張春麗，楊利雄，李慶男

（1.西北民族大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院，蘭州 730030；2.蘭州大學(xué)管理學(xué)院，蘭州 730000；3.臺灣中山大學(xué) 經(jīng)濟研究所，臺灣 高雄 80611）

0 引言

近年來，門檻模型成為一個研究熱點，并成為經(jīng)濟管理學(xué)科實證分析中應(yīng)用最廣泛的研究方法之一。門檻模型本質(zhì)上是一種非線性模型，通過某個可觀測變量的取值區(qū)間將樣本分解到幾個機制（regime），每個機制上采用不同的線性模型。門檻回歸模型由Hansen（1996，2000）[1,2]構(gòu)建，并被擴展到了面板數(shù)據(jù)[3]；在非平穩(wěn)條件下，Balke和Fomby（1997）[4]發(fā)展出了門檻協(xié)整模型，后續(xù)文獻對其做了有益的擴展[5,6]。

門檻模型的門檻存在性檢驗在實證應(yīng)用中具有重要意義。然而因不存門檻的原假設(shè)下，門檻效應(yīng)不能識別，即存在Davies問題[7,8]，使得門檻存在性檢驗是非標(biāo)準(zhǔn)檢驗，這成為一個難點。文獻中對Davies問題主要的解決辦法是：建立不能識別的參數(shù)空間上的上確界類檢驗統(tǒng)計量（sup-test）、平均統(tǒng)計量和指數(shù)平均統(tǒng)計量[8,9]。這類統(tǒng)計量的極限分布常常十分復(fù)雜，因而其大樣本分布的臨界值不易得到，或大樣本臨界值不能較好地近似有限樣本。

Hansen（1996）[1]針對此問題建立了使用Bootstrap方法計算統(tǒng)計量P值或臨界值的理論基礎(chǔ)?；诖耍F(xiàn)有關(guān)于門檻模型的文獻中幾乎都使用Bootstrap實現(xiàn)檢驗，如文獻[2，3,10-12]等。這些文獻提出了多種使用Bootstrap實現(xiàn)檢驗的流程。然而，學(xué)術(shù)界尚未深入研究不同的條件下選擇最優(yōu)檢驗方法的標(biāo)準(zhǔn)，這為應(yīng)用研究帶來了一定的困擾。

鑒于此，本文嘗試在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，歸納常見的門檻存在性檢驗Bootstrap流程，采用蒙特卡洛模擬方法對不同Bootstrap檢驗流程的有限樣本性質(zhì)進行系統(tǒng)性比較分析，以考察不同檢驗方法在檢驗功效和檢驗水平問題，并在此基礎(chǔ)上提出對門檻模型應(yīng)用研究具有實際指導(dǎo)意義的建議。本文中所有模擬均使用Gauss 10.0軟件編程實現(xiàn)。

1 模型

現(xiàn)有的基于門檻模型的實證研究多基于Hansen（2000）[2]的門檻回歸模型：

其中，xt是m維的向量；qt為門檻變量，et是平穩(wěn)隨機誤差項，方差為σ2。

（1）參數(shù)估計

對任意給定的γ，使用最小二乘法（OLS）得到參數(shù)β的估計在上述估計的基礎(chǔ)上，考慮式（2）的殘差平方和SSR(γ)?？紤]通過最小化殘差平方和得到參數(shù)γ的估計，即

（2）假設(shè)檢驗

為了檢驗門檻效應(yīng)的存在性，考慮原假設(shè)H0∶β1=β2。在原假設(shè)成立的情況下，模型退化為線性模型門檻值參數(shù)γ是不能識別的，即存在Davies問題[7,8]。門檻效應(yīng)的存在性在理論模型的選擇和實證應(yīng)用中都具有重要的意義。然而，由于Davies問題的存在，使得檢驗是非標(biāo)準(zhǔn)檢驗。文獻中給出的解決此問題的方法主要包括：sup-test方法、平均統(tǒng)計量法、指數(shù)平均法和inf-t統(tǒng)計量法[1,8,9]。門檻模型中，門檻值γ在原假設(shè)成立時是不能識別的，而門檻存在性檢驗依賴于門檻值，對每一個γ，假設(shè)有統(tǒng)計量T(γ)，因此其極限分布也依賴于不能識別的參數(shù)γ。假設(shè)γ可能取值的集合為Γ，且Γ中有G個元素，sup-test方法的思路是：考慮構(gòu)造統(tǒng)計量supT=supγ∈ΓT(γ)，該統(tǒng)計量不依賴于冗余參數(shù)（nuisance parameters）；平均統(tǒng)計量法的思路是：考慮構(gòu)造如下統(tǒng)計量指數(shù)平均法的思路是：考慮構(gòu)造如下統(tǒng)計量

Hansen（2000，2017）[2,10]構(gòu)造了如下統(tǒng)計量：將時變門檻回歸模型（1）在 原假設(shè)H0∶β1=β2下 和備擇假設(shè)H1∶β1≠β2下的殘差平方和分別記為SSR1和SSR2，然后考慮統(tǒng)計量該統(tǒng)計量具有簡單性和直觀性，因而被廣泛應(yīng)用。Hansen（1996）[1]討論了門檻效應(yīng)存在性檢驗的極限分布問題，并給出了使用bootstrap逼近檢驗臨界值的方法。參考文獻[1-3,10,11]，根據(jù)bootstrap流程中生成因變量時是否加擬合值，及其bootstrap流程中抽取誤差項的方式，常見的bootstrap檢驗流程可歸納如下6種：

流程1：從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中生成n個獨立同分布的隨機數(shù)ut；生成其中為原假設(shè)H0∶β1=β2下模型的殘差；然后，基于重新估計原假設(shè)和備擇假設(shè)下的模型（1），計算門檻存在性檢驗統(tǒng)計量重復(fù)上述步驟B次，得到據(jù)此可計算臨界值或p值。

流程2：從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中生成n個獨立同分布的隨機數(shù)ut；生成其 中為 原 假 設(shè)下模型的系數(shù)估計和殘差；然后，基于重新估計原假設(shè)和備擇假設(shè)下的模型（1），計算門檻存在性檢驗統(tǒng)計量；重復(fù)上述步驟B次，得到，據(jù)此可計算臨界值或p值。

流程3：從N(0，SSR1/T)中生成n個獨立同分布的隨機數(shù)ut，其中的殘差平方和，生成；然后，基于重新估計原假設(shè)H0∶β1=β2和備擇假設(shè)下的模型（1），計算門檻存在性檢驗統(tǒng)計量重復(fù)上述步驟B次，得到，據(jù)此可計算臨界值或p值。

流程4：從N(0，SSR1/T)中生成n個獨立同分布的隨機數(shù)ut，其中的殘差平方和；生成其中為原假設(shè)H0∶β1=β2下模型的系數(shù)估計和殘差；然后，基于重新估計原假設(shè)H0∶β1=β2和備擇假設(shè)H1∶β1≠β2下的模型（1），計算門檻存在性檢驗統(tǒng)計量重復(fù)上述步驟B次，得到，據(jù)此可計算臨界值或p值。

（3）數(shù)據(jù)生成過程

考慮如下三種數(shù)據(jù)生成過程：

此外，為了分別考察誤差項自相關(guān)和異方差對檢驗的影響，設(shè)定：

其中，-1＜ρ＜1,0≤α1＜1/3。參考Davidson等（2007）[13]，考慮存在偏態(tài)（skewness）的服從伽馬分布的擾動項εt～Ga(1，1)對門檻存在性檢驗的檢驗水平與檢驗功效的影響；同時，選取α1={0.1，0.2，0.3}，ρ={-0.5，0.1，0.5}，考察異方差程度與自相關(guān)程度對門檻存在性檢驗性質(zhì)的影響。

2 門檻存在性檢驗有限樣本性質(zhì)的模擬分析

門檻模型在實證應(yīng)用中正逐步成為經(jīng)濟學(xué)和管理學(xué)研究領(lǐng)域的重要分析工具，其中門檻存在性具有重要的實證含義。因為Davies（1977）[7]問題的影響，門檻存在性檢驗均以Hansen（1996）[1]提出的Bootstrap方法為依據(jù)，在此基礎(chǔ)上，文獻中有多種不同的Bootstrap檢驗流程。然而，在實證應(yīng)用中，如何在多種Bootstrap流程中做出選擇，文獻鮮有提及，因而常常具有主觀性和隨意性。鑒于此，本文采用蒙特卡洛模擬對文獻中常見的6種Bootstrap流程在不同的時間跨度、不同的自相關(guān)程度和不同的異方差情況下的檢驗功效和檢驗水平展開全面的對比分析。所有模擬中顯著性水平均設(shè)置為5%。

首先，本文分別考察在不同的樣本范圍內(nèi)，門檻擾動項為正態(tài)分布時，不同門檻存在性檢驗Bootstrap流程的檢驗功效和檢驗水平。其中，蒙特卡洛模擬重復(fù)次數(shù)和Bootstrap重復(fù)抽樣次數(shù)均為500，樣本容量分別選擇了T=50、T=100、T=200以及T=500。表1和表2分別為此時門檻存在性檢驗不同Bootstrap流程的檢驗功效和檢驗水平。表1中的結(jié)果顯示：每一種Bootstrap流程的檢驗功效都隨門檻效應(yīng)的增加而增加，且隨樣本容量的增大而增加；在門檻效應(yīng)較大時，如β2=2時，所有Bootstrap流程均具有非常高的檢驗功效；而當(dāng)門檻效應(yīng)較小時，流程3和流程4具有更高的檢驗功效。表2的結(jié)果顯示：流程1、流程2、流程5和流程6的拒絕率低于顯著性水平5%；而流程3和流程4具有正確的檢驗水平。

表1 擾動項為獨立同分布的正態(tài)分布時門檻存在性檢驗的功效

表2 擾動項為獨立同分布的正態(tài)分布時門檻存在性檢驗的檢驗水平

其次，在實際經(jīng)濟分析中，模型誤差項常常存在程度不同的自相關(guān)特征，且具有偏度（skewness）。表3和表4分別給出了擾動項存在自相關(guān)和偏度且門檻效應(yīng)β2=2時，不同Bootstrap流程下門檻存在性檢驗的檢驗功效和檢驗水平。從表3發(fā)現(xiàn)：流程3和流程4功效最高，流程5和流程6其次，而流程1和流程2功效略差。然而，表4的結(jié)果表明：流程3和流程4存在過度拒絕問題（over-size phenomenon），而其他流程不存在此問題。因此，在誤差項存在自相關(guān)和偏度時，流程5和流程6是最佳選擇。

表3 擾動項存在自相關(guān)和偏度時門檻存在性檢驗的功效

表4 擾動項存在自相關(guān)和偏度時門檻存在性檢驗的檢驗水平

最后，考慮當(dāng)誤差項存在異方差且門檻效應(yīng)β2=2時，門檻存在性檢驗不同Bootstrap流程的檢驗功效和檢驗水平。從表5（見下頁）結(jié)果中得到：異方差程度的增加會降低門檻存在性檢驗的功效；檢驗功效隨樣本的增加而增加；流程3和流程4具有最高的功效、流程5和流程6次之、流程1和流程2功效略差。表6（見下頁）中的結(jié)果顯示：當(dāng)存在異方差時，流程3和流程4具有嚴(yán)重的過度拒絕問題，而其他流程不存在此問題。

3 結(jié)論與建議

本文基于蒙特卡洛模擬分析考察門檻存在性檢驗的有限樣本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)文獻中常見的門檻存在性Bootstrap流程在大樣本和大門檻效應(yīng)情況下均具有較高的檢驗功效；檢驗功效隨門檻效應(yīng)的增大而提高且隨樣本容量的增加而提高。當(dāng)門檻效應(yīng)較大，且樣本容量大于100時，所有檢驗流程均能在90%或以上的情況下做出正確判斷，拒絕不存在門檻效應(yīng)的原假設(shè)。然而，在小樣本情況下，流程3和流程4具有較高的功效；但當(dāng)模型擾動項存在自相關(guān)、異方差或偏度時，流程3和流程4則存在過度拒絕的問題，而其他流程不存在過度拒絕現(xiàn)象，未報告的模擬分析表明這些結(jié)論對于數(shù)據(jù)生成過程中模型參數(shù)的不同設(shè)置是穩(wěn)健的。

表5 異方差情況下門檻存在性檢驗的檢驗功效

表6 異方差情況下門檻存在性檢驗的檢驗水平

基于上述結(jié)論，本文提出以下建議：首先，在門檻存在性檢驗中，應(yīng)盡可能使用大的樣本容量，使得觀測值個數(shù)達到或超過100，這將使得Bootstrap流程能在大多數(shù)情況下做出正確判斷。另外，流程3和流程4在小樣本時具有較高的功效。其次，模型誤差項中存在的自相關(guān)、異方差、偏度等時，流程3和流程4具有嚴(yán)重的過度拒絕問題，因此雖然流程3和流程4具有高的小樣本檢驗功效，但還必須考慮誤差項的結(jié)構(gòu)。當(dāng)誤差項不存在自相關(guān)、異方差和偏度時，小樣本情況下應(yīng)優(yōu)先使用流程3和流程4；而當(dāng)誤差項存在自相關(guān)、異方差和偏度等特征時，推薦優(yōu)先使用流程5和流程6。