lái)采購(gòu)標(biāo)的（即使出現(xiàn)最高成本ˉ）。

本文用S(q，p)=s(q)-p代表第三方評(píng)價(jià)規(guī)則，其中s(q)是第三方對(duì)于產(chǎn)品質(zhì)量的評(píng)分。本文假設(shè)所有的投標(biāo)者在投標(biāo)前知道這個(gè)評(píng)價(jià)規(guī)則而且采購(gòu)者承諾該評(píng)分規(guī)則代表了他的最優(yōu)偏好。本文假設(shè)該評(píng)分規(guī)則具有如下性質(zhì):

假設(shè)4 ：這里s(q)-c(q，θ)對(duì)于所有的關(guān)于q有唯一的極大值，s(.)是遞增的關(guān)于q≤argmax{s(q)

本文將引入Arrow-Pratt完全風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量（Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion）來(lái)定義市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)厭惡投標(biāo)者。

定義1[8]：本文稱投標(biāo)者期望效用函數(shù)Ub(x)的Arrow-Pratt完全風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量有如下定義:

定義2[8]：假如投標(biāo)者期望效用函數(shù)Ub(x)的Arrow-Pratt完全風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量A(x)＞0,則稱該投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。

2 模型分析

本文將討論風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)多屬性采購(gòu)拍賣投標(biāo)策略的影響。由于投標(biāo)具有二維屬性，因此需要分析風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)于每個(gè)指標(biāo)的影響。首先，本文考慮風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)于價(jià)格屬性投標(biāo)的影響。由上文可知采購(gòu)者通過(guò)第三方評(píng)分的方式來(lái)確定投標(biāo)獲勝者。對(duì)于投標(biāo)者來(lái)說(shuō)，他們競(jìng)爭(zhēng)中有三種方法可以提高得分增大自己的獲勝概率。這三種方法分別是：（1）提高產(chǎn)品質(zhì)量得分；（2）降低價(jià)格；（3）既提高質(zhì)量又降低價(jià)格。根據(jù)假設(shè)4和第三方評(píng)分規(guī)則S(q，p),投標(biāo)者對(duì)于均衡質(zhì)量投標(biāo)有如下選擇:

引理1：在多屬性第一和第二評(píng)分采購(gòu)拍賣中，投標(biāo)者將選擇qs(θ)作為均衡質(zhì)量投標(biāo):

因此，投標(biāo)者的期望效用為：

上述不等式表明對(duì)于投標(biāo)者來(lái)說(shuō)不存在另一個(gè)均衡質(zhì)量投標(biāo)。證畢。

上述引理表明在期望效用函數(shù)作用下，質(zhì)量屬性的選擇與價(jià)格屬性選擇是獨(dú)立的，本文可以通過(guò)先求解最優(yōu)的非價(jià)格屬性，本質(zhì)上將多屬性拍賣轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單屬性拍賣。下面將討論風(fēng)險(xiǎn)厭惡投標(biāo)者均衡價(jià)格的策略。

在多屬性第二評(píng)分采購(gòu)拍賣機(jī)制中，投標(biāo)者的均衡投標(biāo)價(jià)格為：

因此在多屬性第一評(píng)分采購(gòu)拍賣中，投標(biāo)者的目標(biāo)函數(shù)可以表示為:

本文令G(.)=(1-F(.))n-1,g(.)=G′(.)那么式（10）可以變?yōu)椋?/p>

由包絡(luò)定理以及一階最優(yōu)性條件，有如下微分方程：

通過(guò)計(jì)算可以知道上述微分方程有積分因子eac(qs(θ)，θ)，因此本文可以將方程（13）變?yōu)橄率鑫⒎址匠蹋?/p>

顯然上述方程是一個(gè)恰當(dāng)方程，本文利用邊界條件解方程（14），得到投標(biāo)者的均衡價(jià)格策略為：

對(duì)于多屬性第二評(píng)分采購(gòu)拍賣，由文獻(xiàn)[9]命題4的主要結(jié)論，可知：

證畢。

上述命題的主要結(jié)論表明投標(biāo)者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)于多屬性第一評(píng)分采購(gòu)拍賣機(jī)制的均衡價(jià)格產(chǎn)生了影響，而對(duì)多屬性第二評(píng)分采購(gòu)拍賣機(jī)制的均衡價(jià)格沒(méi)有產(chǎn)生影響。當(dāng)投標(biāo)者知道自己的效用函數(shù)時(shí)，能夠得到自己均衡價(jià)格的解析表達(dá)式。通過(guò)等式（15），可以知道該均衡價(jià)格和參與投標(biāo)的人數(shù)是相關(guān)的。在其他條件固定的情況下，均衡價(jià)格將隨著投標(biāo)者人數(shù)的上升而下降。接下來(lái)將討論風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度如何影響多屬性第一評(píng)分采購(gòu)拍賣機(jī)制的均衡價(jià)格。

命題2：設(shè)是另一個(gè)效用函數(shù)，滿足函數(shù)Ub的所有假設(shè)，?為的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。在多屬性第一評(píng)分采購(gòu)拍賣中，如果有那么投標(biāo)者的均衡價(jià)格就有下述關(guān)系:

本文令使得上述不等式成立的所有θ構(gòu)成的集合為S。而當(dāng)θ=θˉ,可以知道：

因此必然存在θ*=maxS和ε＞0,對(duì)于任何θ∈(θ*-ε，θ*+ε)，有：

由于δ(θ)＞0,那么可得：

又由函數(shù)γ(.)的定義，可以知道γ′=1+αγ。對(duì)于任意t≥0,有γ(t)≥0,進(jìn)而那么γ(.)是一個(gè)嚴(yán)格遞增函數(shù)。結(jié)合歸納假設(shè)式（16）可得：

結(jié)合不等式（18）和式（19），可得：

另一方面，由文獻(xiàn)[4]知道如果a?＞a，則有：

顯然不等式（20）和式（21）將導(dǎo)出矛盾，即假設(shè)是錯(cuò)誤的。因此有：

證畢。

上述命題的結(jié)果說(shuō)明，在多屬性第一評(píng)分采購(gòu)拍賣中，在其他條件不變的條件下，均衡價(jià)格隨著投標(biāo)者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度增大而降低。

3 結(jié)論

在基于第三方評(píng)分的條件下，本文研究了帶有風(fēng)險(xiǎn)厭惡投標(biāo)者的多屬性采購(gòu)拍賣模型，給出了投標(biāo)者的均衡投標(biāo)策略，分析了投標(biāo)者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度以及參與投標(biāo)的人數(shù)對(duì)于投標(biāo)策略的影響。本文的主要結(jié)果將已有文獻(xiàn)[1，7]中相應(yīng)結(jié)果推廣到更一般的情形。通過(guò)對(duì)本文主要結(jié)果的分析，可得如下結(jié)論:當(dāng)投標(biāo)者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度或者投標(biāo)者人數(shù)分別增大時(shí)，投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)格會(huì)降低；而對(duì)多屬性第二評(píng)分采購(gòu)拍賣不會(huì)帶來(lái)影響。因此面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投標(biāo)者時(shí)，采購(gòu)者選取多屬性第一評(píng)分采購(gòu)拍賣機(jī)制獲得的效用優(yōu)于選取多屬性第二評(píng)分采購(gòu)拍賣機(jī)制獲得的效用。