張愛(ài)群

[摘? 要] 圓部分問(wèn)題除了題干給出的條件外，圖形中還包含了較多的隱含條件，這就要求學(xué)生在審題的過(guò)程中兩者兼顧. 文章列舉了解決圓問(wèn)題的兩種解題策略，并結(jié)合實(shí)例做了審題分析，為學(xué)生審題能力的培養(yǎng)提供參考依據(jù).

[關(guān)鍵詞] 圓;審題能力;策略探究

平面幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它對(duì)學(xué)生的抽象思維有一定的要求，很多學(xué)生在平面幾何面前存在較為強(qiáng)烈的畏懼情緒. 在平面幾何部分的內(nèi)容中，圓作為該部分的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，出題角度較為靈活，涵蓋的知識(shí)面較為廣泛，是教師教學(xué)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，很多學(xué)生在該類問(wèn)題屢屢出錯(cuò)，其主要原因就是審題不清. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)試能力，教師往往會(huì)采用題海戰(zhàn)術(shù)，有的還會(huì)總結(jié)綜藝類問(wèn)題的解題方法和技巧，但在“圓”部分的解題中，有些學(xué)生還是大量出錯(cuò)，這就是沒(méi)有注重學(xué)生在“圓”部分審題能力的培養(yǎng). 審題是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的第一步，想要準(zhǔn)確解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，審清題意是關(guān)鍵.

去粗取精策略

很多“圓”部分的數(shù)學(xué)問(wèn)題并不是精練準(zhǔn)確的，它們給出的信息含量較大. 此外，除了題目中給出的已知條件外，受圓自身特點(diǎn)的影響，其圖形自身也含有大量的蘊(yùn)含信息，這就需要學(xué)生從復(fù)雜的題干中提取有用的解題信息. 如果學(xué)生在審題過(guò)程中不能夠準(zhǔn)確把握這些信息，厘清這些信息，就會(huì)陷入解題困境，導(dǎo)致解題出錯(cuò). 因此，在審題過(guò)程中，去粗取精，尋找關(guān)鍵信息是培養(yǎng)學(xué)生審題能力的基礎(chǔ).

例1? 如圖1，圓O的半徑為5，AB，CD分別是圓O的兩條弦，其中AB=8，CD=6，MN是圓O的直徑，AB⊥MN交MN于點(diǎn)E，CD⊥MN交MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，那么PA+PC的最小值是多少？

審題分析：題目中“P為EF上的任意一點(diǎn)，那么PA+PC的最小值是多少”成為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，無(wú)形之中給題目增加了難度. 學(xué)生在審題的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，題干中幾乎所有的信息都是圍繞AB和CD來(lái)展開(kāi)的，但是依然需要學(xué)生去抓住解題的關(guān)鍵信息“MN是圓O的直徑，AB⊥MN，CD⊥MN”，這時(shí)就可以根據(jù)圓自身的對(duì)稱性的特點(diǎn)得出PC=PD，那么原題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪A+PD最小值的問(wèn)題了，這樣就可以順利求解.

例2? 如圖2，圓O的直徑AB=6，E，F(xiàn)將AB分成三等份，M，N是弧AB上的兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，那么EM+FN是多少？

審題分析：題干中僅通過(guò)“E，F(xiàn)將AB分成三等份，∠MEB=∠NFB=60°”去求EM+FN的值難度較大. 通過(guò)“E，F(xiàn)將AB分成三等份”這一條件就可以得出OE=OF， 又由∠MEB=∠NFB=60°就可以推出EM∥FN，這是解決這一問(wèn)題的首要關(guān)鍵點(diǎn). 然后，根據(jù)圓的對(duì)稱性延長(zhǎng)ME到點(diǎn)P，那么PE=FN，于是就將求EM+FN的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PM的問(wèn)題，題目就顯得非常簡(jiǎn)單了. 如果學(xué)生在解題過(guò)程中，只是關(guān)注題目的表面信息，做不到去粗取精，那么整個(gè)題目的解題過(guò)程就會(huì)非常煩瑣，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤. 由此可見(jiàn)，審清題意在解題過(guò)程中非常關(guān)鍵.

例3? 如圖3，在圓O中，P是弦AB上一點(diǎn)，連接OP，并作PC⊥OP，點(diǎn)C落在圓O上，如果AP=8，PB=2，那么PC多長(zhǎng)？

審題分析：該問(wèn)題的題干信息相對(duì)較為簡(jiǎn)潔，如果因此粗心大意，不能夠做到去粗取精也是難以找到問(wèn)題的突破口. 題目要求PC的長(zhǎng)度，但是題干給出的信息只有PC⊥OP，AP=8，PB=2，這就顯得有些困難. 如果學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解PC⊥OP這一關(guān)鍵信息，就可以非常容易地完成求解. 延長(zhǎng)CP交圓O于點(diǎn)M，根據(jù)垂徑定理就可以得知MP=PC. 又因?yàn)镸C和AB是兩條相交弦，根據(jù)相交弦定理就可以輕易地求出PC的長(zhǎng)度. 在這一類題目中，圓的垂徑定理是解題的重要突破口，但是題目中很少能夠直接提示學(xué)生，這就需要學(xué)生能夠去粗取精提取題目中的關(guān)鍵信息，審清題目.

審題過(guò)程中，學(xué)生如果能夠做到去粗取精抓住關(guān)鍵信息，這不僅能夠幫助學(xué)生完成審題，還能夠拓展學(xué)生的解題思維，能夠發(fā)現(xiàn)解題的新角度. 通過(guò)對(duì)關(guān)鍵信息的分析，能夠有效地降低題目的難度，給學(xué)生提供更加便捷的解題思路.

等價(jià)變換策略

能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題中的不同語(yǔ)言進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是學(xué)生審題的基本技能，在審題過(guò)程中，不僅要求學(xué)生能夠?qū)㈩}干中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，還要能夠?qū)︻}目中的條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換. 尤其是在圓部分的問(wèn)題審題中，要能夠透過(guò)圖形，翻譯里面的集合信息，結(jié)合題干中的已知信息進(jìn)行等價(jià)交換，這樣才能夠準(zhǔn)確地把握考查點(diǎn)，順利完成審題.

例4? 如圖4，在圓O上的四點(diǎn)A，B，C，D，弧AB等于弧BD，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M. 求證：AM=DC+CM.

審題分析：通過(guò)題目的分析我們可以看出如果要證明AM=DC+CM，題干中的已知條件就顯得比較少，很難找到問(wèn)題解決的突破口. 結(jié)合圖形我們可以發(fā)現(xiàn)，要求的DC和CM不在一條直線上，要求不在一條直線上的兩條線段相加難度較大，我們可以借助圓的特征將它加以轉(zhuǎn)化. 題目中弧AB等于弧BD，根據(jù)圓等弧對(duì)等弦和同弧對(duì)圓周角相等的性質(zhì)，就可以得出∠BCA=∠BAD，BA=BD，這樣通過(guò)等量關(guān)系轉(zhuǎn)化就可以完成證明求解.

例5? 如圖5，在圓O中，A，B，C，D，E均是圓O上的點(diǎn)，并且AC為圓O的直徑， 求∠A+∠B+∠C的度數(shù).

審題分析：拿著這個(gè)問(wèn)題，很多學(xué)生會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，因?yàn)轭}干中并沒(méi)有出現(xiàn)角的度數(shù)，而問(wèn)題的最終卻要求∠A+∠B+∠C的度數(shù)，這就需要學(xué)生能夠在題干中通過(guò)等價(jià)變換來(lái)尋找隱含的條件. 在圓部分的問(wèn)題中，角在圓的求解和轉(zhuǎn)化中運(yùn)用較為廣泛，題目中要求∠A+∠B+∠C的度數(shù)，通過(guò)弧與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以將要求的角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為弧的問(wèn)題，∠A+∠B+∠C對(duì)應(yīng)的角就是圓弧AC對(duì)應(yīng)的圓周角，于是就可以求出∠A+∠B+∠C的度數(shù).

例6? 如圖6，在圓O中有內(nèi)接四邊形ABCD，其中四邊形的對(duì)角線BD平分AC于點(diǎn)E. 求證：= .

審題分析：題目中要求證明=，我們?cè)趲缀巫C明題里很少看見(jiàn)證明兩個(gè)數(shù)量關(guān)系相除的問(wèn)題，我們可以先將它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成等積的形式AB·AD=BC·CD. 題目中已知BD將四邊形ABCD分為了兩個(gè)內(nèi)接三角形，我們就可以向圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)靠攏. 分別作AF⊥BD交BD于F，CG⊥ BD交BD于點(diǎn)G，那么就將求證=的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證AF·d=CG·d的問(wèn)題，于是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵就是要證明AF=CG. 結(jié)合題目中的已知條件，利用全等三角形的性質(zhì)就可以求出AF=CG. 在該題中，通過(guò)對(duì)相關(guān)信息的兩次等價(jià)變換將證明線段相除的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，降低了題目的難度，為學(xué)生問(wèn)題解答提供了便利.

圓作為一種特殊的圖形，其內(nèi)包含多種性質(zhì)，在審題的時(shí)候不僅要閱讀題干信息，還要了解圓圖形中包含的信息，并且這些信息之間需要靈活的轉(zhuǎn)換，這就要求學(xué)生對(duì)問(wèn)題中的信息進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換. 在關(guān)于圓的證明里邊，角應(yīng)用得最為廣泛，圓中角的靈活性非常強(qiáng)，例如，圓心角和圓周角之間，已知其中一個(gè)角就可以求出另一個(gè)角;根據(jù)同弧或等弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等的性質(zhì)，可以在圓上移動(dòng)對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，探究問(wèn)題的解決方法.

小結(jié)

審題是做題的前提和基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵，一個(gè)學(xué)生如果審題能力較強(qiáng)，那么就能夠順利讀懂題意，就能夠制定出正確的解題計(jì)劃;如果學(xué)生審題能力較差，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題更是天方夜譚. 因此，在圓部分的教學(xué)中，除了教授學(xué)生必要的知識(shí)和技能以外，還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，進(jìn)而提高他們的解題能力.