楊 潔，薛 宇，李金強(qiáng)，2，武曉剛，高海峰，2，馮 偉

(1.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024；2.超達(dá)閥門集團(tuán)股份有限公司，浙江 溫州 325000； 3.中車齊齊哈爾車輛有限公司，黑龍江 齊齊哈爾 161000)

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料比普通材料具有許多突出的優(yōu)點(diǎn)，如強(qiáng)度高、耐高溫、重量輕等。近年來，正在逐步取代鋼板用于民用和航空領(lǐng)域，尤其是由高性能纖維和高性能基體組成的復(fù)合材料，其力學(xué)性能十分突出[1]。國(guó)內(nèi)外已有大量學(xué)者對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的熱屈曲進(jìn)行了研究。

徐新生等[2]利用辛方法研究了由于溫度引起的彈性圓板的熱屈曲問題，該方法可以給出一個(gè)完備的本征解空間，或圓板熱屈曲問題的模態(tài)空間。袁武等[3]對(duì)均勻溫度場(chǎng)下金屬點(diǎn)陣夾芯板的臨界熱屈曲溫度進(jìn)行了求解和參數(shù)影響分析，研究表明，四邊固支條件下夾層板的臨界屈曲溫度要遠(yuǎn)高于四邊簡(jiǎn)支條件下的臨界屈曲溫度。田新鵬等[4]研究了水平方向非均勻溫度場(chǎng)下層合板的熱屈曲行為，指出在非均勻溫度場(chǎng)下層合板的臨界屈曲溫度受溫度分布、振動(dòng)模式、邊界條件的影響。卿光輝等[5]基于三維狀態(tài)空間理論體系，導(dǎo)出的層合板三維狀態(tài)方程可為分析其他邊界條件問題提供參考。KANT et al[6]使用有限元方法對(duì)熱載荷作用下傾斜纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板和夾芯板屈曲進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，臨界熱屈曲溫度隨著傾斜角度的增大而增大，薄板中增加的幅度大于厚板。HAN et al[7]研究了泡沫填充復(fù)合波紋夾芯板在熱載荷作用下的自由振動(dòng)和屈曲行為。該研究為泡沫填充復(fù)合材料夾層板在機(jī)械和熱載荷作用下的振動(dòng)和穩(wěn)定性分析提供了一種有效的方法，可推廣到其他類型的夾層板或多層夾層板。LI et al[8]用四變量理論給出了梯度材料夾層板的機(jī)械和熱屈曲的解析解。JIN et al[9]使用ABAQUS軟件分別研究了復(fù)合材料圓板和鈦合金圓板在不同邊界條件下的熱屈曲問題。結(jié)果表明，DIC技術(shù)能夠得到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的全局變形和熱屈曲。

目前針對(duì)夾芯板熱屈曲性能方面的研究工作中，已有學(xué)者對(duì)夾芯板在均勻溫度分布和水平方向非均勻溫度分布下的熱屈曲性能進(jìn)行了研究；但對(duì)于在厚度方向非均勻溫度分布下夾芯板熱屈曲性能方面的工作還鮮有報(bào)道。因此，本文基于三角剪切變形理論，利用哈密頓原理推導(dǎo)出了夾芯板的控制方程。該理論是基于位移的等效單層理論，利用平面內(nèi)位移厚度坐標(biāo)的三角函數(shù)計(jì)算平面外剪切應(yīng)變。運(yùn)用假設(shè)模態(tài)法求解了夾芯板在不同溫度分布下的臨界熱屈曲溫度，并討論了邊界條件、長(zhǎng)厚比、長(zhǎng)寬比、hf/h和鋪層纖維角度對(duì)夾芯板臨界熱屈曲溫度的影響。

1 基本理論

對(duì)稱復(fù)合材料夾芯板的長(zhǎng)、寬、厚分別為a，b，h，面板厚度為hp，芯層厚度為hc.如圖1所示。取夾芯板中面為x-y坐標(biāo)平面，z軸垂直于x-y坐標(biāo)平面。坐標(biāo)原點(diǎn)位于夾芯板中面中心。

在板上任意點(diǎn)(x，y，z)的位移可寫為[14]：

(1)

式中：u0，v0分別是在x和y方向上中面的位移。wb和ws分別為彎曲和剪切分量的撓度。

將方程(1)代入應(yīng)變-位移關(guān)系中可得板中應(yīng)變分量為：

(2)

圖1 復(fù)合材料夾芯板的幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry of composite sandwich plate

第k層應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

(3)

第k層熱膨脹系數(shù)為：

(4)

層合板的總應(yīng)變能U和總動(dòng)能T可表示為：

(5)

(6)

其展開式見附錄A.

為了滿足夾芯板任意邊界條件，引入位移向量u0，v0，w0.其詳細(xì)表達(dá)式可見第二部分計(jì)算方法。在裝配了位移分量形式之后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用哈密頓原理推導(dǎo)出來，其表達(dá)式如下：

(7)

式中：M，KL，KT分別時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和溫度剛度矩陣。其表達(dá)式見附錄B.

熱屈曲是當(dāng)載荷達(dá)到某一臨界值時(shí)，結(jié)構(gòu)構(gòu)形突跳到另一個(gè)隨遇的平衡狀態(tài)的現(xiàn)象。為了計(jì)算夾芯板的臨界熱屈曲溫度，略去哈密頓原理中的與時(shí)間導(dǎo)數(shù)有關(guān)的項(xiàng)(動(dòng)能項(xiàng))[15]，可以得到矩陣形式的夾芯板熱屈曲問題的控制方程為：

(KL-λKT)X=0 .

(8)

對(duì)于給定的溫度分布函數(shù)FΔT，可以通過求解式(8)來獲得臨界熱屈曲溫度ΔTcr.

2 計(jì)算方法

本文采用假設(shè)模態(tài)法求解了夾芯板的臨界熱屈曲溫度。假設(shè)模態(tài)法是連續(xù)系統(tǒng)的一種離散化方法，它是利用有限個(gè)已知的模態(tài)函數(shù)線性組合近似確定系統(tǒng)的響應(yīng)。應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法，將位移表示成模態(tài)函數(shù)乘以廣義坐標(biāo)的形式[10-11]：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：p(t)=[p11(t),…,pMN(t)]T，r(t)=[r11(t),…,rIJ(t)]T，s(t)=[s11(t),…,sKL(t)]T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；W(ξ,η)=[W11(ξ,η),…,WMN(ξ,η)]T，U(ξ,η)=[U11(ξ,η),…,UIJ(ξ,η)]T，V(ξ,η)=[V11(ξ,η),…,VKL(ξ,η)]T為滿足系統(tǒng)幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)。

將上述模態(tài)函數(shù)代入式(7)和式(8)中的廣義質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣KL和溫度剛度矩陣KT.利用MATLAB進(jìn)行編程求解，得到夾芯板的臨界熱屈曲溫度。

3 結(jié)果和討論

本文通過MATLAB軟件對(duì)夾芯板進(jìn)行數(shù)值模擬。為了驗(yàn)證本文公式和模型的有效性，用本文方法計(jì)算了夾芯板的臨界熱屈曲溫度，并與已有計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

表1 夾芯板的材料屬性Table 1 Material properties of sandwich plates

圖2比較了本文計(jì)算方法得到的復(fù)合材料夾芯板的臨界熱屈曲溫度與已有文獻(xiàn)的數(shù)值結(jié)果。從圖中可以看出本方法計(jì)算的結(jié)果與其他研究人員的數(shù)值結(jié)果有良好的一致性。存在誤差的原因有以下幾點(diǎn)：1) 文獻(xiàn)[12]中的理論只有3個(gè)未知變量，而本文采用的理論有4個(gè)未知變量而且該理論利用平面內(nèi)位移厚度坐標(biāo)的三角函數(shù)計(jì)算平面外剪切應(yīng)變；2) 文獻(xiàn)[7]與本文理論中采用的形狀函數(shù)不同。

圖2 本文分析方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]與[12]分析結(jié)果的比較Fig.2 Comparison of the results deduced from present analysis with the prediction of [7] and [12]

假設(shè)溫度僅沿夾層板厚度方向變化。溫度分布函數(shù)為[13]：

式中：β是溫度敏感指數(shù)。

夾芯板的鋪設(shè)方式為圖3所示，長(zhǎng)厚比為a/h=20，面板厚度與總厚度的比值hp/h=0.10.

圖3 復(fù)合材料夾芯板的鋪層方式[0°/90°]5[Core][90°/0°]5Fig.3 Stacking sequence [0°/90°]5[Core][90°/0°]5 of composite sandwich plates

圖4給出了不同邊界條件下臨界熱屈曲溫度隨指數(shù)的變化情況。由圖中可知隨著溫度函數(shù)指數(shù)γ的增大夾芯板臨界熱屈曲溫度逐漸增大。四邊固支邊界(CCCC)夾芯板的臨界屈曲溫度最大是由于固支邊界的約束最強(qiáng)。隨著夾芯板的寬度減小，對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支邊界(SCSC)夾芯板的臨界熱屈曲溫度與四邊固支邊界夾芯板的臨界熱屈曲溫度的差距逐漸減小，與四邊簡(jiǎn)支邊界(SSSS)夾芯板的臨界熱屈曲溫度的差距逐漸增大。該結(jié)果的產(chǎn)生是由于夾芯板的寬度對(duì)應(yīng)對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支邊界的簡(jiǎn)支邊界，隨著寬度的減小，固支邊界的影響大于簡(jiǎn)支邊界的影響。對(duì)邊固支對(duì)邊自由邊界(CFCF)夾芯板的臨界熱屈曲溫度的變化情況與對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支邊界夾芯板的臨界熱屈曲溫度類似。隨著夾芯板寬度的減小剛度逐漸增大，夾芯板的臨界熱屈曲溫度逐漸增大。

圖4 不同邊界條件下臨界熱屈曲溫度隨指數(shù)的變化情況Fig.4 Critical thermal buckling temperature difference vs. index β under different edge conditions

現(xiàn)研究長(zhǎng)厚比對(duì)臨界熱屈曲溫度的影響。

圖5給出了不同長(zhǎng)厚比下，復(fù)合材料夾芯板臨界熱屈曲溫度隨長(zhǎng)厚比的變化情況。從圖5中可以看出，不同溫度分布下相同邊界條件復(fù)合材料夾芯板臨界熱屈曲溫度變化趨勢(shì)相同，而且臨界熱屈曲溫度隨著長(zhǎng)厚比的增大而減小。隨著厚度的減小，夾芯板的剛度在逐漸減小，臨界熱屈曲溫度減小。相同邊界條件下，由于均勻溫度分布夾芯板的溫度剛度矩陣最大，非線性溫度分布夾芯板的溫度剛度矩陣最小，所以均勻溫度分布夾芯板的臨界熱屈曲溫度最小，非線性溫度分布夾芯板的臨界熱屈曲溫度最大。四邊固支邊界夾芯板的臨界屈曲溫度最大。這是由于固支邊界的約束要強(qiáng)于簡(jiǎn)支邊界和自由邊界。

圖5 臨界熱屈曲溫度隨長(zhǎng)厚比的變化情況Fig.5 Critical thermal buckling temperature difference vs. side-to-thickness ratio a/h

現(xiàn)研究hp/h對(duì)臨界熱屈曲溫度的影響。復(fù)合材料夾芯板的長(zhǎng)厚比為a/h=20，鋪設(shè)方式如圖3所示，邊界條件為四邊簡(jiǎn)支，長(zhǎng)方形夾芯板長(zhǎng)寬比為a=2b.

從圖6中可以看出，隨著hp/h的增大夾芯板臨界熱屈曲溫度逐漸減小。均勻溫度夾芯板臨界熱屈曲溫度最小，非線性夾芯板臨界熱屈曲溫度最大。由于長(zhǎng)方形夾芯板的寬小于正方形夾芯板的寬，導(dǎo)致夾芯板剛度增大。因此，在四邊簡(jiǎn)支邊界條件下長(zhǎng)方形夾芯板的的臨界熱屈曲溫度大于正方形夾芯板的臨界熱屈曲溫度。與長(zhǎng)方形夾芯板相比，非線性溫度分布下正方形夾芯板的臨界熱屈曲溫度隨hp/h的變化較小。

圖6 臨界熱屈曲溫度隨hp/h的變化情況Fig.6 Critical thermal buckling temperature difference vs. face-to-thickness ratio hp/h

現(xiàn)研究纖維角度對(duì)臨界熱屈曲溫度的影響。邊界條件為四邊簡(jiǎn)支，長(zhǎng)方形夾芯板長(zhǎng)寬比為a=2b.

圖7給出了長(zhǎng)厚比a/h=20，鋪設(shè)方式為[θ/Core/θ](0°<θ<180°)，hp/h=0.100，臨界熱屈曲溫度隨纖維角度的變化情況。從圖7(a)中可以看出，正方形夾芯板臨界熱屈曲溫度的最大值出現(xiàn)在纖維角度θ為45°和135°附近。從圖7(b)中可以看出，對(duì)于長(zhǎng)方形夾芯板，臨界熱屈曲溫度的最大值出現(xiàn)在纖維角度θ為60°和120°附近。說明，夾芯板的長(zhǎng)寬比對(duì)夾芯板臨界屈曲溫度最大值所對(duì)應(yīng)的纖維角度有很大的影響。同樣，均勻溫度分布夾芯板的臨界熱屈曲溫度最小，非線性溫度分布夾芯板的臨界熱屈曲溫度最大。

圖8給出了鋪設(shè)方式為[θ/θ1/Core/θ1/θ]，長(zhǎng)厚比a/h=20，hp/h=0.100，均勻溫度分布下夾芯板的臨界熱屈曲溫度隨纖維角度的變化情況。從圖中可以看出整體臨界熱屈曲溫度呈現(xiàn)對(duì)稱變化。從圖8(a)中可以看出，當(dāng)正方形夾芯板的纖維角度θ在0°到45°之間，[θ/0°/Core/0°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度最小，[θ/45°/Core/45°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度最大；當(dāng)纖維角度θ在45°到90°之間，[θ/90°/Core/90°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度最小，[θ/45°/Core/45°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度最大。從圖8(b)中可以看出，對(duì)于長(zhǎng)方形夾芯板，[θ/0°/Core/0°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度先增大后減小而且當(dāng)纖維角度θ為90°時(shí)達(dá)到最大值；當(dāng)纖維角度θ為75°或105°時(shí)，[θ/45°/Core/45°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度達(dá)到最大，纖維角度θ為0°或180°時(shí)最??；當(dāng)纖維角度θ為45°或135°時(shí)，[θ/90°/Core/90°/θ]鋪層方式夾芯板的臨界熱屈曲溫度達(dá)到最大，纖維角度θ為90°時(shí)最小。因此，夾芯板的鋪設(shè)方式對(duì)夾芯板臨界屈曲溫度的最大值所對(duì)應(yīng)的纖維角度有很大的影響。

圖7 臨界熱屈曲溫度隨纖維角度的變化情況Fig.7 Critical thermal buckling temperature difference vs. fiber angle θ

圖8 不同鋪設(shè)方式下臨界熱屈曲溫度隨纖維角度的變化情況Fig.8 Critical thermal buckling temperature difference vs. fiber angle θ under different layer way

4 結(jié)論

本文基于三角剪切變形理論，求解了夾芯板的臨界熱屈曲溫度。討論了溫度函數(shù)指數(shù)、邊界條件、長(zhǎng)厚比、長(zhǎng)寬比、hp/h和鋪層纖維角度對(duì)夾芯板臨界熱屈曲溫度的影響。隨著溫度函數(shù)指數(shù)β的增大夾芯板的臨界熱屈曲溫度逐漸增大。夾芯板的臨界熱屈曲溫度隨著長(zhǎng)厚比、hp/h的增大而減小。由于固支邊界的約束比簡(jiǎn)支邊界的約束強(qiáng)，因此，四邊固支邊界夾芯板的臨界熱屈曲溫度大于四邊簡(jiǎn)支邊界夾芯板的臨界熱屈曲溫度?；旌线吔鐘A芯板臨界熱屈曲溫度的變化情況與邊界所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)有關(guān)。不同長(zhǎng)寬比夾芯板熱臨界屈曲溫度的最大值對(duì)應(yīng)的纖維角度不同。不同鋪設(shè)方式夾芯板臨界熱屈曲溫度的最大值對(duì)應(yīng)的纖維角度不同。

附錄A式(5)和式(6)的展開式

附錄B式(7)的表達(dá)式

式中：

式中：

式中：