李金城，李 芾，楊 陽，丁軍君

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610031)

近年來隨著列車運(yùn)行速度的提高，對牽引機(jī)車的動力學(xué)性能提出了更高的要求。為降低高圓彈簧工作應(yīng)力，一般使用多組并聯(lián)高圓簧作為機(jī)車的二系懸掛[1-2]，如東風(fēng)9和東風(fēng)11型等內(nèi)燃機(jī)車使用8組高圓簧，韶山7型和韶山8型等電力機(jī)車使用6組高圓簧[3-4]。除機(jī)車外，高圓簧還廣泛應(yīng)用于三大件貨車中。高圓簧作為車輛主要懸掛部件之一，其剛度在進(jìn)行車輛動力學(xué)仿真時需著重考慮，相同條件下采用不同剛度矩陣車輛運(yùn)行性能仿真結(jié)果不同，在車輛模型的驗證階段，其剛度矩陣的選擇及簡化是否合理值得探討與研究。

一般來說，在進(jìn)行機(jī)車動力學(xué)仿真計算時，假設(shè)彈簧為一力元，考慮高圓簧的軸向剛度cl、抗剪剛度cs、抗彎剛度cφ及扭轉(zhuǎn)剛度ca，由于彈簧的對稱性，即認(rèn)為此時只考慮了高圓簧剛度矩陣中的對角元素。在有關(guān)高圓簧分析計算的文章中，大部分給出的只是高圓簧某一方向的剛度計算方法，如縱、橫向剛度的計算方法、復(fù)合材料高圓簧剛度計算校驗以及變剛度彈簧的性能計算等[5-9]?，F(xiàn)有的仿真計算中只是考慮了高圓簧的軸向剛度、抗剪剛度、抗彎剛度及扭轉(zhuǎn)剛度。尚未有文章針對高圓簧的整體矩陣進(jìn)行分析。

高圓簧作為機(jī)車、貨車主要懸掛部件，在實際受力分析中發(fā)現(xiàn)其剛度矩陣中的元素不僅存在于對角位置，根據(jù)高圓簧軸向的不同，非對角元素在矩陣中的分布亦不同。本文通過計算得到高圓簧的整體剛度矩陣，并通過研究簡單的彈簧振子系統(tǒng)和復(fù)雜的機(jī)車車輛模型，分析系統(tǒng)中的高圓簧在采用不同剛度矩陣時的運(yùn)動情況，并對采用不同剛度矩陣系統(tǒng)的計算結(jié)果進(jìn)行比較，對機(jī)車高圓簧剛度矩陣的應(yīng)用進(jìn)行分析。

1 彈簧剛度矩陣的計算方法

由于螺旋圓彈簧存在對稱特性，通常認(rèn)為在垂直于其軸線方向的各方向剪切剛度一致。假設(shè)高圓簧置于笛卡爾坐標(biāo)系中，且軸線平行于Z軸，簧高為H。為模擬彈簧在實際鐵道機(jī)車車輛中的受力情況，高圓簧兩端分別連接于Body2和Body1，用以模擬高圓簧兩端連接車體及轉(zhuǎn)向架的情況，高圓簧分析模型如圖1所示。

圖1 高圓彈簧分析模型

一般計算中僅考慮高圓彈簧的軸向剛度cl、抗剪剛度cs、抗彎剛度cφ及扭轉(zhuǎn)剛度ca，高圓彈簧的剛度矩陣可以表示為

( 1 )

假設(shè)Body2相對于Body1有一沿Y方向的位移dy，如圖2所示。此時彈簧存在一橫向力Fy=-csdy，該力使彈簧產(chǎn)生繞X軸的力矩M，由于彈簧結(jié)構(gòu)的對稱性，力矩分別以csdyH/2的大小作用于彈簧的上下兩端。根據(jù)力與位移的關(guān)系F=ckΔ[10]，可得

( 2 )

圖2 彈簧受力分析模型

求解式( 2 )可得剛度矩陣ck為

( 3 )

由式( 2 )及對比矩陣c和ck可以看出，兩個剛度矩陣的主要區(qū)別在于X，Y方向的元素不同，在Z向(即其軸向)則完全一致。

根據(jù)彈簧特性參數(shù)分析的經(jīng)典計算方法，將高圓簧簡化為彈性桿[11]，其等效剛度計算公式[12-13]為

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

式中：c1s=2(1+μ)cl；c2s=2ca/(2+μ)；H為彈簧計算高度；d為簧絲直徑；R為彈簧中徑；n為彈簧有效圈數(shù)；G為彈簧材料剪切彈性模量；E為彈簧材料彈性模量；μ為彈簧材料泊松比。

2 仿真分析

2.1 高圓簧主要參數(shù)

本文的研究對象為某機(jī)車中央懸掛高圓簧，其參數(shù)見表1。

表1 高圓簧主要參數(shù)

2.2 彈簧振子仿真

為模擬機(jī)車中高圓彈簧的實際應(yīng)用情況，用數(shù)個上述彈簧并聯(lián)建立兩相似的彈簧振子系統(tǒng)，系統(tǒng)中的彈簧軸線沿Z軸方向，其具體方向與圖1高圓彈簧的分析模型一致。兩彈簧振子系統(tǒng)建模時，為研究不同剛度矩陣對系統(tǒng)性能的影響，分別建立各自獨(dú)立的高圓簧模型，并分別考慮其各自剛度矩陣，此時各彈簧處于并聯(lián)關(guān)系，各向剛度計算滿足式( 3 )～式( 7 )。其中，系統(tǒng)1中的彈簧剛度全部采用式( 1 )所示矩陣，即只考慮彈簧剛度矩陣的對角元素；系統(tǒng)2中各彈簧采用式( 3 )所示剛度矩陣，考慮彈簧剛度矩陣中的全部元素，除此之外，兩系統(tǒng)完全相同。在相同條件下，從兩個系統(tǒng)的固有頻率、振動加速度等方面進(jìn)行計算對比。

采用動力學(xué)分析軟件UM(Universal Mechanism)對建立的彈簧振子系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。在鐵道車輛的實際運(yùn)行過程中，由于運(yùn)營工況不同和道路不平順的影響，車輛受到的垂向載荷在不斷變化，高圓彈簧所受到的垂向載荷也在不斷變化。載荷的變化直接影響系統(tǒng)的振動頻率和振動加速度。

在彈簧振子系統(tǒng)中通過改變質(zhì)量塊的質(zhì)量模擬彈簧在不同狀態(tài)下承受的載荷，假設(shè)此時質(zhì)量塊的質(zhì)量能提供的力的大小為彈簧振子工作時的載荷，系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的固有頻率與差值見表2。

表2 兩系統(tǒng)的固有頻率

由表2可知，兩彈簧振子系統(tǒng)在其他條件相同的情況下，由于高圓彈簧采用的剛度矩陣不同，其系統(tǒng)的固有頻率亦不同。由于彈簧存在對稱性，所以每彈簧振子系統(tǒng)在X，Y方向的振動頻率相同且繞X，Y軸轉(zhuǎn)動的振動頻率相同。系統(tǒng)1和系統(tǒng)2固有頻率的不同主要體現(xiàn)在沿X，Y方向的振動和繞X，Y軸的轉(zhuǎn)動，其差值最大為8.64%，在Z方向(即其軸向)兩系統(tǒng)振動頻率完全相同，這與兩剛度矩陣的表現(xiàn)形式一致。

同一彈簧振子系統(tǒng)隨質(zhì)量塊質(zhì)量的變化其固有頻率在變化，車輛在運(yùn)行過程中高圓簧承受的垂向載荷也在不斷變化，故系統(tǒng)固有頻率在不斷改變。計算發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)質(zhì)量的變化，兩彈簧振子系統(tǒng)的固有頻率差值也在不斷變化，在計算彈簧的工作載荷范圍內(nèi)，研究彈簧承受載荷的變化對兩系統(tǒng)固有頻率差距的影響。仿真通過賦予兩彈簧振子系統(tǒng)質(zhì)量塊不同的質(zhì)量來模擬彈簧受到的垂向載荷的變化，分析兩系統(tǒng)在彈簧工作載荷內(nèi)運(yùn)動時，頻率差值隨系統(tǒng)質(zhì)量的變化。

兩系統(tǒng)在X，Y方向固有頻率差值及繞X，Y軸轉(zhuǎn)動的固有頻率差值隨系統(tǒng)質(zhì)量的變化如圖3所示。由圖3可以看出，隨系統(tǒng)質(zhì)量塊質(zhì)量的增加，兩系統(tǒng)在X，Y方向振動的固有頻率差值及繞X，Y軸轉(zhuǎn)動的固有頻率差值線性增大。

圖3 兩系統(tǒng)固有頻率差值隨系統(tǒng)質(zhì)量的變化

在計算固有振動頻率時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，由F=Kx可知系統(tǒng)并聯(lián)彈簧長度隨質(zhì)量塊質(zhì)量的改變而線性改變，即兩系統(tǒng)在X，Y方向固有頻率差值及繞X，Y軸轉(zhuǎn)動方向的固有頻率差值隨彈簧高度的變化呈線性變化。對比傳統(tǒng)計算采用的矩陣c和文章得到的剛度矩陣ck，發(fā)現(xiàn)非對角元素項的數(shù)值與彈簧高度成正相關(guān)，為直觀觀察兩者的關(guān)系，對兩彈簧系統(tǒng)固有頻率差值隨彈簧垂向位移的變化進(jìn)行分析，結(jié)果如圖4所示。

圖4 兩系統(tǒng)固有頻率差值隨彈簧垂向位移的變化

圖4中，兩彈簧系統(tǒng)在X，Y方向固有頻率差值及繞X，Y軸轉(zhuǎn)動的固有頻率差值隨彈簧垂向位移不同而變化，其數(shù)值與彈簧垂向位移的1/2成正比，這與其非對角元素csH/2相符。

由兩系統(tǒng)彈簧剛度矩陣的對比及振動固有頻率的分析可以看出，在彈簧系統(tǒng)只存在垂向位移時，采用不同剛度矩陣對系統(tǒng)X，Y方向性能有較明顯影響，對軸向性能基本沒有影響，在彈簧振子只受到垂向載荷時，系統(tǒng)加速度a完全符合牛頓第二定律F=ma，但同樣條件下，當(dāng)彈簧存在水平方向位移時，兩系統(tǒng)的垂向加速度出現(xiàn)一定的偏差。

當(dāng)彈簧振子系統(tǒng)存在橫向位移時，通過計算兩系統(tǒng)在軸向以及X，Y方向的加速度差值可知：兩系統(tǒng)在不同初始水平方向的外力作用下，軸向振動加速度差別較小，在X，Y方向的振動加速度差別相對較大。由于彈簧存在對稱特性，在研究兩系統(tǒng)X，Y方向的振動加速度差值時以Y方向為例進(jìn)行分析。

在保證兩彈簧振子系統(tǒng)質(zhì)量相同的條件下，對兩系統(tǒng)施加相同的瞬時橫向力，橫向力的方向平行于Y軸方向，作用于彈簧系統(tǒng)質(zhì)量塊質(zhì)心位置。改變施加于兩系統(tǒng)的初始瞬時力的大小，計算兩系統(tǒng)在不同初始力下的橫向振動加速度差值變化，如圖5所示。由圖5可以看出，在不同初始橫向力的作用下兩彈簧振子系統(tǒng)的橫向加速度差值基本維持在一定水平內(nèi)，隨初始橫向力的變化無明顯變化。

圖5 不同初始橫向力作用下兩系統(tǒng)橫向加速度差值

在存在初始橫向力的情況下，彈簧承受來自質(zhì)量塊的垂向載荷和初始橫向載荷，彈簧振子系統(tǒng)在運(yùn)動過程中同時存在垂向位移和橫向位移。此時，兩彈簧振子系統(tǒng)的垂向加速度也存在一定差異，且隨初始橫向載荷的不同而改變。同時，彈簧系統(tǒng)的垂向加速度差值與系統(tǒng)中高圓簧的數(shù)量和各彈簧在系統(tǒng)中的分布位置有關(guān)。在組建的彈簧振子系統(tǒng)承載的橫向工作載荷內(nèi)，兩彈簧振子系統(tǒng)的垂向加速度差值不超過1%。

綜上，當(dāng)彈簧振子系統(tǒng)在只存在軸向位移時，兩彈簧振子系統(tǒng)軸向性能一致，水平方向性能存在一定差距；當(dāng)簧振子系統(tǒng)同時存在軸向和水平方向的位移時，兩彈簧振子水平方向性能和軸向性能均存在一定差異。

2.3 機(jī)車仿真

類似于彈簧振子系統(tǒng)的仿真方法，以某機(jī)車作為研究對象。采用動力學(xué)分析軟件UM建立機(jī)車模型對其各項動力學(xué)指標(biāo)進(jìn)行仿真計算，分析高圓簧剛度矩陣的不同對動力學(xué)性能的影響。建立機(jī)車模型時，采用空間笛卡爾坐標(biāo)系，X軸指向車輛運(yùn)行前方，Y軸與線路方向相垂直，Z軸垂直于軌道平面，其正方向為豎直向上。計算機(jī)車部分參數(shù)見表3。

表3 機(jī)車部分參數(shù)

每個機(jī)車裝有12組高圓簧，在模型建立時，為研究彈簧采用不同剛度矩陣對機(jī)車性能的影響，分別考慮每組彈簧的各項剛度，在機(jī)車與轉(zhuǎn)向架間建立12組彈簧力元，此時各彈簧處于并聯(lián)狀態(tài)且滿足式( 3 )～式( 7 )的剛度關(guān)系。機(jī)車1中高圓簧的剛度矩陣采用傳統(tǒng)的剛度矩陣c而機(jī)車2中所有高圓簧的剛度矩陣除考慮對角元素外還考慮非對角元素，即采用文中計算得到的剛度矩陣ck，其他參數(shù)一致。從機(jī)車振動的固有頻率、平穩(wěn)性、穩(wěn)定性和曲線通過性能等方面對兩機(jī)車各參數(shù)進(jìn)行對比。

2.3.1 振動形式及頻率

計算兩機(jī)車在平衡狀態(tài)下的振動固有頻率，其振動形式及頻率差值見表4。可以看出兩機(jī)車在浮沉運(yùn)動時，振動頻率完全一致，因為浮沉運(yùn)動時，機(jī)車高圓簧只存在軸向運(yùn)動，此時彈簧垂向性能完全一致；在點(diǎn)頭運(yùn)動時，高圓簧存在較小的縱向位移，兩機(jī)車點(diǎn)頭運(yùn)動振動頻率基本一致；在車體進(jìn)行上心滾擺、下心滾擺和搖頭運(yùn)動時，高圓簧存在較大水平方向的位移，兩機(jī)車振動固有頻率顯示出一定差距，其結(jié)果與彈簧振子仿真得出的結(jié)論相同。在常見的車體的5種振動形式中，兩機(jī)車的車體的下心滾擺振動頻率相差最大，為7.24%。

表4 機(jī)車1和機(jī)車2的振動形式及頻率

2.3.2 穩(wěn)定性

穩(wěn)定性指車輛在規(guī)定速度范圍內(nèi)運(yùn)行時不出現(xiàn)蛇行運(yùn)動的能力，一般以蛇行失穩(wěn)臨界速度評價。車輛的結(jié)構(gòu)參數(shù)、懸掛參數(shù)、輪軌接觸關(guān)系等對車輛的穩(wěn)定性都有較大影響。隨著車輛自由度的增加，懸掛參數(shù)(剛度和阻尼)非線性特征引入，剪切剛度和彎曲剛度的等效方式己不能完全描述懸掛系統(tǒng)的特征，臨界速度與結(jié)構(gòu)和懸掛參數(shù)的函數(shù)影響關(guān)系可以借助數(shù)值仿真[14]。兩機(jī)車的螺旋高圓彈簧剛度矩陣存在一定差異，其他懸掛參數(shù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)、輪軌接觸完全相同，在計算臨界速度時，首先以較大激勵使機(jī)車處于發(fā)散狀態(tài)，然后運(yùn)行于平順軌道觀察其橫向運(yùn)動收斂時的運(yùn)行速度，在相同的軌道激勵下，兩機(jī)車的蛇行失穩(wěn)臨界速度分別為245，248 km/h，機(jī)車2優(yōu)于機(jī)車1，蛇行臨界速度高1.2%。兩機(jī)車二系高圓簧剛度矩陣的選取不同，造成了其臨界速度的不同，但相差較小。

2.3.3 平穩(wěn)性

平穩(wěn)性指車輛在最高速度范圍內(nèi)、在規(guī)定線路運(yùn)行時，不會產(chǎn)生過大的振動，并使乘客感到舒適，設(shè)備平穩(wěn)運(yùn)行，一般以垂向、橫向振動加速度和平穩(wěn)性指標(biāo)評價。計算時采用德國低干擾譜作為輸入激勵，兩機(jī)車以同一軌道譜作為系統(tǒng)激勵，計算其橫向、垂向加速度及Sperling指數(shù)的差異，不斷改變車輛運(yùn)行速度，計算各差值隨速度的變化。兩機(jī)車車體橫向振動加速度差值隨速度的變化如圖6所示，橫向Sperling指數(shù)差值隨速度的變化如圖7所示。

圖6 兩機(jī)車橫向加速度差值隨速度的變化

圖7 兩機(jī)車橫向Sperling指數(shù)差值隨速度的變化

由圖6可知，兩機(jī)車橫向加速度差值隨速度的變化無明顯規(guī)律，在計算速度范圍內(nèi)，其橫向加速度差值在2.23%～5.85%之間變化。

在各階速度下，機(jī)車2的橫向振動加速度都優(yōu)于機(jī)車1，但與兩彈簧振子系統(tǒng)橫向加速度差值的變化相比，兩機(jī)車橫向振動加速度差值變化幅度較大，因機(jī)車的振動不像簡單的彈簧振子系統(tǒng)只考慮彈簧的振動，機(jī)車模型中存在許多非線性彈性元件，其振動行為要綜合考慮各個連接部件的運(yùn)動。

垂向振動加速度差值與橫向振動加速度差值一致，呈無規(guī)律變化，其最大差值僅為0.36%，與彈簧振子計算結(jié)果相符，表明機(jī)車在直線線路上運(yùn)行時，兩高圓簧采用不同剛度矩陣對其垂向振動加速度基本無影響。

由圖7可以看出，隨著機(jī)車速度的增加，機(jī)車1和機(jī)車2橫向Sperling指數(shù)的差值呈下降趨勢，其原因是隨著機(jī)車速度的提升，機(jī)車振動頻率在不斷改變，Sperling平穩(wěn)性指數(shù)和與振動頻率有關(guān)的加權(quán)系數(shù)F(f)相關(guān)[15]。加權(quán)系數(shù)在每個頻率區(qū)段的取值不同，導(dǎo)致隨著機(jī)車速度的增加，力矩作用相對較大的頻率區(qū)段內(nèi)加權(quán)系數(shù)取值變小，機(jī)車橫向Sperling指數(shù)的差值隨之變小。在機(jī)車運(yùn)行速度范圍內(nèi)，機(jī)車橫向Sperling指數(shù)的差值大小為1.1%～2.7%。機(jī)車高圓彈簧采用不同剛度矩陣對垂向Sperling指數(shù)基本沒有影響，在計算機(jī)車運(yùn)行速度范圍內(nèi)，機(jī)車1和機(jī)車2的垂向Sperling指數(shù)相差最大值僅為0.29%。

2.3.4 曲線通過性能

使兩機(jī)車在相同速度下運(yùn)行于同一曲線，參考GB 50090—2006《鐵路線路設(shè)計規(guī)范》[16]制定運(yùn)行曲線半徑、通過速度、軌道超高和緩和曲線長度等，分別計算半徑為500，1 000，1 600，3 000，5 000 m等一系列曲線的曲線通過能力，不同曲線對應(yīng)的速度、超高及緩和曲線長度見表5。因機(jī)車通過不同半徑的曲線時速度、超高、軌道加寬等都各不相同，不同曲線半徑間的曲線通過性能不作對比，計算各指標(biāo)時取各差值的最大值。

表5 不同曲線半徑下對應(yīng)的參數(shù)

結(jié)合GB 5599—85和UIC 518中的規(guī)定，對兩機(jī)車在不同曲線上運(yùn)行時的輪軌橫向力、脫軌系數(shù)、輪重減載率和傾覆系數(shù)進(jìn)行對比分析，結(jié)果見表6。計算結(jié)果表明，兩機(jī)車各項曲線通過評價指標(biāo)均存在一定的差異，機(jī)車運(yùn)行于曲線時車體與轉(zhuǎn)向架之間存在較大的橫向力，此時，高圓簧受到來自垂向和橫向的載荷，彈簧存在橫向的位移和垂向的壓縮。由上述彈簧振子系統(tǒng)的研究可知，此時采用不同剛度矩陣的彈簧性能在水平方向和軸向均存在一定差異。傾覆系數(shù)、輪重減載率、脫軌系數(shù)等直接與彈簧軸向性能有關(guān)，輪軌橫向力、脫軌系數(shù)與彈簧的橫向性能相關(guān)，因此，兩機(jī)車的曲線通過性能在各方面均存在一定差異，其差異最大值為6.05%。

表6 兩機(jī)車曲線通過性能評價指標(biāo)對比

3 結(jié)論

通過計算兩彈簧振子系統(tǒng)和兩機(jī)車模型的動力學(xué)性能，對比其振動固有振動頻率和各項動力學(xué)參數(shù)，得出如下結(jié)論：

(1)只考慮高圓彈簧剛度矩陣對角元素的系統(tǒng)與考慮彈簧剛度矩陣全部元素的系統(tǒng)相比，動力學(xué)性能計算結(jié)果存在一定差異，在彈簧只有垂向運(yùn)動時，其差異主要表現(xiàn)在垂直于彈簧軸向的方向，軸向性能基本一致；當(dāng)彈簧振子系統(tǒng)同時存在軸向和水平方向的位移時，兩彈簧振子水平方向性能和軸向性能均存在一定差異。

(2)仿真結(jié)果表明，機(jī)車模型中彈簧采用完整的剛度矩陣時，其平穩(wěn)性、穩(wěn)定性、曲線通過性能都優(yōu)于機(jī)車彈簧只采用對角矩陣的情況，但最大差值未超過8%，當(dāng)研究工作以平穩(wěn)性、穩(wěn)定性等車輛運(yùn)行評價指標(biāo)為主要內(nèi)容時，可適當(dāng)簡化高圓彈簧的剛度矩陣。

(3)相比平穩(wěn)性、穩(wěn)定性和曲線通過能力，高圓簧采用不同的剛度矩陣對系統(tǒng)自身振動固有頻率影響相對較大，當(dāng)研究工作以高圓簧振動頻率作為主要研究對象時，需考慮彈簧剛度矩陣的影響。

(4)機(jī)車高圓彈簧剛度矩陣只考慮對角元素時，仿真結(jié)果較完整剛度矩陣時偏于安全，而且差值較小，故在實際應(yīng)用中對高圓簧剛度矩陣進(jìn)行簡化，只考慮剛度矩陣的對角元素是合理的，滿足工程運(yùn)用要求。